rmxycomplete - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmxycomplete 41958

Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmxycomplete	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 X_rm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Y_rm 𝑛))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑋 𝑛,𝑌

Proof of Theorem rmxycomplete Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 41947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
3		pellfund14b 41939	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
5		nn0re 12485	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ₀ → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
7		rmspecpos 41957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ⁺)
8	7	rpsqrtcld 15362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ⁺)
9	8	rpred 13020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
11		zre 12566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 11247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
15	14	biantrurd 531	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
16		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ₀)
17		simpl3 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑌 ∈ ℤ)
18		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
19		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
20		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)))
21	20	eqeq2d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦))))
22		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
23	22	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
24	23	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
25	21, 24	anbi12d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
26		oveq2 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))
27	26	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
28	27	eqeq2d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))))
29		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦↑2) = (𝑌↑2))
30	29	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)))
31	30	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
32	31	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
33	28, 32	anbi12d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)))
34	25, 33	rspc2ev 3623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
35	16, 17, 18, 19, 34	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
36	35	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
37		rmspecsqrtnq 41946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
38	37	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
39	38	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
40		nn0ssq 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℚ
41		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℕ₀)
42	40, 41	sselid 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
43	42	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℚ)
44		zq 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℚ)
45	44	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
46	45	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ ℚ)
47	40	sseli 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ ℚ)
48	47	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℚ)
49		zq 12942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
50	49	ad2antll 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℚ)
51		qirropth 41948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
52	39, 43, 46, 48, 50, 51	syl122anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
53	52	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) → (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
54	53	anim1d 609	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
55		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋↑2) = (𝑥↑2))
56		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (𝑌↑2) = (𝑦↑2))
57	56	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)))
58	55, 57	oveqan12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
59	58	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
60	59	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
61	60	biimpa 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
62	54, 61	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
63	62	rexlimdvva 3209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
64	36, 63	impbid 211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
65		elpell14qr 41889	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
66	2, 65	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ₀ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
67	15, 64, 66	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))))
68	38	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
69	42	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
70	45	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
71		frmx 41954	. . . . . . . 8 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀)
73		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
74		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
75	72, 73, 74	fovcdmd 7581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑛) ∈ ℕ₀)
76	40, 75	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑛) ∈ ℚ)
77		zssq 12944	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
78		frmy 41955	. . . . . . . 8 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
80	79, 73, 74	fovcdmd 7581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑛) ∈ ℤ)
81	77, 80	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑛) ∈ ℚ)
82		qirropth 41948	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑛) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑛) ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 X_rm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 X_rm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Y_rm 𝑛))))
83	68, 69, 70, 76, 81, 82	syl122anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 X_rm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 X_rm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Y_rm 𝑛))))
84		rmxyval 41956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
85	84	3ad2antl1 1183	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
86		rmspecfund 41949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
87	86	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
88	87	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
89	88	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
90	85, 89	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑛))) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛))
91	90	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 X_rm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
92	83, 91	bitr3d 280	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 = (𝐴 X_rm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Y_rm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
93	92	rexbidva 3174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 X_rm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Y_rm 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
94	4, 67, 93	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 X_rm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Y_rm 𝑛))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ∃wrex 3068 ∖ cdif 3944 × cxp 5673 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 ℝcr 11111 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 − cmin 11448 ℕcn 12216 2c2 12271 ℕ₀cn0 12476 ℤcz 12562 ℤ_≥cuz 12826 ℚcq 12936 ↑cexp 14031 √csqrt 15184 ◻_NNcsquarenn 41876 Pell14QRcpell14qr 41879 PellFundcpellfund 41880 X_rm crmx 41940 Y_rm crmy 41941

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7672 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-supp 8149 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-2o 8469 df-oadd 8472 df-omul 8473 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-acn 9939 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12979 df-xneg 13096 df-xadd 13097 df-xmul 13098 df-ioo 13332 df-ioc 13333 df-ico 13334 df-icc 13335 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13971 df-exp 14032 df-fac 14238 df-bc 14267 df-hash 14295 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 df-ef 16015 df-sin 16017 df-cos 16018 df-pi 16020 df-dvds 16202 df-gcd 16440 df-numer 16675 df-denom 16676 df-struct 17084 df-sets 17101 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-ress 17178 df-plusg 17214 df-mulr 17215 df-starv 17216 df-sca 17217 df-vsca 17218 df-ip 17219 df-tset 17220 df-ple 17221 df-ds 17223 df-unif 17224 df-hom 17225 df-cco 17226 df-rest 17372 df-topn 17373 df-0g 17391 df-gsum 17392 df-topgen 17393 df-pt 17394 df-prds 17397 df-xrs 17452 df-qtop 17457 df-imas 17458 df-xps 17460 df-mre 17534 df-mrc 17535 df-acs 17537 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18987 df-cntz 19222 df-cmn 19691 df-psmet 21136 df-xmet 21137 df-met 21138 df-bl 21139 df-mopn 21140 df-fbas 21141 df-fg 21142 df-cnfld 21145 df-top 22616 df-topon 22633 df-topsp 22655 df-bases 22669 df-cld 22743 df-ntr 22744 df-cls 22745 df-nei 22822 df-lp 22860 df-perf 22861 df-cn 22951 df-cnp 22952 df-haus 23039 df-tx 23286 df-hmeo 23479 df-fil 23570 df-fm 23662 df-flim 23663 df-flf 23664 df-xms 24046 df-ms 24047 df-tms 24048 df-cncf 24618 df-limc 25615 df-dv 25616 df-log 26301 df-squarenn 41881 df-pell1qr 41882 df-pell14qr 41883 df-pell1234qr 41884 df-pellfund 41885 df-rmx 41942 df-rmy 41943

This theorem is referenced by: rmxynorm 41959 jm2.27b 42047

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