Theorem fibas 23115

Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fibas	⊢ (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Proof of Theorem fibas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6896	. 2 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
2		fiin 9383	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
3	2	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4		fiinbas 23090	. 2 ⊢ (((fi‘𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ∈ TopBases)
5	1, 3, 4	mp2an 704	1 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∩ cin 3905  ‘cfv 6538  ficfi 9371  TopBasesctb 23083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-en 8945  df-fin 8948  df-fi 9372  df-bases 23084

This theorem is referenced by:  restbas  23296  ordttopon  23331  ordtopn1  23332  ordtopn2  23333  ordtrest2  23342  leordtval2  23350  2ndcsb  23587  ptbas  23717  xkotop  23726  alexsublem  24182  alexsub  24183  alexsubb  24184  alexsubALTlem3  24187  alexsubALTlem4  24188  alexsubALT  24189  ptcmplem1  24190  ordtrest2NEW  34294  topjoin  36857