![]() |
Mathbox for Stefan O'Rear |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pell1qrss14 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: First-quadrant Pell solutions are a subset of the positive solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
pell1qrss14 | โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (Pell1QRโ๐ท) โ (Pell14QRโ๐ท)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0z 12587 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โค) | |
2 | 1 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ โ โ0 โ ๐ โ โค)) |
3 | 2 | anim1d 610 | . . . . . 6 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ ((๐ โ โ0 โง (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1)) โ (๐ โ โค โง (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1)))) |
4 | 3 | reximdv2 3158 | . . . . 5 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (โ๐ โ โ0 (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1) โ โ๐ โ โค (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1))) |
5 | 4 | reximdv 3164 | . . . 4 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (โ๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1) โ โ๐ โ โ0 โ๐ โ โค (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1))) |
6 | 5 | anim2d 611 | . . 3 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ ((๐ โ โ โง โ๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1)) โ (๐ โ โ โง โ๐ โ โ0 โ๐ โ โค (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1)))) |
7 | elpell1qr 42168 | . . 3 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ โ (Pell1QRโ๐ท) โ (๐ โ โ โง โ๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1)))) | |
8 | elpell14qr 42170 | . . 3 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ โ (Pell14QRโ๐ท) โ (๐ โ โ โง โ๐ โ โ0 โ๐ โ โค (๐ = (๐ + ((โโ๐ท) ยท ๐)) โง ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1)))) | |
9 | 6, 7, 8 | 3imtr4d 294 | . 2 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ โ (Pell1QRโ๐ท) โ ๐ โ (Pell14QRโ๐ท))) |
10 | 9 | ssrdv 3983 | 1 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (Pell1QRโ๐ท) โ (Pell14QRโ๐ท)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3064 โ cdif 3940 โ wss 3943 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โcr 11111 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 โ cmin 11448 โcn 12216 2c2 12271 โ0cn0 12476 โคcz 12562 โcexp 14032 โcsqrt 15186 โปNNcsquarenn 42157 Pell1QRcpell1qr 42158 Pell14QRcpell14qr 42160 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-neg 11451 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-pell1qr 42163 df-pell14qr 42164 |
This theorem is referenced by: elpell1qr2 42193 pellfundre 42202 pellfundge 42203 pellfundglb 42206 pellfundex 42207 pellfund14 42219 pellfund14b 42220 rmspecfund 42230 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |