Theorem rmxycomplete 42913

Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxycomplete	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem rmxycomplete

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 42902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3		pellfund14b 42894	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
5		nn0re 12458	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
7		rmspecpos 42912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 15385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
11		zre 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 11210	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
15	14	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
16		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ0)
17		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑌 ∈ ℤ)
18		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
20		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)))
21	20	eqeq2d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦))))
22		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
23	22	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
24	23	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
25	21, 24	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
26		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))
27	26	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
28	27	eqeq2d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))))
29		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦↑2) = (𝑌↑2))
30	29	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)))
31	30	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
32	31	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
33	28, 32	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)))
34	25, 33	rspc2ev 3604	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
35	16, 17, 18, 19, 34	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
37		rmspecsqrtnq 42901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
40		nn0ssq 12923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
41		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
42	40, 41	sselid 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℚ)
44		zq 12920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℚ)
45	44	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ ℚ)
47	40	sseli 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℚ)
48	47	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℚ)
49		zq 12920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
50	49	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℚ)
51		qirropth 42903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
52	39, 43, 46, 48, 50, 51	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
53	52	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) → (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
54	53	anim1d 611	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
55		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋↑2) = (𝑥↑2))
56		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (𝑌↑2) = (𝑦↑2))
57	56	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)))
58	55, 57	oveqan12d 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
59	58	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
60	59	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
61	60	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
62	54, 61	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
63	62	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
64	36, 63	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
65		elpell14qr 42844	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
66	2, 65	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
67	15, 64, 66	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))))
68	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
69	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
70	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
71		frmx 42909	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
73		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
75	72, 73, 74	fovcdmd 7564	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℕ0)
76	40, 75	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ)
77		zssq 12922	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
78		frmy 42910	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
80	79, 73, 74	fovcdmd 7564	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℤ)
81	77, 80	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)
82		qirropth 42903	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
83	68, 69, 70, 76, 81, 82	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
84		rmxyval 42911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
85	84	3ad2antl1 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
86		rmspecfund 42904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
87	86	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
88	87	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
89	88	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
90	85, 89	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛))
91	90	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
92	83, 91	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
93	92	rexbidva 3156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
94	4, 67, 93	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℚcq 12914  ↑cexp 14033  √csqrt 15206  ◻_NNcsquarenn 42831  Pell14QRcpell14qr 42834  PellFundcpellfund 42835   X_rm crmx 42895   Y_rm crmy 42896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-numer 16712  df-denom 16713  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-squarenn 42836  df-pell1qr 42837  df-pell14qr 42838  df-pell1234qr 42839  df-pellfund 42840  df-rmx 42897  df-rmy 42898

This theorem is referenced by:  rmxynorm  42914  jm2.27b  43002