Theorem eqsupd 9430

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
eqsupd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
eqsupd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsupd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)

Assertion

Ref	Expression
eqsupd	⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsupd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsupd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eqsupd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
3	2	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4		eqsupd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)
5	4	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
6	5	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7		supmo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
8	7	eqsup 9429	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1493	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103   Or wor 5562  supcsup 9413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-po 5563  df-so 5564  df-iota 6489  df-riota 7371  df-sup 9415

This theorem is used by:  supmax  9441  supiso  9449  dfgcd2  16639  esumpcvgval  34591  esum2d  34606  mblfinlem3  38411  mblfinlem4  38412  ismblfin  38413  itg2addnclem  38423  radcnvrat  45141