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Theorem radcnvrat 44333
Description: Let 𝐿 be the limit, if one exists, of the ratio (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) (as in the ratio test cvgdvgrat 44332) as 𝑘 increases. Then the radius of convergence of power series Σ𝑛 ∈ ℕ0((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) is (1 / 𝐿) if 𝐿 is nonzero. Proof "The limit involved in the ratio test..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence 44332 —a few lines that evidently hide quite an involved process to confirm. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
radcnvrat.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnvrat.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnvrat.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvrat.rat 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
radcnvrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
radcnvrat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
radcnvrat.n0 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
radcnvrat.l (𝜑𝐷𝐿)
radcnvrat.ln0 (𝜑𝐿 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
radcnvrat (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝜑   𝐴,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛,𝑥   𝑘,𝑟,𝑥,𝐺   𝑘,𝐿,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem radcnvrat
StepHypRef Expression
1 radcnvrat.r . 2 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
2 xrltso 13183 . . . 4 < Or ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
4 radcnvrat.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 radcnvrat.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 12639 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
74reseq2i 5994 . . . . . . 7 (𝐷𝑍) = (𝐷 ↾ (ℤ𝑀))
8 radcnvrat.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐿)
9 radcnvrat.rat . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
10 nn0ex 12532 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1110mptex 7243 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ∈ V
129, 11eqeltri 2837 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
13 climres 15611 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
146, 12, 13sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
158, 14mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿)
167, 15eqbrtrid 5178 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑍) ⇝ 𝐿)
179reseq1i 5993 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑍) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍)
18 eluznn0 12959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
195, 18sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2019ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
2120ssrdv 3989 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
224, 21eqsstrid 4022 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℕ0)
2322resmptd 6058 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
2417, 23eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
25 fvexd 6921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ V)
2624, 25fvmpt2d 7029 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
274peano2uzs 12944 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
2822sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
29 radcnvrat.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3029ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3128, 30syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3227, 31sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3322sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3429ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
36 radcnvrat.n0 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
3732, 35, 36divcld 12043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
3837abscld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ ℝ)
3926, 38eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) ∈ ℝ)
404, 6, 16, 39climrecl 15619 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
41 radcnvrat.ln0 . . . . 5 (𝜑𝐿 ≠ 0)
4240, 41rereccld 12094 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
4342rexrd 11311 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
44 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
45 elrabi 3687 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ ℝ)
4642adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
47 recn 11245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4847abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
5046, 49ltlend 11406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5150simplbda 499 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5250adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5453biantrud 531 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5546, 49lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5752, 54, 563bitr2d 307 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
58 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5949recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
6040recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ≠ 0)
6358, 59, 61, 62divmul3d 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ 1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
64 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ (abs‘𝑥) = (1 / 𝐿))
65 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1)
6663, 64, 653bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) = (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1))
6766necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1))
6867biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
69 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
70 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘𝑍 → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7271, 39eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
7337absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
7473, 26breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐷𝑍)‘𝑘))
7574, 71breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
764, 6, 8, 72, 75climge0 15620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
7740, 76, 41ne0gt0d 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝐿)
7840, 77elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ+)
8049, 69, 79ltmuldivd 13124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
82 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})))
83 inundif 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) = ℝ
8483eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
8582, 84bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
86 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {0}))
8786simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
88 elsni 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 = 0)
90 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
91 abs0 15324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (abs‘0) = 0
9290, 91eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
9392oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = (0 · 𝐿))
9460mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0 · 𝐿) = 0)
9593, 94sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 0)
96 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 1
9795, 96eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1)
98 radcnvrat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
9998, 29radcnv0 26459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
100 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10199, 100syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
102101imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
10397, 1022thd 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 = 0) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10489, 103sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
105104adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
106 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ⊆ ℂ
107 ssdif 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
109108sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
110 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 = (ℤ‘0)
1115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
112 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝐺𝑥) ∈ V)
113 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
11498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))))
11510mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V)
117114, 116fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
119 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
120 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
121119, 120oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
123 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
124 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
125118, 122, 123, 124fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
12634adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
127 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
128127, 123expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
129126, 128mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
130125, 129eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
131113, 130sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
132131adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
13333adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134133, 125syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
135113, 134sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
13635adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
137113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℂ)
13933adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140138, 139expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
14136adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
142 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
143142ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ≠ 0)
144139nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
145138, 143, 144expne0d 14192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ≠ 0)
146136, 140, 141, 145mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ≠ 0)
147135, 146eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
148147adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
149 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) = ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)))
150 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘𝑛) = ((𝐺𝑥)‘𝑘))
151149, 150oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)) = (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)))
152151fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
153152cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
1544reseq2i 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀))
15522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑍 ⊆ ℕ0)
156155resmptd 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
157154, 156eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
1586adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑀 ∈ ℤ)
1598adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐷𝐿)
160137abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
161160recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
16210mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V)
16472recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
