Theorem fibas 22035

Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fibas	⊢ (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Proof of Theorem fibas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6769	. 2 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
2		fiin 9111	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
3	2	rgen2 3126	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4		fiinbas 22010	. 2 ⊢ (((fi‘𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ∈ TopBases)
5	1, 3, 4	mp2an 688	1 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ‘cfv 6418  ficfi 9099  TopBasesctb 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-en 8692  df-fin 8695  df-fi 9100  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  restbas  22217  ordttopon  22252  ordtopn1  22253  ordtopn2  22254  ordtrest2  22263  leordtval2  22271  2ndcsb  22508  ptbas  22638  xkotop  22647  alexsublem  23103  alexsub  23104  alexsubb  23105  alexsubALTlem3  23108  alexsubALTlem4  23109  alexsubALT  23110  ptcmplem1  23111  ordtrest2NEW  31775  topjoin  34481