Theorem pell14qrgt0 43687

Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrgt0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem pell14qrgt0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell14qr 43677	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		0cnd 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ∈ ℂ)
3		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
6	4	nnnn0d 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ0)
7	6	nn0ge0d 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝐷)
8	5, 7	resqrtcld 15507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
9		zre 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
11	10	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
14	2, 13	abssubd 15545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (abs‘(((√‘𝐷) · 𝑏) − 0)))
15	13	subid1d 11585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷) · 𝑏) − 0) = ((√‘𝐷) · 𝑏))
16	15	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(((√‘𝐷) · 𝑏) − 0)) = (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
17	14, 16	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
18		absresq 15391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
19	12, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
20	5	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
22	10	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℂ)
24	21, 23	sqmuld 14224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
25	20	sqsqrtd 15531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
26	25	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
27	19, 24, 26	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
28		0lt1 11763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
30	28, 29	breqtrrid 5147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
31	11	resqcld 14191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
32	5, 31	remulcld 11266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℝ)
33		nn0re 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℝ)
36	35	resqcld 14191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
37	32, 36	posdifd 11828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝐷 · (𝑏↑2)) < (𝑎↑2) ↔ 0 < ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2)))))
38	30, 37	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) < (𝑎↑2))
39	27, 38	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) < (𝑎↑2))
40	13	abscld 15528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℝ)
41	13	absge0d 15536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
42		nn0ge0 12556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
43	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑎)
44	43	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑎)
45	40, 35, 41, 44	lt2sqd 14322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) < 𝑎 ↔ ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) < (𝑎↑2)))
46	39, 45	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) < 𝑎)
47	17, 46	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) < 𝑎)
48		0red 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ∈ ℝ)
49	48, 12, 35	absdifltd 15525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) < 𝑎 ↔ ((((√‘𝐷) · 𝑏) − 𝑎) < 0 ∧ 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((((√‘𝐷) · 𝑏) − 𝑎) < 0 ∧ 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎)))
51	50	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))
52		nn0cn 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
54	53	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℂ)
55	54, 13	addcomd 11439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))
56	51, 55	breqtrrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
57	56	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
58		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
59	57, 58	breqtrrd 5137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < 𝐴)
60	59	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < 𝐴))
61	60	rexlimdvva 3221	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < 𝐴))
62	61	expimpd 459	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < 𝐴))
63	1, 62	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 0 < 𝐴))
64	63	imp 412	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ↑cexp 14127  √csqrt 15322  abscabs 15323  ◻_NNcsquarenn 43664  Pell14QRcpell14qr 43667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-pell14qr 43671

This theorem is used by:  pell14qrrp  43688  elpell14qr2  43690  elpell1qr2  43700  pellfundex  43714