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Theorem rmxycomplete 42905
Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxycomplete ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem rmxycomplete
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 42894 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3 pellfund14b 42886 . . 3 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
5 nn0re 12532 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℝ)
653ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
7 rmspecpos 42904 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 15446 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
98rpred 13074 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
1093ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
11 zre 12614 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
12113ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 11288 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌) ∈ ℝ)
146, 13readdcld 11287 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
1514biantrurd 532 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
16 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ0)
17 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑌 ∈ ℤ)
18 eqidd 2735 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
20 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)))
2120eqeq2d 2745 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦))))
22 oveq1 7437 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
2322oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
2423eqeq1d 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
2521, 24anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
26 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))
2726oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
2827eqeq2d 2745 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))))
29 oveq1 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦↑2) = (𝑌↑2))
3029oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)))
3130oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
3231eqeq1d 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
3328, 32anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)))
3425, 33rspc2ev 3634 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ ∧ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
3516, 17, 18, 19, 34syl112anc 1373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
3635ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
37 rmspecsqrtnq 42893 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
38373ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
40 nn0ssq 12996 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℚ
41 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
4240, 41sselid 3992 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℚ)
44 zq 12993 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℚ)
45443ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ ℚ)
4740sseli 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℚ)
4847ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℚ)
49 zq 12993 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
5049ad2antll 729 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℚ)
51 qirropth 42895 . . . . . . . . 9 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦)))
5239, 43, 46, 48, 50, 51syl122anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦)))
5352biimpd 229 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) → (𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦)))
5453anim1d 611 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
55 oveq1 7437 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑥 → (𝑋↑2) = (𝑥↑2))
56 oveq1 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 𝑦 → (𝑌↑2) = (𝑦↑2))
5756oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 𝑦 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)))
5855, 57oveqan12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
5958eqcomd 2740 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
6059eqeq1d 2736 . . . . . . 7 ((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
6160biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑋 = 𝑥𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
6254, 61syl6 35 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
6362rexlimdvva 3210 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
6436, 63impbid 212 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
65 elpell14qr 42836 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
662, 65syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
6715, 64, 663bitr4d 311 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))))
6838adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
6942adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
7045adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
71 frmx 42901 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
7271a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
73 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
74 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
7572, 73, 74fovcdmd 7604 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℕ0)
7640, 75sselid 3992 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ)
77 zssq 12995 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℚ
78 frmy 42902 . . . . . . . 8 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
7978a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ)
8079, 73, 74fovcdmd 7604 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℤ)
8177, 80sselid 3992 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)
82 qirropth 42895 . . . . 5 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
8368, 69, 70, 76, 81, 82syl122anc 1378 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
84 rmxyval 42903 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
85843ad2antl1 1184 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
86 rmspecfund 42896 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
87863ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
8887adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
8988oveq1d 7445 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
9085, 89eqtr4d 2777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛))
9190eqeq2d 2745 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
9283, 91bitr3d 281 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
9392rexbidva 3174 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
944, 67, 933bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  cdif 3959   × cxp 5686  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cq 12987  cexp 14098  csqrt 15268  NNcsquarenn 42823  Pell14QRcpell14qr 42826  PellFundcpellfund 42827   Xrm crmx 42887   Yrm crmy 42888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-numer 16768  df-denom 16769  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-squarenn 42828  df-pell1qr 42829  df-pell14qr 42830  df-pell1234qr 42831  df-pellfund 42832  df-rmx 42889  df-rmy 42890
This theorem is referenced by:  rmxynorm  42906  jm2.27b  42994
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