Theorem eltg3 22990

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eltg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6957	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2		inex1g 5337	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
4		eltg4i 22988	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
5		inss1 4258	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵
6		sseq1 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵))
7	5, 6	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
8	7	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
9		unieq 4942	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10	9	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
11	8, 10	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
12	3, 4, 11	spcedv 3611	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
13		eltg3i 22989	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
14		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
15	13, 14	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
16	15	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
17	16	exlimdv 1932	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
18	12, 17	impbid2 226	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  topGenctg 17497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-topgen 17503

This theorem is referenced by:  tgval3  22991  tgtop  23001  eltop3  23004  tgidm  23008  bastop1  23021  tgrest  23188  tgcn  23281  txbasval  23635  opnmblALT  25657  mbfimaopnlem  25709  isfne3  36309  fneuni  36313  dissneqlem  37306  tgqioo2  45465