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Theorem pell14qrdich 39334
Description: A positive Pell solution is either in the first quadrant, or its reciprocal is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrdich ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))

Proof of Theorem pell14qrdich
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 39314 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
21biimpa 477 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
3 simplrr 774 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
4 elznn0 11985 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
53, 4sylib 219 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
65simprd 496 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0))
7 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
109ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
12 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
13 rsp2e 3310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
158, 14jca 512 . . . . . . . . 9 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
1615ex 413 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
17 elpell1qr 39312 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
1817ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
1916, 18sylibrd 260 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
207ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 pell14qrne0 39323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
2221ad4antr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
2320, 22rereccld 11456 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
249ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → -𝑏 ∈ ℕ0)
26 pell14qrre 39322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2827, 21reccld 11398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2928ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
30 nn0cn 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
3130ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
32 eldifi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
3332nncnd 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
3433ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3534sqrtcld 14787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
36 zcn 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
3736ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3837negcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → -𝑏 ∈ ℂ)
3935, 38mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) ∈ ℂ)
4031, 39addcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∈ ℂ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∈ ℂ)
4227ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4321ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0)
4427, 21recidd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
4544ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
46 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
4745, 46eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
4831adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℂ)
4935, 37mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
51 subsq 13562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5335, 37sqmuld 13512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
5434sqsqrtd 14789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
5554oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
5653, 55eqtr2d 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
5756oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6035, 37mulneg2d 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
6160oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
62 negsub 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6362eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
6431, 49, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
6561, 64eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
6759, 66oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
6852, 58, 673eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
6968adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
7047, 69eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
7129, 41, 42, 43, 70mulcanad 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
7337ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
74 sqneg 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7675oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
7776oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
78 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
7977, 78eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
8072, 79jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
81 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑐) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
8281oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = -𝑏 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
8382eqeq2d 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = -𝑏 → ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
84 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = -𝑏 → (𝑐↑2) = (-𝑏↑2))
8584oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑐↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
8685oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = -𝑏 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
8786eqeq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = -𝑏 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
8883, 87anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = -𝑏 → (((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
8988rspcev 3627 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
9025, 80, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
91 rspe 3309 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
9224, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))
9323, 92jca 512 . . . . . . . . 9 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)))
9493ex 413 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏 ∈ ℕ0 → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
95 elpell1qr 39312 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
9695ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
9794, 96sylibrd 260 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏 ∈ ℕ0 → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
9819, 97orim12d 960 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
996, 98mpd 15 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
10099ex 413 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
101100rexlimdvva 3299 . . 3 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
102101expimpd 454 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))))
1032, 102mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144  cdif 3937  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  0cn0 11886  cz 11970  cexp 13419  csqrt 14582  NNcsquarenn 39301  Pell1QRcpell1qr 39302  Pell14QRcpell14qr 39304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-pell1qr 39307  df-pell14qr 39308  df-pell1234qr 39309
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  39337
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