MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop3 21188
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop3 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽𝐴 = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Proof of Theorem eltop3
StepHypRef Expression
1 tgtop 21185 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2845 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg3 21174 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽𝐴 = 𝑥)))
42, 3bitr3d 273 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽𝐴 = 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wss 3792   cuni 4671  cfv 6135  topGenctg 16484  Topctop 21105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-topgen 16490  df-top 21106
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator