Theorem rmxycomplete 43627

Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. This is Metamath 100 proof #39. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxycomplete	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem rmxycomplete

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmspecnonsq 43617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3		pellfund14b 43609	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
5		nn0re 12514	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
7		rmspecpos 43626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 15465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
11		zre 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
15	14	biantrurd 541	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
16		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ0)
17		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → 𝑌 ∈ ℤ)
18		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
19		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
20		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)))
21	20	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦))))
22		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
23	22	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
24	23	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
25	21, 24	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
26		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))
27	26	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)))
28	27	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌))))
29		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦↑2) = (𝑌↑2))
30	29	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)))
31	30	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
32	31	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
33	28, 32	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)))
34	25, 33	rspc2ev 3595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
35	16, 17, 18, 19, 34	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))
36	35	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
37		rmspecsqrtnq 43616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
38	37	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
39	38	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
40		nn0ssq 12982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
41		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
42	40, 41	sselid 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
43	42	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ ℚ)
44		zq 12979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℚ)
45	44	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
46	45	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ ℚ)
47	40	sseli 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℚ)
48	47	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℚ)
49		zq 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
50	49	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℚ)
51		qirropth 43618	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
52	39, 43, 46, 48, 50, 51	syl122anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ↔ (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
53	52	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) → (𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦)))
54	53	anim1d 622	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
55		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋↑2) = (𝑥↑2))
56		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (𝑌↑2) = (𝑦↑2))
57	56	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 𝑦 → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)))
58	55, 57	oveqan12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))))
59	58	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))))
60	59	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) → (((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
61	60	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 = 𝑥 ∧ 𝑌 = 𝑦) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1)
62	54, 61	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
63	62	rexlimdvva 3222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1))
64	36, 63	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))
65		elpell14qr 43559	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
66	2, 65	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ↔ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = (𝑥 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑦)) ∧ ((𝑥↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1))))
67	15, 64, 66	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1))))
68	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
69	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℚ)
70	45	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℚ)
71		frmx 43623	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
73		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
75	72, 73, 74	fovcdmd 7584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℕ0)
76	40, 75	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ)
77		zssq 12981	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
78		frmy 43624	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
80	79, 73, 74	fovcdmd 7584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℤ)
81	77, 80	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)
82		qirropth 43618	. . . . 5 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ (𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑛) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑛) ∈ ℚ)) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
83	68, 69, 70, 76, 81, 82	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))
84		rmxyval 43625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
85	84	3ad2antl1 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
86		rmspecfund 43619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
87	86	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
88	87	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
89	88	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑛))
90	85, 89	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛))
91	90	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((𝐴 Xrm 𝑛) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑛))) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
92	83, 91	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
93	92	rexbidva 3187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 𝑌)) = ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑛)))
94	4, 67, 93	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑌↑2))) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑛) ∧ 𝑌 = (𝐴 Yrm 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   × cxp 5661  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ℚcq 12973  ↑cexp 14099  √csqrt 15286  ◻_NNcsquarenn 43546  Pell14QRcpell14qr 43549  PellFundcpellfund 43550   X_rm crmx 43610   Y_rm crmy 43611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-numer 16795  df-denom 16796  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26702  df-squarenn 43551  df-pell1qr 43552  df-pell14qr 43553  df-pell1234qr 43554  df-pellfund 43555  df-rmx 43612  df-rmy 43613

This theorem is referenced by:  rmxynorm  43628  jm2.27b  43716