Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell14qrval 42180
Description: Value of the set of positive Pell solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrval (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell14QRโ€˜๐ท) = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Distinct variable group:   ๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐ท

Proof of Theorem pell14qrval
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜๐‘Ž) = (โˆšโ€˜๐ท))
21oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค))
32oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)))
43eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค))))
5 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2)))
65oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))))
76eqeq1d 2729 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1))
84, 7anbi12d 630 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
982rexbidv 3214 . . 3 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
109rabbidv 3435 . 2 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
11 df-pell14qr 42175 . 2 Pell14QR = (๐‘Ž โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
12 reex 11215 . . 3 โ„ โˆˆ V
1312rabex 5328 . 2 {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)} โˆˆ V
1410, 11, 13fvmpt 6999 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell14QRโ€˜๐ท) = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065  {crab 3427   โˆ– cdif 3941  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ†‘cexp 14044  โˆšcsqrt 15198  โ—ปNNcsquarenn 42168  Pell14QRcpell14qr 42171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-pell14qr 42175
This theorem is referenced by:  elpell14qr  42181  rmxyelqirr  42242  rmxyelqirrOLD  42243
  Copyright terms: Public domain W3C validator