Theorem eqsupd 9458

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
eqsupd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
eqsupd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsupd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)

Assertion

Ref	Expression
eqsupd	⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsupd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsupd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eqsupd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
3	2	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4		eqsupd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)
5	4	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
6	5	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7		supmo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
8	7	eqsup 9457	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1463	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148   Or wor 5587  supcsup 9441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-po 5588  df-so 5589  df-iota 6495  df-riota 7368  df-sup 9443

This theorem is referenced by:  supmax  9468  supiso  9476  dfgcd2  16495  esumpcvgval  33539  esum2d  33554  mblfinlem3  36990  mblfinlem4  36991  ismblfin  36992  itg2addnclem  37002  radcnvrat  43535