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Theorem itg2addnclem 36527
Description: An alternate expression for the ∫2 integral that includes an arbitrarily small but strictly positive "buffer zone" wherever the simple function is nonzero. (Contributed by Brendan Leahy, 10-Oct-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 10-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
itg2addnclem.1 𝐿 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(𝐿, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔)
Proof of Theorem itg2addnclem
Dummy variables 𝑠 𝑒 𝑓 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}
21itg2val 25237 . 2 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
3 itg2addnclem.1 . . . 4 𝐿 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}
43supeq1i 9438 . . 3 sup(𝐿, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < )
5 xrltso 13116 . . . . 5 < Or ℝ*
65a1i 11 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ < Or ℝ*)
7 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))
8 itg1cl 25193 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
98rexrd 11260 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
117, 10eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
1211rexlimiva 3147 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
1312abssi 4066 . . . . 5 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ*
14 supxrcl 13290 . . . . 5 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
16 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑓 β†’ (π‘”β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
1716eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((π‘”β€˜π‘§) = 0 ↔ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
1816oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))
1917, 18ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦)) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)))
2019mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))))
2120breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹))
2221rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑓 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹))
23 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 β†’ (∫1β€˜π‘”) = (∫1β€˜π‘“))
2423eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑓 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)))
2522, 24anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))))
2625cbvrexvw 3235 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)))
27 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ≀ 0 ↔ (π‘“β€˜π‘§) ≀ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))))
28 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦) = if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦) ↔ (π‘“β€˜π‘§) ≀ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘“β€˜π‘§) = 0 β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
30 0le0 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≀ 0
3129, 30eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘“β€˜π‘§) = 0 β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ 0)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ 0)
33 rpge0 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑦)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝑦)
35 i1ff 25184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
3635ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
3736adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
38 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3938ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4037, 39addge01d 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝑦 ↔ (π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)))
4134, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))
4327, 28, 32, 42ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)))
4443adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)))
4535ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
4645ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
4746rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ*)
48 0re 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
4938ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5046, 49readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦) ∈ ℝ)
51 ifcl 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ∈ ℝ)
5248, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ∈ ℝ)
5352rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ∈ ℝ*)
54 iccssxr 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
55 fss 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„*)
5654, 55mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„*)
5756ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„*)
5857ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
59 xrletr 13133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ∧ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
6047, 53, 58, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ≀ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ∧ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
6144, 60mpand 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
6261ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
63 reex 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ℝ ∈ V)
65 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))))
66 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
6766feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
6867ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
6964, 52, 58, 65, 68ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦)) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
7035feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘§)))
7170ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑓 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘§)))
7264, 46, 58, 71, 68ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
7362, 69, 723imtr4d 293 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹))
7473rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹))
7574anim1d 611 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))))
7675reximdva 3168 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘“β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘“β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))))
7726, 76biimtrid 241 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))))
7877ss2abdv 4059 . . . . . . 7 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} βŠ† {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))})
7978sseld 3980 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}))
80 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))
8193ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
8280, 81eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
8382rexlimdv3a 3159 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*))
8483abssdv 4064 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ*)
85 xrsupss 13284 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* (βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} Β¬ π‘Ž < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝑏 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘  ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 < 𝑠)))
8684, 85syl 17 . . . . . . 7 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* (βˆ€π‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} Β¬ π‘Ž < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝑏 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘  ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 < 𝑠)))
876, 86supub 9450 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} β†’ Β¬ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) < 𝑏))
8879, 87syld 47 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))} β†’ Β¬ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) < 𝑏))
8988imp 407 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}) β†’ Β¬ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) < 𝑏)
90 supxrlub 13300 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))} βŠ† ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝑏 < sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 < 𝑠))
9113, 90mpan 688 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ* β†’ (𝑏 < sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 < 𝑠))
9291adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝑏 < sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 < 𝑠))
93 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))
9493breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ (𝑏 < 𝑠 ↔ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)))
95 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
96 i1f0 25195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1
97 2rp 12975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
9897ne0ii 4336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ+ β‰  βˆ…
99 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]+∞))
100 elxrge0 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
10199, 100sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
102101simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
103102ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
10463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ ℝ ∈ V)
105 c0ex 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ V)
107 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
108104, 106, 99, 107, 67ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
109103, 108mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
110109ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
111 r19.2z 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
11298, 110, 111sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹)
113 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (∫1β€˜π‘”) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
114 itg10 25196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
115113, 114eqtr2di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ 0 = (∫1β€˜π‘”))
116115biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
117 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§))
118105fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
119117, 118sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = 0)
120 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘”β€˜π‘§) = 0 β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦)) = 0)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔 = (ℝ Γ— {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦)) = 0)
122121mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
123122breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
124123rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
125116, 124bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = (ℝ Γ— {0}) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹))
126125rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
