Theorem rmxycomplete 43506

Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxycomplete	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem rmxycomplete

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 43496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2	1	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3		pellfund14b 43488	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
5		nn0re 12504	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
7		rmspecpos 43505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 15453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13051	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
11		zre 12586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant3 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 11226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
15	14	biantrurd 541	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
16		simpl2 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ0)
17		simpl3 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑌 ∈ ℤ)
18		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
19		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
20		oveq1 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)))
21	20	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦))))
22		oveq1 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
23	22	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
24	23	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
25	21, 24	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
26		oveq2 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))
27	26	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
28	27	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))))
29		oveq1 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦↑2) = (𝑌↑2))
30	29	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)))
31	30	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
32	31	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
33	28, 32	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)))
34	25, 33	rspc2ev 3597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
35	16, 17, 18, 19, 34	syl112anc 1397	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
36	35	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
37		rmspecsqrtnq 43495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
38	37	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
39	38	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
40		nn0ssq 12972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
41		simp2 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
42	40, 41	sselid 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
43	42	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℚ)
44		zq 12969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℚ)
45	44	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
46	45	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ ℚ)
47	40	sseli 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℚ)
48	47	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℚ)
49		zq 12969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
50	49	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℚ)
51		qirropth 43497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
52	39, 43, 46, 48, 50, 51	syl122anc 1402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
53	52	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) → (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
54	53	anim1d 622	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
55		oveq1 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋↑2) = (𝑥↑2))
56		oveq1 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (𝑌↑2) = (𝑦↑2))
57	56	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)))
58	55, 57	oveqan12d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
59	58	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
60	59	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
61	60	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
62	54, 61	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
63	62	rexlimdvva 3222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
64	36, 63	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
65		elpell14qr 43438	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
66	2, 65	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
67	15, 64, 66	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))))
68	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
69	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
70	45	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
71		frmx 43502	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
73		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
75	72, 73, 74	fovcdmd 7572	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℕ0)
76	40, 75	sselid 3937	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ)
77		zssq 12971	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
78		frmy 43503	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
80	79, 73, 74	fovcdmd 7572	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℤ)
81	77, 80	sselid 3937	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)
82		qirropth 43497	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
83	68, 69, 70, 76, 81, 82	syl122anc 1402	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
84		rmxyval 43504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
85	84	3ad2antl1 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
86		rmspecfund 43498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
87	86	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
88	87	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
89	88	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
90	85, 89	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛))
91	90	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
92	83, 91	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
93	92	rexbidva 3187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
94	4, 67, 93	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   × cxp 5650  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  ℕcn 12224  2c2 12286  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℚcq 12963  ↑cexp 14088  √csqrt 15274  ◻_NNcsquarenn 43425  Pell14QRcpell14qr 43428  PellFundcpellfund 43429   X_rm crmx 43489   Y_rm crmy 43490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-numer 16784  df-denom 16785  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-squarenn 43430  df-pell1qr 43431  df-pell14qr 43432  df-pell1234qr 43433  df-pellfund 43434  df-rmx 43491  df-rmy 43492

This theorem is referenced by:  rmxynorm  43507  jm2.27b  43595