Theorem eltop3 23321

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop3	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Proof of Theorem eltop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 23318	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2	1	eleq2d 2850	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3		eltg3 23307	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
4	2, 3	bitr3d 284	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6555  topGenctg 17634  Topctop 23238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-topgen 17640  df-top 23239

This theorem is used by: (None)