Theorem eqsupd 9497

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
eqsupd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
eqsupd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsupd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)

Assertion

Ref	Expression
eqsupd	⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsupd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsupd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eqsupd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
3	2	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4		eqsupd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)
5	4	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
6	5	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7		supmo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
8	7	eqsup 9496	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1466	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143   Or wor 5591  supcsup 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-po 5592  df-so 5593  df-iota 6514  df-riota 7388  df-sup 9482

This theorem is referenced by:  supmax  9507  supiso  9515  dfgcd2  16583  esumpcvgval  34079  esum2d  34094  mblfinlem3  37666  mblfinlem4  37667  ismblfin  37668  itg2addnclem  37678  radcnvrat  44333