Theorem rmxycomplete 43685

Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxycomplete	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem rmxycomplete

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 43675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3		pellfund14b 43667	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
5		nn0re 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
7		rmspecpos 43684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 15489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
11		zre 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 11256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
15	14	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
16		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ0)
17		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑌 ∈ ℤ)
18		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
20		oveq1 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)))
21	20	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦))))
22		oveq1 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
23	22	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
24	23	eqeq1d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
25	21, 24	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
26		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))
27	26	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
28	27	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))))
29		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦↑2) = (𝑌↑2))
30	29	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)))
31	30	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
32	31	eqeq1d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
33	28, 32	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)))
34	25, 33	rspc2ev 3597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
35	16, 17, 18, 19, 34	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
36	35	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
37		rmspecsqrtnq 43674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
38	37	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
40		nn0ssq 12999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
41		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
42	40, 41	sselid 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
43	42	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℚ)
44		zq 12996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℚ)
45	44	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ ℚ)
47	40	sseli 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℚ)
48	47	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℚ)
49		zq 12996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
50	49	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℚ)
51		qirropth 43676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
52	39, 43, 46, 48, 50, 51	syl122anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
53	52	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) → (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
54	53	anim1d 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
55		oveq1 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋↑2) = (𝑥↑2))
56		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (𝑌↑2) = (𝑦↑2))
57	56	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)))
58	55, 57	oveqan12d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
59	58	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
60	59	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
61	60	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
62	54, 61	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
63	62	rexlimdvva 3225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
64	36, 63	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
65		elpell14qr 43617	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
66	2, 65	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
67	15, 64, 66	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))))
68	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
69	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
70	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
71		frmx 43681	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
73		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
75	72, 73, 74	fovcdmd 7595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℕ0)
76	40, 75	sselid 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ)
77		zssq 12998	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
78		frmy 43682	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
80	79, 73, 74	fovcdmd 7595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℤ)
81	77, 80	sselid 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)
82		qirropth 43676	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
83	68, 69, 70, 76, 81, 82	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
84		rmxyval 43683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
85	84	3ad2antl1 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
86		rmspecfund 43677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
87	86	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
88	87	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
89	88	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
90	85, 89	eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛))
91	90	eqeq2d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
92	83, 91	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
93	92	rexbidva 3190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
94	4, 67, 93	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ∖ cdif 3905   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ℚcq 12990  ↑cexp 14117  √csqrt 15310  ◻_NNcsquarenn 43604  Pell14QRcpell14qr 43607  PellFundcpellfund 43608   X_rm crmx 43668   Y_rm crmy 43669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-numer 16819  df-denom 16820  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-squarenn 43609  df-pell1qr 43610  df-pell14qr 43611  df-pell1234qr 43612  df-pellfund 43613  df-rmx 43670  df-rmy 43671

This theorem is used by:  rmxynorm  43686  jm2.27b  43774