Theorem eltop3 22984

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop3	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Proof of Theorem eltop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 22981	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2	1	eleq2d 2826	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3		eltg3 22970	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
4	2, 3	bitr3d 281	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906  ‘cfv 6560  topGenctg 17483  Topctop 22900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-topgen 17489  df-top 22901

This theorem is referenced by: (None)