Theorem pell14qrgt0 42270

Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrgt0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem pell14qrgt0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell14qr 42260	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		0cnd 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ∈ ℂ)
3		eldifi 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
6	4	nnnn0d 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ0)
7	6	nn0ge0d 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝐷)
8	5, 7	resqrtcld 15391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
9		zre 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
11	10	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
14	2, 13	abssubd 15427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (abs‘(((√‘𝐷) · 𝑏) − 0)))
15	13	subid1d 11585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷) · 𝑏) − 0) = ((√‘𝐷) · 𝑏))
16	15	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(((√‘𝐷) · 𝑏) − 0)) = (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
17	14, 16	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
18		absresq 15276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
19	12, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
20	5	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
22	10	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℂ)
24	21, 23	sqmuld 14149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
25	20	sqsqrtd 15413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
26	25	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
27	19, 24, 26	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
28		0lt1 11761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
30	28, 29	breqtrrid 5181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
31	11	resqcld 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
32	5, 31	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℝ)
33		nn0re 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℝ)
36	35	resqcld 14116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
37	32, 36	posdifd 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝐷 · (𝑏↑2)) < (𝑎↑2) ↔ 0 < ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2)))))
38	30, 37	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) < (𝑎↑2))
39	27, 38	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) < (𝑎↑2))
40	13	abscld 15410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℝ)
41	13	absge0d 15418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)))
42		nn0ge0 12522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑎)
44	43	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑎)
45	40, 35, 41, 44	lt2sqd 14245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) < 𝑎 ↔ ((abs‘((√‘𝐷) · 𝑏))↑2) < (𝑎↑2)))
46	39, 45	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘((√‘𝐷) · 𝑏)) < 𝑎)
47	17, 46	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) < 𝑎)
48		0red 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ∈ ℝ)
49	48, 12, 35	absdifltd 15407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((abs‘(0 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) < 𝑎 ↔ ((((√‘𝐷) · 𝑏) − 𝑎) < 0 ∧ 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))))
50	47, 49	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((((√‘𝐷) · 𝑏) − 𝑎) < 0 ∧ 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎)))
51	50	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))
52		nn0cn 12507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
54	53	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℂ)
55	54, 13	addcomd 11441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (((√‘𝐷) · 𝑏) + 𝑎))
56	51, 55	breqtrrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
57	56	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
58		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
59	57, 58	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < 𝐴)
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < 𝐴))
61	60	rexlimdvva 3207	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 < 𝐴))
62	61	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 0 < 𝐴))
63	1, 62	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 0 < 𝐴))
64	63	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066   ∖ cdif 3942   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273   ≤ cle 11274   − cmin 11469  ℕcn 12237  2c2 12292  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ↑cexp 14053  √csqrt 15207  abscabs 15208  ◻_NNcsquarenn 42247  Pell14QRcpell14qr 42250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-pell14qr 42254

This theorem is referenced by:  pell14qrrp  42271  elpell14qr2  42273  elpell1qr2  42283  pellfundex  42297