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Theorem radcnvrat 39479
Description: Let 𝐿 be the limit, if one exists, of the ratio (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) (as in the ratio test cvgdvgrat 39478) as 𝑘 increases. Then the radius of convergence of power series Σ𝑛 ∈ ℕ0((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) is (1 / 𝐿) if 𝐿 is nonzero. Proof "The limit involved in the ratio test..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence —a few lines that evidently hide quite an involved process to confirm. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
radcnvrat.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnvrat.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnvrat.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvrat.rat 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
radcnvrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
radcnvrat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
radcnvrat.n0 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
radcnvrat.l (𝜑𝐷𝐿)
radcnvrat.ln0 (𝜑𝐿 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
radcnvrat (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝜑   𝐴,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛,𝑥   𝑘,𝑟,𝑥,𝐺   𝑘,𝐿,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem radcnvrat
StepHypRef Expression
1 radcnvrat.r . 2 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
2 xrltso 12288 . . . 4 < Or ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
4 radcnvrat.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 radcnvrat.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 11836 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
74reseq2i 5641 . . . . . . 7 (𝐷𝑍) = (𝐷 ↾ (ℤ𝑀))
8 radcnvrat.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐿)
9 radcnvrat.rat . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
10 nn0ex 11653 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1110mptex 6760 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ∈ V
129, 11eqeltri 2855 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
13 climres 14718 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
146, 12, 13sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
158, 14mpbird 249 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿)
167, 15syl5eqbr 4923 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑍) ⇝ 𝐿)
179reseq1i 5640 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑍) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍)
18 eluznn0 12068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
195, 18sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2019ex 403 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
2120ssrdv 3827 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
224, 21syl5eqss 3868 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℕ0)
2322resmptd 5704 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
2417, 23syl5eq 2826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
25 fvexd 6463 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ V)
2624, 25fvmpt2d 6556 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
274peano2uzs 12052 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
2822sselda 3821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
29 radcnvrat.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3128, 30syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3227, 31sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3322sselda 3821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3429ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34syldan 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
36 radcnvrat.n0 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
3732, 35, 36divcld 11153 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
3837abscld 14587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ ℝ)
3926, 38eqeltrd 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) ∈ ℝ)
404, 6, 16, 39climrecl 14726 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
41 radcnvrat.ln0 . . . . 5 (𝜑𝐿 ≠ 0)
4240, 41rereccld 11204 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
4342rexrd 10428 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
44 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
45 elrabi 3567 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ ℝ)
4642adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
47 recn 10364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4847abscld 14587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4948adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
5046, 49ltlend 10523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5150simplbda 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5250adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
53 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5453biantrud 527 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5546, 49lenltd 10524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5655adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5752, 54, 563bitr2d 299 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
58 1cnd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5949recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
6040recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
6160adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6241adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ≠ 0)
6358, 59, 61, 62divmul3d 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ 1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
64 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ (abs‘𝑥) = (1 / 𝐿))
65 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1)
6663, 64, 653bitr3g 305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) = (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1))
6766necon3bid 3013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1))
6867biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
69 1red 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
70 fvres 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘𝑍 → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7170adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7271, 39eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
7337absge0d 14595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
7473, 26breqtrrd 4916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐷𝑍)‘𝑘))
7574, 71breqtrd 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
764, 6, 8, 72, 75climge0 14727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
7740, 76, 41ne0gt0d 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝐿)
7840, 77elrpd 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
7978adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ+)
8049, 69, 79ltmuldivd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
8180adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
82 elun 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})))
83 inundif 4270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) = ℝ
8483eleq2i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
8582, 84bitr3i 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
86 elin 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {0}))
8786simprbi 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
88 elsni 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 = 0)
90 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
91 abs0 14436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (abs‘0) = 0
9290, 91syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
9392oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = (0 · 𝐿))
9460mul02d 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0 · 𝐿) = 0)
9593, 94sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 0)
96 0lt1 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 1
9795, 96syl6eqbr 4927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1)
98 radcnvrat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
9998, 29radcnv0 24611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
100 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10199, 100syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
102101imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
10397, 1022thd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 = 0) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10489, 103sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
105104adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
106 ax-resscn 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ⊆ ℂ
107 ssdif 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
109108sseli 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
110 nn0uz 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 = (ℤ‘0)
1115ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
112 fvexd 6463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝐺𝑥) ∈ V)
113 eldifi 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
11498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))))
11510mptex 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V)
117114, 116fvmpt2d 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
118117adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
119 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
120 oveq2 6932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
121119, 120oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
122121adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
123 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
124 ovexd 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
125118, 122, 123, 124fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
12634adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
127 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
128127, 123expcld 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
129126, 128mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
130125, 129eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
131113, 130sylanl2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
132131adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
13333adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134133, 125syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
135113, 134sylanl2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
13635adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
137113adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
138137adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℂ)
13933adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140138, 139expcld 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
14136adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
142 eldifsni 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
143142ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ≠ 0)
144139nn0zd 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
145138, 143, 144expne0d 13337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ≠ 0)
146136, 140, 141, 145mulne0d 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ≠ 0)
147135, 146eqnetrd 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
148147adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
149 fvoveq1 6947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) = ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)))
150 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘𝑛) = ((𝐺𝑥)‘𝑘))
151149, 150oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)) = (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)))
152151fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
153152cbvmptv 4987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
1544reseq2i 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀))
15522adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑍 ⊆ ℕ0)
156155resmptd 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
157154, 156syl5eqr 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
1586adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑀 ∈ ℤ)
1598adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐷𝐿)
160137abscld 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
161160recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
16210mptex 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V)
16472recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
