Theorem eltop3 23187

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop3	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Proof of Theorem eltop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 23184	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2	1	eleq2d 2851	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3		eltg3 23173	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
4	2, 3	bitr3d 284	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  topGenctg 17516  Topctop 23104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topgen 17522  df-top 23105

This theorem is used by: (None)