165164adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
166 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
167152adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
168 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) ∈ V)
169166, 167, 139, 168fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
170117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
171 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
172171fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
173171oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
174172, 173oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
175 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℕ0
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℕ0)
177133, 176nn0addcld 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
178 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ V)
179170, 174, 177, 178fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
180121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
181 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
182170, 180, 133, 181fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
183179, 182oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
184113, 183sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
18532adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
186113, 177sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
187138, 186expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
188185, 136, 187, 140, 141, 145divmuldivd 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
189139nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
190 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℂ)
191189, 190pncan2d 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
192191oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑥↑1))
193186nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
194138, 143, 144, 193expsubd 14197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)))
195138exp1d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑1) = 𝑥)
196192, 194, 1953eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)) = 𝑥)
197196oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
198184, 188, 1973eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
199198fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) = (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)))
20037adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
201200, 138absmuld 15493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
202169, 199, 2013eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
20371, 26eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
204203adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
205204eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) = (𝐷𝑘))
206205oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)) = ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)))
207161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
208165, 207mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
209202, 206, 2083eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
2104, 158, 159, 161, 163, 165, 209climmulc2 15673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
211 climres 15611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
212158, 162, 211sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
213210, 212mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
214157, 213eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
216 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
217110, 4, 111, 112, 132, 148, 153, 215, 216cvgdvgrat 44332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
218109, 217sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
219 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
220 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 = 𝑥 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑥))
221220seqeq3d 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 = 𝑥 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑥)))
222221eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = 𝑥 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
223222elrab3 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
224219, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
225224ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
226218, 225bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
227226an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
228105, 227jaodan 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
22985, 228sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
230229an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23181, 230bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23268, 231syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
233232notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23457, 233bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
235234biimpd 229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
236235impancom 451 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23751, 236mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
238237ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
239238con2d 134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
24046adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
241 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
24249adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
243 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < 𝑥)
244241leabsd 15453 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ≤ (abs‘𝑥))
245240, 241, 242, 243, 244ltletrd 11421 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥))
246245ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < 𝑥 → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
247239, 246nsyld 156 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
24845, 247sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
24944, 248mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥)
25042renegcld 11690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ)
251250rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
252 iooss1 13422 . . . . . . . 8 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
253251, 252sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
254253adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
255 eliooord 13446 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → (𝑥 < 𝑘𝑘 < (1 / 𝐿)))
256255simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 < 𝑘)
257256rgen 3063 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘
258 ioon0 13413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
25943, 258sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
260259ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
261260biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
262 r19.2zb 4496 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
263261, 262sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
264257, 263mpi 20 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
265264anasss 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
266265adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
267 ssrexv 4053 . . . . . 6 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → (∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
268254, 266, 267sylc 65 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
269 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
270 xrltnle 11328 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) ↔ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥))
271 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
272270, 271sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
273251, 272sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
274273ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
275274imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿))
276 iooss1 13422 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
277269, 275, 276syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
278277sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
279278, 256syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 < 𝑘)
280279ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
28140, 77recgt0d 12202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐿))
28242, 42, 281, 281addgt0d 11838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
28342recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℂ)
284283, 283subnegd 11627 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)) = ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
285282, 284breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)))
286250, 42posdifd 11850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿) ↔ 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿))))
287285, 286mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿))
288 ioon0 13413 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
289251, 43, 288syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
290287, 289mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
291 r19.2zb 4496 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
292290, 291sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
293292ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
294280, 293mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
295294adantlrr 721 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
296268, 295pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
297 elioo2 13428 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
298251, 43, 297syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
299298biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))
300 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
301300, 46absltd 15468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
30249adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
303 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿))
304302, 303ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
305232biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
306305impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
307304, 306mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
308307ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
309301, 308sylbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
310309impr 454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
311310expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
3123113impb 1115 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
313312impcom 407 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
314299, 313syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
315314ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
316315ssrdv 3989 . . . . . 6 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
317 ssrexv 4053 . . . . . 6 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
318316, 317syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
319318adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
320296, 319mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘)
3213, 43, 249, 320eqsupd 9497 . 2 (𝜑 → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = (1 / 𝐿))
3221, 321eqtrid 2789 1 (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  dom cdm 5685  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  44371
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