12796, 112, 126sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = -∞ β†’ 𝑏 = -∞)
129 mnflt 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ β†’ -∞ < 0)
13048, 129mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = -∞ β†’ -∞ < 0)
131128, 130eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = -∞ β†’ 𝑏 < 0)
132 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž = (∫1β€˜π‘”) ↔ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
133132anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 0 β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
134133rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 0 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”))))
135 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 0 β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ 𝑏 < 0))
136134, 135anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 0 β†’ ((βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < 0)))
137105, 136spcev 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < 0) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
138127, 131, 137syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 = -∞) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
13995, 138sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 = -∞) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
140 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
1418adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
142141ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
143 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
144 ngtmnft 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ∈ ℝ* β†’ (𝑏 = -∞ ↔ Β¬ -∞ < 𝑏))
145144biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ ℝ* β†’ (Β¬ -∞ < 𝑏 β†’ 𝑏 = -∞))
146145necon1ad 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℝ* β†’ (𝑏 β‰  -∞ β†’ -∞ < 𝑏))
147146imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ -∞ < 𝑏)
148143, 147sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ -∞ < 𝑏)
149 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
1509adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
151149, 150anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ*))
152 xrltle 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ*) β†’ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) β†’ 𝑏 ≀ (∫1β€˜π‘“)))
153152imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) β†’ 𝑏 ≀ (∫1β€˜π‘“))
154151, 153sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) β†’ 𝑏 ≀ (∫1β€˜π‘“))
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ 𝑏 ≀ (∫1β€˜π‘“))
156 xrre 13144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑏 ∧ 𝑏 ≀ (∫1β€˜π‘“))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
157140, 142, 148, 155, 156syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
158127ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ 0 = (∫1β€˜π‘”)))
159 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“))
160 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
161 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
162 cnvimass 6077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) βŠ† dom 𝑓
163162, 35fssdm 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
165 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0)
166 fdm 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ dom 𝑓 = ℝ)
167166eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ ℝ = dom 𝑓)
168 ffun 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝑓)
169 difpreima 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Fun 𝑓 β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) = ((◑𝑓 β€œ ran 𝑓) βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})))
170168, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) = ((◑𝑓 β€œ ran 𝑓) βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})))
171 cnvimarndm 6078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) = dom 𝑓
172171difeq1i 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((◑𝑓 β€œ ran 𝑓) βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})) = (dom 𝑓 βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))
173170, 172eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) = (dom 𝑓 βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})))
174167, 173difeq12d 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = (dom 𝑓 βˆ– (dom 𝑓 βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))))
175 cnvimass 6077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (◑𝑓 β€œ {0}) βŠ† dom 𝑓
176 dfss4 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((◑𝑓 β€œ {0}) βŠ† dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 βˆ– (dom 𝑓 βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))) = (◑𝑓 β€œ {0}))
177175, 176mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (dom 𝑓 βˆ– (dom 𝑓 βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))) = (◑𝑓 β€œ {0})
178174, 177eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = (◑𝑓 β€œ {0}))
179178eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑧 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})))
180 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ 𝑓 Fn ℝ)
181 fniniseg 7058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0)))
182 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘§) = 0) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
183181, 182syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
184180, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
185179, 184sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑧 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
18635, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑧 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
187186imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
188187adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
189161, 164, 165, 188itg10a 25219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ (∫1β€˜π‘“) = 0)
190160, 189sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ (∫1β€˜π‘“) = 0)
191159, 190breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ 𝑏 < 0)
192158, 191, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = 0) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
193 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
194 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
195193, 194anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
19663a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ℝ ∈ V)
197 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘“β€˜π‘’) ∈ V
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘’) ∈ V)
199 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ V
200199, 105ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0) ∈ V
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0) ∈ V)
20235feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 = (𝑒 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘’)))
203202ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑓 = (𝑒 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘’)))
204 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))
205196, 198, 201, 203, 204offval2 7686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))))
206 ovif2 7503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) = if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ 0))
207171, 166eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) = ℝ)
208207difeq1d 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ ((◑𝑓 β€œ ran 𝑓) βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})) = (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})))
209170, 208eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) = (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})))
210209eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ 𝑒 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))))
21135, 210syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ 𝑒 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))))
212211ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ 𝑒 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))))
213 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
214213biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) ↔ (𝑒 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}))))
215 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑒 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})) ↔ (𝑒 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})))
216214, 215bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) ↔ 𝑒 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))))
217212, 216bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})))
218217con2bid 354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) ↔ Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
219 fniniseg 7058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓 Fn ℝ β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) ↔ (𝑒 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘’) = 0)))
22035, 180, 2193syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) ↔ (𝑒 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘’) = 0)))
221220ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) ↔ (𝑒 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘’) = 0)))
222218, 221bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ (𝑒 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘’) = 0)))
223 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘“β€˜π‘’) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0))
224 0m0e0 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0 βˆ’ 0) = 0
225223, 224eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘“β€˜π‘’) = 0 β†’ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ 0) = 0)
226225adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘’) = 0) β†’ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ 0) = 0)
227222, 226syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ 0) = 0))
228227imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ 0) = 0)
229228ifeq2da 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ 0)) = if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
230206, 229eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) = if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
231230mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
232205, 231eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
233 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
234199a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ V)
235 1ex 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 ∈ V
236235, 105ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0) ∈ V
237236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0) ∈ V)
238 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
240 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))
241196, 234, 237, 239, 240offval2 7686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))))
