Mathbox for Stefan O'Rear |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > elpell14qr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Membership in the set of positive Pell solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
elpell14qr | โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ด โ (Pell14QRโ๐ท) โ (๐ด โ โ โง โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pell14qrval 40940 | . . 3 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (Pell14QRโ๐ท) = {๐ โ โ โฃ โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)}) | |
2 | 1 | eleq2d 2822 | . 2 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ด โ (Pell14QRโ๐ท) โ ๐ด โ {๐ โ โ โฃ โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)})) |
3 | eqeq1 2740 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โ ๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)))) | |
4 | 3 | anbi1d 630 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ ((๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1) โ (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1))) |
5 | 4 | 2rexbidv 3209 | . . 3 โข (๐ = ๐ด โ (โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1) โ โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1))) |
6 | 5 | elrab 3634 | . 2 โข (๐ด โ {๐ โ โ โฃ โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)} โ (๐ด โ โ โง โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1))) |
7 | 2, 6 | bitrdi 286 | 1 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ด โ (Pell14QRโ๐ท) โ (๐ด โ โ โง โ๐ง โ โ0 โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 = wceq 1540 โ wcel 2105 โwrex 3070 {crab 3403 โ cdif 3895 โcfv 6479 (class class class)co 7337 โcr 10971 1c1 10973 + caddc 10975 ยท cmul 10977 โ cmin 11306 โcn 12074 2c2 12129 โ0cn0 12334 โคcz 12420 โcexp 13883 โcsqrt 15043 โปNNcsquarenn 40928 Pell14QRcpell14qr 40931 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pr 5372 ax-cnex 11028 ax-resscn 11029 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3404 df-v 3443 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-nul 4270 df-if 4474 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-id 5518 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fv 6487 df-ov 7340 df-pell14qr 40935 |
This theorem is referenced by: pell14qrss1234 40948 pell14qrgt0 40951 pell1234qrdich 40953 pell1qrss14 40960 pell14qrdich 40961 rmxycomplete 41010 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |