Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrss14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrss14 38213
Description: First-quadrant Pell solutions are a subset of the positive solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrss14 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qrss14
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 11689 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ))
32anim1d 605 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
43reximdv2 3195 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
54reximdv 3197 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
65anim2d 606 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
7 elpell1qr 38192 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
8 elpell14qr 38194 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
96, 7, 83imtr4d 286 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
109ssrdv 3805 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3091  cdif 3767  wss 3770  cfv 6102  (class class class)co 6879  cr 10224  1c1 10226   + caddc 10228   · cmul 10230  cmin 10557  cn 11313  2c2 11367  0cn0 11579  cz 11665  cexp 13113  csqrt 14313  NNcsquarenn 38181  Pell1QRcpell1qr 38182  Pell14QRcpell14qr 38184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-pell1qr 38187  df-pell14qr 38188
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  38217  pellfundre  38226  pellfundge  38227  pellfundglb  38230  pellfundex  38231  pellfund14  38243  pellfund14b  38244  rmspecfund  38254
  Copyright terms: Public domain W3C validator