Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  radcnvrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvrat 44309
Description: Let 𝐿 be the limit, if one exists, of the ratio (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) (as in the ratio test cvgdvgrat 44308) as 𝑘 increases. Then the radius of convergence of power series Σ𝑛 ∈ ℕ0((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) is (1 / 𝐿) if 𝐿 is nonzero. Proof "The limit involved in the ratio test..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence 44308 —a few lines that evidently hide quite an involved process to confirm. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
radcnvrat.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnvrat.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnvrat.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvrat.rat 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
radcnvrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
radcnvrat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
radcnvrat.n0 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
radcnvrat.l (𝜑𝐷𝐿)
radcnvrat.ln0 (𝜑𝐿 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
radcnvrat (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝜑   𝐴,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛,𝑥   𝑘,𝑟,𝑥,𝐺   𝑘,𝐿,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem radcnvrat
StepHypRef Expression
1 radcnvrat.r . 2 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
2 xrltso 13179 . . . 4 < Or ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
4 radcnvrat.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 radcnvrat.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 12636 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
74reseq2i 5996 . . . . . . 7 (𝐷𝑍) = (𝐷 ↾ (ℤ𝑀))
8 radcnvrat.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐿)
9 radcnvrat.rat . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
10 nn0ex 12529 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1110mptex 7242 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ∈ V
129, 11eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
13 climres 15607 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
146, 12, 13sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
158, 14mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿)
167, 15eqbrtrid 5182 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑍) ⇝ 𝐿)
179reseq1i 5995 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑍) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍)
18 eluznn0 12956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
195, 18sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2019ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
2120ssrdv 4000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
224, 21eqsstrid 4043 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℕ0)
2322resmptd 6059 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
2417, 23eqtrid 2786 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
25 fvexd 6921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ V)
2624, 25fvmpt2d 7028 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
274peano2uzs 12941 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
2822sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
29 radcnvrat.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3029ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3128, 30syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3227, 31sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3322sselda 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3429ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
36 radcnvrat.n0 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
3732, 35, 36divcld 12040 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
3837abscld 15471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ ℝ)
3926, 38eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) ∈ ℝ)
404, 6, 16, 39climrecl 15615 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
41 radcnvrat.ln0 . . . . 5 (𝜑𝐿 ≠ 0)
4240, 41rereccld 12091 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
4342rexrd 11308 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
44 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
45 elrabi 3689 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ ℝ)
4642adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
47 recn 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4847abscld 15471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
5046, 49ltlend 11403 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5150simplbda 499 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5250adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5453biantrud 531 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5546, 49lenltd 11404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5752, 54, 563bitr2d 307 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
58 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5949recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
6040recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ≠ 0)
6358, 59, 61, 62divmul3d 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ 1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
64 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ (abs‘𝑥) = (1 / 𝐿))
65 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1)
6663, 64, 653bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) = (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1))
6766necon3bid 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1))
6867biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
69 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
70 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘𝑍 → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7271, 39eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
7337absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
7473, 26breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐷𝑍)‘𝑘))
7574, 71breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
764, 6, 8, 72, 75climge0 15616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
7740, 76, 41ne0gt0d 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝐿)
7840, 77elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ+)
8049, 69, 79ltmuldivd 13121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
82 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})))
83 inundif 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) = ℝ
8483eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
8582, 84bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
86 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {0}))
8786simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
88 elsni 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 = 0)
90 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
91 abs0 15320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (abs‘0) = 0
9290, 91eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
9392oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = (0 · 𝐿))
9460mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0 · 𝐿) = 0)
9593, 94sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 0)
96 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 1
9795, 96eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1)
98 radcnvrat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
9998, 29radcnv0 26473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
100 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10199, 100syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
102101imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
10397, 1022thd 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 = 0) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10489, 103sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
105104adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
106 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ⊆ ℂ
107 ssdif 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
109108sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
110 nn0uz 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 = (ℤ‘0)
1115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
112 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝐺𝑥) ∈ V)
113 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
11498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))))
11510mptex 7242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V)
117114, 116fvmpt2d 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
119 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
120 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
121119, 120oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
123 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
124 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
125118, 122, 123, 124fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
12634adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
127 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
128127, 123expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
129126, 128mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
130125, 129eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
131113, 130sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
132131adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
13333adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134133, 125syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
135113, 134sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
13635adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
137113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℂ)
13933adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140138, 139expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
14136adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
142 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
143142ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ≠ 0)
144139nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
145138, 143, 144expne0d 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ≠ 0)
146136, 140, 141, 145mulne0d 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ≠ 0)
147135, 146eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
148147adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
149 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) = ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)))
150 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘𝑛) = ((𝐺𝑥)‘𝑘))
151149, 150oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)) = (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)))
152151fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
153152cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
1544reseq2i 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀))
15522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑍 ⊆ ℕ0)
156155resmptd 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
157154, 156eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
1586adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑀 ∈ ℤ)
1598adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐷𝐿)
160137abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
161160recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
16210mptex 7242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V)
16472recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
