MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop3 22999
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop3 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽𝐴 = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Proof of Theorem eltop3
StepHypRef Expression
1 tgtop 22996 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2825 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg3 22985 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽𝐴 = 𝑥)))
42, 3bitr3d 281 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽𝐴 = 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wss 3963   cuni 4912  cfv 6563  topGenctg 17484  Topctop 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-top 22916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator