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Theorem pell14qrdich 42880
Description: A positive Pell solution is either in the first quadrant, or its reciprocal is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrdich ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))

Proof of Theorem pell14qrdich
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 42860 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
21biimpa 476 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
3 simplrr 778 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
4 elznn0 12628 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
53, 4sylib 218 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
65simprd 495 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0))
7 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
11 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
12 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
13 rsp2e 3278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
158, 14jca 511 . . . . . . . . 9 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
1615ex 412 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
17 elpell1qr 42858 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
1817ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
1916, 18sylibrd 259 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
207ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 pell14qrne0 42869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
2221ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
2320, 22rereccld 12094 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
249ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → -𝑏 ∈ ℕ0)
26 pell14qrre 42868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2827, 21reccld 12036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2928ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
30 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
3130ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
32 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
3332nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
3433ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3534sqrtcld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
36 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
3736ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3837negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → -𝑏 ∈ ℂ)
3935, 38mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) ∈ ℂ)
4031, 39addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∈ ℂ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∈ ℂ)
4227ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4321ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0)
4427, 21recidd 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
4544ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
46 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
4745, 46eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
4831adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℂ)
4935, 37mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
51 subsq 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5335, 37sqmuld 14198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
5434sqsqrtd 15478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
5554oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
5653, 55eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6035, 37mulneg2d 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
62 negsub 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6362eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
6431, 49, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
6561, 64eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6759, 66oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
6852, 58, 673eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
6968adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
7047, 69eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
7129, 41, 42, 43, 70mulcanad 11898 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
7337ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
74 sqneg 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7675oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
7776oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
78 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
7977, 78eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
8072, 79jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
81 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑐) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
8281oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = -𝑏 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
8382eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = -𝑏 → ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
84 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = -𝑏 → (𝑐↑2) = (-𝑏↑2))
8584oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑐↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
8685oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = -𝑏 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
8786eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = -𝑏 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
8883, 87anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = -𝑏 → (((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
8988rspcev 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
9025, 80, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
91 rspe 3249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
9224, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
9323, 92jca 511 . . . . . . . . 9 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)))
9493ex 412 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏 ∈ ℕ0 → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
95 elpell1qr 42858 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
9695ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
9794, 96sylibrd 259 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏 ∈ ℕ0 → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
9819, 97orim12d 967 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
996, 98mpd 15 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
10099ex 412 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
101100rexlimdvva 3213 . . 3 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
102101expimpd 453 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
1032, 102mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cexp 14102  csqrt 15272  NNcsquarenn 42847  Pell1QRcpell1qr 42848  Pell14QRcpell14qr 42850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  42883
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