MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsupd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqsupd 9495
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
eqsupd.2 (𝜑𝐶𝐴)
eqsupd.3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsupd.4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
Assertion
Ref Expression
eqsupd (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsupd
StepHypRef Expression
1 eqsupd.2 . 2 (𝜑𝐶𝐴)
2 eqsupd.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
32ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4 eqsupd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
54expr 456 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
65ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7 supmo.1 . . 3 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
87eqsup 9494 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
91, 3, 6, 8mp3and 1463 1 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148   Or wor 5596  supcsup 9478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-po 5597  df-so 5598  df-iota 6516  df-riota 7388  df-sup 9480
This theorem is referenced by:  supmax  9505  supiso  9513  dfgcd2  16580  esumpcvgval  34059  esum2d  34074  mblfinlem3  37646  mblfinlem4  37647  ismblfin  37648  itg2addnclem  37658  radcnvrat  44310
  Copyright terms: Public domain W3C validator