Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrss14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrss14 42189
Description: First-quadrant Pell solutions are a subset of the positive solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrss14 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell1QRโ€˜๐ท) โІ (Pell14QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pell1qrss14
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 12587 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21a1i 11 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค))
32anim1d 610 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
43reximdv2 3158 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)))
54reximdv 3164 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)))
65anim2d 611 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
7 elpell1qr 42168 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
8 elpell14qr 42170 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
96, 7, 83imtr4d 294 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
109ssrdv 3983 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell1QRโ€˜๐ท) โІ (Pell14QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   โˆ– cdif 3940   โІ wss 3943  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15186  โ—ปNNcsquarenn 42157  Pell1QRcpell1qr 42158  Pell14QRcpell14qr 42160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-pell1qr 42163  df-pell14qr 42164
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  42193  pellfundre  42202  pellfundge  42203  pellfundglb  42206  pellfundex  42207  pellfund14  42219  pellfund14b  42220  rmspecfund  42230
  Copyright terms: Public domain W3C validator