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Theorem rmxycomplete 41959
Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxycomplete ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ π‘Œ = (𝐴 Yrm 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ

Proof of Theorem rmxycomplete
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 41948 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
3 pellfund14b 41940 . . 3 (((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑛)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑛)))
5 nn0re 12486 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
653ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
7 rmspecpos 41958 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 15363 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
98rpred 13021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
1093ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
11 zre 12567 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ β„€ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
12113ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 11249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ) ∈ ℝ)
146, 13readdcld 11248 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ ℝ)
1514biantrurd 532 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1))))
16 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
17 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
18 eqidd 2732 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1) β†’ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)))
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1)
20 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)))
2120eqeq2d 2742 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦))))
22 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯↑2) = (𝑋↑2))
2322oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))))
2423eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1))
2521, 24anbi12d 630 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
26 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦) = ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ))
2726oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)))
2827eqeq2d 2742 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ))))
29 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦↑2) = (π‘Œβ†‘2))
3029oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Œ β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2)))
3130oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))))
3231eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1))
3328, 32anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1)))
3425, 33rspc2ev 3624 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1))
3516, 17, 18, 19, 34syl112anc 1373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1))
3635ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
37 rmspecsqrtnq 41947 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
38373ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
40 nn0ssq 12946 . . . . . . . . . . 11 β„•0 βŠ† β„š
41 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
4240, 41sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ β„š)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑋 ∈ β„š)
44 zq 12943 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ β„€ β†’ π‘Œ ∈ β„š)
45443ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ β„š)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ π‘Œ ∈ β„š)
4740sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„š)
4847ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ π‘₯ ∈ β„š)
49 zq 12943 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„š)
5049ad2antll 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„š)
51 qirropth 41949 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š) ∧ (𝑋 ∈ β„š ∧ π‘Œ ∈ β„š) ∧ (π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝑦 ∈ β„š)) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ↔ (𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦)))
5239, 43, 46, 48, 50, 51syl122anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ↔ (𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦)))
5352biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) β†’ (𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦)))
5453anim1d 610 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) β†’ ((𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
55 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = π‘₯ β†’ (𝑋↑2) = (π‘₯↑2))
56 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = 𝑦 β†’ (π‘Œβ†‘2) = (𝑦↑2))
5756oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = 𝑦 β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2)))
5855, 57oveqan12d 7431 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))))
5958eqcomd 2737 . . . . . . . 8 ((𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦) β†’ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))))
6059eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ((𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦) β†’ (((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1))
6160biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑋 = π‘₯ ∧ π‘Œ = 𝑦) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1)
6254, 61syl6 35 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1))
6362rexlimdvva 3210 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1))
6436, 63impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
65 elpell14qr 41890 . . . 4 (((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ↔ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1))))
662, 65syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ↔ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) ∧ ((π‘₯↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1))))
6715, 64, 663bitr4d 311 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) ∈ (Pell14QRβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))))
6838adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
6942adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ β„š)
7045adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ β„š)
71 frmx 41955 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
7271a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0)
73 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
74 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
7572, 73, 74fovcdmd 7583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ β„•0)
7640, 75sselid 3980 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ β„š)
77 zssq 12945 . . . . . 6 β„€ βŠ† β„š
78 frmy 41956 . . . . . . . 8 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
7978a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€)
8079, 73, 74fovcdmd 7583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ β„€)
8177, 80sselid 3980 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ β„š)
82 qirropth 41949 . . . . 5 (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š) ∧ (𝑋 ∈ β„š ∧ π‘Œ ∈ β„š) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑛) ∈ β„š ∧ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ β„š)) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ π‘Œ = (𝐴 Yrm 𝑛))))
8368, 69, 70, 76, 81, 82syl122anc 1378 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ π‘Œ = (𝐴 Yrm 𝑛))))
84 rmxyval 41957 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑛))
85843ad2antl1 1184 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑛))
86 rmspecfund 41950 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) = (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))))
87863ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) = (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))))
8887adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) = (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))))
8988oveq1d 7427 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑛))
9085, 89eqtr4d 2774 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑛))
9190eqeq2d 2742 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑛)))
9283, 91bitr3d 281 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ π‘Œ = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑛)))
9392rexbidva 3175 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ π‘Œ = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑋 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· π‘Œ)) = ((PellFundβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑𝑛)))
944, 67, 933bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑋 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (π‘Œβ†‘2))) = 1 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ π‘Œ = (𝐴 Yrm 𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„šcq 12937  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15185  β—»NNcsquarenn 41877  Pell14QRcpell14qr 41880  PellFundcpellfund 41881   Xrm crmx 41941   Yrm crmy 41942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16676  df-denom 16677  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-squarenn 41882  df-pell1qr 41883  df-pell14qr 41884  df-pell1234qr 41885  df-pellfund 41886  df-rmx 41943  df-rmy 41944
This theorem is referenced by:  rmxynorm  41960  jm2.27b  42048
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