Theorem pell14qrgt0 38962

Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrgt0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem pell14qrgt0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell14qr 38952	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		0cnd 10487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ∈ ℂ)
3		eldifi 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
6	4	nnnn0d 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ0)
7	6	nn0ge0d 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝐷)
8	5, 7	resqrtcld 14615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
9		zre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
11	10	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 10524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
14	2, 13	abssubd 14651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (abs‘(((√‘𝐷) · 𝑏) − 0)))
15	13	subid1d 10840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷) · 𝑏) − 0) = ((√‘𝐷) · 𝑏))
16	15	fveq2d 6549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(((√‘𝐷) · 𝑏) − 0)) = (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
17	14, 16	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
18		absresq 14500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
19	12, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
20	5	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 14635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
22	10	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℂ)
24	21, 23	sqmuld 13376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
25	20	sqsqrtd 14637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
26	25	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
27	19, 24, 26	3eqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
28		0lt1 11016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
30	28, 29	breqtrrid 5006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
31	11	resqcld 13465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
32	5, 31	remulcld 10524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℝ)
33		nn0re 11760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℝ)
36	35	resqcld 13465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
37	32, 36	posdifd 11081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝐷 · (𝑏↑2)) < (𝑎↑2) ↔ 0 < ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2)))))
38	30, 37	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) < (𝑎↑2))
39	27, 38	eqbrtrd 4990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) < (𝑎↑2))
40	13	abscld 14634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℝ)
41	13	absge0d 14642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
42		nn0ge0 11776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑎)
44	43	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑎)
45	40, 35, 41, 44	lt2sqd 13473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) < 𝑎 ↔ ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) < (𝑎↑2)))
46	39, 45	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) < 𝑎)
47	17, 46	eqbrtrd 4990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) < 𝑎)
48		0red 10497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ∈ ℝ)
49	48, 12, 35	absdifltd 14631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) < 𝑎 ↔ ((((√‘𝐷) · 𝑏) − 𝑎) < 0 ∧ 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))))
50	47, 49	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((((√‘𝐷) · 𝑏) − 𝑎) < 0 ∧ 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎)))
51	50	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))
52		nn0cn 11761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
54	53	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℂ)
55	54, 13	addcomd 10695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))
56	51, 55	breqtrrd 4996	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
57	56	adantrl 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
58		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
59	57, 58	breqtrrd 4996	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < 𝐴)
60	59	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < 𝐴))
61	60	rexlimdvva 3259	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < 𝐴))
62	61	expimpd 454	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < 𝐴))
63	1, 62	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 0 < 𝐴))
64	63	imp 407	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∃wrex 3108   ∖ cdif 3862   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  ℝcr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528   ≤ cle 10529   − cmin 10723  ℕcn 11492  2c2 11546  ℕ₀cn0 11751  ℤcz 11835  ↑cexp 13283  √csqrt 14430  abscabs 14431  ◻_NNcsquarenn 38939  Pell14QRcpell14qr 38942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-pell14qr 38946

This theorem is referenced by:  pell14qrrp  38963  elpell14qr2  38965  elpell1qr2  38975  pellfundex  38989