Theorem fibas 23000

Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fibas	⊢ (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Proof of Theorem fibas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6920	. 2 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
2		fiin 9460	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
3	2	rgen2 3197	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4		fiinbas 22975	. 2 ⊢ (((fi‘𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ∈ TopBases)
5	1, 3, 4	mp2an 692	1 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ∩ cin 3962  ‘cfv 6563  ficfi 9448  TopBasesctb 22968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-bases 22969

This theorem is referenced by:  restbas  23182  ordttopon  23217  ordtopn1  23218  ordtopn2  23219  ordtrest2  23228  leordtval2  23236  2ndcsb  23473  ptbas  23603  xkotop  23612  alexsublem  24068  alexsub  24069  alexsubb  24070  alexsubALTlem3  24073  alexsubALTlem4  24074  alexsubALT  24075  ptcmplem1  24076  ordtrest2NEW  33884  topjoin  36348