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Theorem rmxycomplete 39499
Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxycomplete ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem rmxycomplete
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 39489 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
213ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3 pellfund14b 39481 . . 3 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
5 nn0re 11898 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℝ)
653ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
7 rmspecpos 39498 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 14763 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
98rpred 12423 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
1093ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
11 zre 11977 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
12113ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 10663 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌) ∈ ℝ)
146, 13readdcld 10662 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
1514biantrurd 535 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
16 simpl2 1186 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ0)
17 simpl3 1187 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑌 ∈ ℤ)
18 eqidd 2820 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
19 simpr 487 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
20 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)))
2120eqeq2d 2830 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦))))
22 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
2322oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
2423eqeq1d 2821 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
2521, 24anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
26 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))
2726oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
2827eqeq2d 2830 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))))
29 oveq1 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦↑2) = (𝑌↑2))
3029oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)))
3130oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
3231eqeq1d 2821 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
3328, 32anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)))
3425, 33rspc2ev 3633 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ ∧ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
3516, 17, 18, 19, 34syl112anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
3635ex 415 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
37 rmspecsqrtnq 39488 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
38373ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
3938adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
40 nn0ssq 12348 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℚ
41 simp2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
4240, 41sseldi 3963 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
4342adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℚ)
44 zq 12346 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℚ)
45443ad2ant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
4645adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ ℚ)
4740sseli 3961 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℚ)
4847ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℚ)
49 zq 12346 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
5049ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℚ)
51 qirropth 39490 . . . . . . . . 9 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦)))
5239, 43, 46, 48, 50, 51syl122anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦)))
5352biimpd 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) → (𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦)))
5453anim1d 612 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
55 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑥 → (𝑋↑2) = (𝑥↑2))
56 oveq1 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 𝑦 → (𝑌↑2) = (𝑦↑2))
5756oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 𝑦 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)))
5855, 57oveqan12d 7167 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
5958eqcomd 2825 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
6059eqeq1d 2821 . . . . . . 7 ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
6160biimpa 479 . . . . . 6 (((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
6254, 61syl6 35 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
6362rexlimdvva 3292 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
6436, 63impbid 214 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
65 elpell14qr 39431 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
662, 65syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
6715, 64, 663bitr4d 313 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))))
6838adantr 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
6942adantr 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
7045adantr 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
71 frmx 39495 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
7271a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
73 simpl1 1185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
74 simpr 487 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
7572, 73, 74fovrnd 7312 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℕ0)
7640, 75sseldi 3963 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ)
77 zssq 12347 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℚ
78 frmy 39496 . . . . . . . 8 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
7978a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ)
8079, 73, 74fovrnd 7312 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℤ)
8177, 80sseldi 3963 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)
82 qirropth 39490 . . . . 5 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
8368, 69, 70, 76, 81, 82syl122anc 1373 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
84 rmxyval 39497 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
85843ad2antl1 1179 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
86 rmspecfund 39491 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
87863ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
8887adantr 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
8988oveq1d 7163 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
9085, 89eqtr4d 2857 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛))
9190eqeq2d 2830 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
9283, 91bitr3d 283 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
9392rexbidva 3294 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
944, 67, 933bitr4d 313 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3137  cdif 3931   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  cq 12340  cexp 13421  csqrt 14584  NNcsquarenn 39418  Pell14QRcpell14qr 39421  PellFundcpellfund 39422   Xrm crmx 39482   Yrm crmy 39483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-numer 16067  df-denom 16068  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-squarenn 39423  df-pell1qr 39424  df-pell14qr 39425  df-pell1234qr 39426  df-pellfund 39427  df-rmx 39484  df-rmy 39485
This theorem is referenced by:  rmxynorm  39500  jm2.27b  39588
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