Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpell14qr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpell14qr 40941
Description: Membership in the set of positive Pell solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elpell14qr (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘ค,๐ท   ๐‘ง,๐ด,๐‘ค

Proof of Theorem elpell14qr
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pell14qrval 40940 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell14QRโ€˜๐ท) = {๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
21eleq2d 2822 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” ๐ด โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)}))
3 eqeq1 2740 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โ†” ๐ด = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค))))
43anbi1d 630 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((๐‘Ž = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” (๐ด = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
542rexbidv 3209 . . 3 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
65elrab 3634 . 2 (๐ด โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)} โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
72, 6bitrdi 286 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3070  {crab 3403   โˆ– cdif 3895  โ€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  โ„cr 10971  1c1 10973   + caddc 10975   ยท cmul 10977   โˆ’ cmin 11306  โ„•cn 12074  2c2 12129  โ„•0cn0 12334  โ„คcz 12420  โ†‘cexp 13883  โˆšcsqrt 15043  โ—ปNNcsquarenn 40928  Pell14QRcpell14qr 40931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fv 6487  df-ov 7340  df-pell14qr 40935
This theorem is referenced by:  pell14qrss1234  40948  pell14qrgt0  40951  pell1234qrdich  40953  pell1qrss14  40960  pell14qrdich  40961  rmxycomplete  41010
  Copyright terms: Public domain W3C validator