165164adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
166 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
167152adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
168 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) ∈ V)
169166, 167, 139, 168fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
170117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
171 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
172171fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
173171oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
174172, 173oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
175 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℕ0
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℕ0)
177133, 176nn0addcld 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
178 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ V)
179170, 174, 177, 178fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
180121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
181 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
182170, 180, 133, 181fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
183179, 182oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
184113, 183sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
18532adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
186113, 177sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
187138, 186expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
188185, 136, 187, 140, 141, 145divmuldivd 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
189139nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
190 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℂ)
191189, 190pncan2d 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
192191oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑥↑1))
193186nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
194138, 143, 144, 193expsubd 14193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)))
195138exp1d 14177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑1) = 𝑥)
196192, 194, 1953eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)) = 𝑥)
197196oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
198184, 188, 1973eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
199198fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) = (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)))
20037adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
201200, 138absmuld 15489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
202169, 199, 2013eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
20371, 26eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
204203adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
205204eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) = (𝐷𝑘))
206205oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)) = ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)))
207161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
208165, 207mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
209202, 206, 2083eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
2104, 158, 159, 161, 163, 165, 209climmulc2 15669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
211 climres 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
212158, 162, 211sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
213210, 212mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
214157, 213eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
216 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
217110, 4, 111, 112, 132, 148, 153, 215, 216cvgdvgrat 44308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
218109, 217sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
219 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
220 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 = 𝑥 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑥))
221220seqeq3d 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 = 𝑥 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑥)))
222221eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = 𝑥 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
223222elrab3 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
224219, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
225224ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
226218, 225bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
227226an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
228105, 227jaodan 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
22985, 228sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
230229an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23181, 230bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23268, 231syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
233232notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23457, 233bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
235234biimpd 229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
236235impancom 451 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23751, 236mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
238237ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
239238con2d 134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
24046adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
241 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
24249adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
243 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < 𝑥)
244241leabsd 15449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ≤ (abs‘𝑥))
245240, 241, 242, 243, 244ltletrd 11418 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥))
246245ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < 𝑥 → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
247239, 246nsyld 156 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
24845, 247sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
24944, 248mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥)
25042renegcld 11687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ)
251250rexrd 11308 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
252 iooss1 13418 . . . . . . . 8 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
253251, 252sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
254253adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
255 eliooord 13442 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → (𝑥 < 𝑘𝑘 < (1 / 𝐿)))
256255simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 < 𝑘)
257256rgen 3060 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘
258 ioon0 13409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
25943, 258sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
260259ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
261260biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
262 r19.2zb 4501 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
263261, 262sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
264257, 263mpi 20 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
265264anasss 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
266265adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
267 ssrexv 4064 . . . . . 6 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → (∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
268254, 266, 267sylc 65 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
269 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
270 xrltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) ↔ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥))
271 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
272270, 271sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
273251, 272sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
274273ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
275274imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿))
276 iooss1 13418 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
277269, 275, 276syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
278277sselda 3994 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
279278, 256syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 < 𝑘)
280279ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
28140, 77recgt0d 12199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐿))
28242, 42, 281, 281addgt0d 11835 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
28342recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℂ)
284283, 283subnegd 11624 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)) = ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
285282, 284breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)))
286250, 42posdifd 11847 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿) ↔ 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿))))
287285, 286mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿))
288 ioon0 13409 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
289251, 43, 288syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
290287, 289mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
291 r19.2zb 4501 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
292290, 291sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
293292ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
294280, 293mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
295294adantlrr 721 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
296268, 295pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
297 elioo2 13424 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
298251, 43, 297syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
299298biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))
300 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
301300, 46absltd 15464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
30249adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
303 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿))
304302, 303ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
305232biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
306305impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
307304, 306mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
308307ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
309301, 308sylbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
310309impr 454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
311310expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
3123113impb 1114 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
313312impcom 407 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
314299, 313syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
315314ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
316315ssrdv 4000 . . . . . 6 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
317 ssrexv 4064 . . . . . 6 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
318316, 317syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
319318adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
320296, 319mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘)
3213, 43, 249, 320eqsupd 9494 . 2 (𝜑 → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = (1 / 𝐿))
3221, 321eqtrid 2786 1 (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5595  dom cdm 5688  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  (,)cioo 13383  seqcseq 14038  cexp 14098  abscabs 15269  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  44347
  Copyright terms: Public domain W3C validator