MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsupd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqsupd 9497
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
eqsupd.2 (𝜑𝐶𝐴)
eqsupd.3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsupd.4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
Assertion
Ref Expression
eqsupd (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsupd
StepHypRef Expression
1 eqsupd.2 . 2 (𝜑𝐶𝐴)
2 eqsupd.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
32ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4 eqsupd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
54expr 456 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
65ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7 supmo.1 . . 3 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
87eqsup 9496 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
91, 3, 6, 8mp3and 1466 1 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143   Or wor 5591  supcsup 9480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-po 5592  df-so 5593  df-iota 6514  df-riota 7388  df-sup 9482
This theorem is referenced by:  supmax  9507  supiso  9515  dfgcd2  16583  esumpcvgval  34079  esum2d  34094  mblfinlem3  37666  mblfinlem4  37667  ismblfin  37668  itg2addnclem  37678  radcnvrat  44333
  Copyright terms: Public domain W3C validator