165164adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
166 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
167152adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
168 fvexd 6463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) ∈ V)
169166, 167, 139, 168fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
170117adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
171 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
172171fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
173171oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
174172, 173oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
175 1nn0 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℕ0
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℕ0)
177133, 176nn0addcld 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
178 ovexd 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ V)
179170, 174, 177, 178fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
180121adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
181 ovexd 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
182170, 180, 133, 181fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
183179, 182oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
184113, 183sylanl2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
18532adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
186113, 177sylanl2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
187138, 186expcld 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
188185, 136, 187, 140, 141, 145divmuldivd 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
189139nn0cnd 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
190 1cnd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℂ)
191189, 190pncan2d 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
192191oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑥↑1))
193186nn0zd 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
194138, 143, 144, 193expsubd 13342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)))
195138exp1d 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑1) = 𝑥)
196192, 194, 1953eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)) = 𝑥)
197196oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
198184, 188, 1973eqtr2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
199198fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) = (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)))
20037adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
201200, 138absmuld 14605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
202169, 199, 2013eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
20371, 26eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
204203adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
205204eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) = (𝐷𝑘))
206205oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)) = ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)))
207161adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
208165, 207mulcomd 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
209202, 206, 2083eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
2104, 158, 159, 161, 163, 165, 209climmulc2 14779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
211 climres 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
212158, 162, 211sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
213210, 212mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
214157, 213eqbrtrrd 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
215214adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
216 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
217110, 4, 111, 112, 132, 148, 153, 215, 216cvgdvgrat 39478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
218109, 217sylanl2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
219 eldifi 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
220 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 = 𝑥 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑥))
221220seqeq3d 13131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 = 𝑥 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑥)))
222221eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = 𝑥 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
223222elrab3 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
224219, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
225224ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
226218, 225bitr4d 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
227226an32s 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
228105, 227jaodan 943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
22985, 228sylan2br 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
230229an32s 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23181, 230bitr3d 273 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23268, 231syldan 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
233232notbid 310 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23457, 233bitrd 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
235234biimpd 221 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
236235impancom 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23751, 236mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
238237ex 403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
239238con2d 132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
24046adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
241 simplr 759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
24249adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
243 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < 𝑥)
244241leabsd 14565 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ≤ (abs‘𝑥))
245240, 241, 242, 243, 244ltletrd 10538 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥))
246245ex 403 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < 𝑥 → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
247239, 246nsyld 156 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
24845, 247sylan2 586 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
24944, 248mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥)
25042renegcld 10804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ)
251250rexrd 10428 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
252 iooss1 12526 . . . . . . . 8 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
253251, 252sylan 575 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
254253adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
255 eliooord 12549 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → (𝑥 < 𝑘𝑘 < (1 / 𝐿)))
256255simpld 490 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 < 𝑘)
257256rgen 3104 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘
258 ioon0 12517 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
25943, 258sylan2 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
260259ancoms 452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
261260biimpar 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
262 r19.2zb 4284 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
263261, 262sylib 210 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
264257, 263mpi 20 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
265264anasss 460 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
266265adantr 474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
267 ssrexv 3886 . . . . . 6 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → (∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
268254, 266, 267sylc 65 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
269 simplr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
270 xrltnle 10446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) ↔ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥))
271 xrltle 12296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
272270, 271sylbird 252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
273251, 272sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
274273ancoms 452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
275274imp 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿))
276 iooss1 12526 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
277269, 275, 276syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
278277sselda 3821 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
279278, 256syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 < 𝑘)
280279ralrimiva 3148 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
28140, 77recgt0d 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐿))
28242, 42, 281, 281addgt0d 10952 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
28342recnd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℂ)
284283, 283subnegd 10743 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)) = ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
285282, 284breqtrrd 4916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)))
286250, 42posdifd 10964 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿) ↔ 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿))))
287285, 286mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿))
288 ioon0 12517 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
289251, 43, 288syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
290287, 289mpbird 249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
291 r19.2zb 4284 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
292290, 291sylib 210 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
293292ad2antrr 716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
294280, 293mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
295294adantlrr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
296268, 295pm2.61dan 803 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
297 elioo2 12532 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
298251, 43, 297syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
299298biimpa 470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))
300 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
301300, 46absltd 14580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
30249adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
303 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿))
304302, 303ltned 10514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
305232biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
306305impancom 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
307304, 306mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
308307ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
309301, 308sylbird 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
310309impr 448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
311310expcom 404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
3123113impb 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
313312impcom 398 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
314299, 313syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
315314ex 403 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
316315ssrdv 3827 . . . . . 6 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
317 ssrexv 3886 . . . . . 6 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
318316, 317syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
319318adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
320296, 319mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘)
3213, 43, 249, 320eqsupd 8653 . 2 (𝜑 → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = (1 / 𝐿))
3221, 321syl5eq 2826 1 (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  Vcvv 3398  cdif 3789  cun 3790  cin 3791  wss 3792  c0 4141  {csn 4398   class class class wbr 4888  cmpt 4967   Or wor 5275  dom cdm 5357  cres 5359  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  supcsup 8636  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  *cxr 10412   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  -cneg 10609   / cdiv 11034  0cn0 11646  cz 11732  cuz 11996  +crp 12141  (,)cioo 12491  seqcseq 13123  cexp 13182  abscabs 14385  cli 14627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829
This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  39517
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