242 ovif2 7503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 1), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 0))
243 resubcl 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
2448, 243sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
245244adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
246 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 ∈ ℝ
247 i1fima 25186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ∈ dom vol)
248 mblvol 25038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
249247, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
250 neldifsn 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Β¬ 0 ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})
251 i1fima2 25187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
252250, 251mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
253249, 252eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
254 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((2 ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) ∈ ℝ)
255246, 253, 254sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) ∈ ℝ)
256255ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) ∈ ℝ)
257 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 2 ∈ β„‚)
258253ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
259258recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ β„‚)
260 2ne0 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 β‰  0
261260a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 2 β‰  0)
262 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0)
263257, 259, 261, 262mulne0d 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) β‰  0)
264245, 256, 263redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ ℝ)
265264recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ β„‚)
266265mulridd 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 1) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))
267265mul01d 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 0) = 0)
268266, 267ifeq12d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 1), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 0)) = if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))
269242, 268eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))
270269mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))
271241, 270eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))
272 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))
273272i1f1 25198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) ∈ dom ∫1)
274247, 252, 273syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) ∈ dom ∫1)
275274ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) ∈ dom ∫1)
276275, 264i1fmulc 25212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) ∈ dom ∫1)
277271, 276eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ∈ dom ∫1)
278 i1fsub 25217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∈ dom ∫1)
279233, 277, 278syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∈ dom ∫1)
280232, 279eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1)
281 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
282 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
283282breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))))
284283, 282ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
285 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) β†’ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
286284, 285sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
287281, 286eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0))
288 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Β¬ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0)
289 ianor 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Β¬ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ↔ (Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∨ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
290283ifbid 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0))
291 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) β†’ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0)
292290, 291sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0)
293292ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0))
294 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0)
295 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 = 0
296 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) β†’ (if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0 ↔ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0))
297 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 = if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) β†’ (0 = 0 ↔ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0))
298296, 297ifboth 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0 ∧ 0 = 0) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0)
299294, 295, 298sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0)
300293, 299pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0)
301300, 299jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∨ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0)
302289, 301sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Β¬ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0) = 0)
303288, 302eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (Β¬ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0))
304287, 303pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0)
305 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
306 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑒 = 𝑧 β†’ (π‘“β€˜π‘’) = (π‘“β€˜π‘§))
307306oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
308305, 307ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑒 = 𝑧 β†’ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
309 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
310 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∈ V
311310, 105ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ∈ V
312308, 309, 311fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§) = if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
313312breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§) ↔ 0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
314313, 312ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ ℝ β†’ if(0 ≀ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§), ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§), 0) = if(0 ≀ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0), 0))
315304, 314eqtr4id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ ℝ β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = if(0 ≀ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§), ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§), 0))
316315mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§), ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§), 0))
317316i1fpos 25215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((π‘“β€˜π‘’) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1)
318280, 317syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1)
319195, 318sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1)
320195, 264sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ ℝ)
3218ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
322321, 194, 243syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
323322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
324255adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) ∈ ℝ)
325324ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) ∈ ℝ)
326 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“))
327 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
328141ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
329327, 328posdifd 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ↔ 0 < ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏)))
330326, 329mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ 0 < ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏))
331330adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 0 < ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏))
332253adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
333332ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
334 mblss 25039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
335 ovolge0 24989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
336247, 334, 3353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
337 ltlen 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((0 ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ↔ (0 ≀ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0)))
33848, 253, 337sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ↔ (0 ≀ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0)))
339338biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((0 ≀ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
340336, 339mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0 β†’ 0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
341340ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ ((vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0 β†’ 0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
342341imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
343342adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
344 2pos 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 < 2
345 mulgt0 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ ((vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ ∧ 0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) β†’ 0 < (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
346246, 344, 345mpanl12 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ ∧ 0 < (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) β†’ 0 < (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
347333, 343, 346syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 0 < (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
348323, 325, 331, 347divgt0d 12145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 0 < (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))
349320, 348elrpd 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ ℝ+)
350 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
351350ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
352 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
35335, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 Fn ℝ)
354353adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
355 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
356 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
35763a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
358 inidm 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
359 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
360 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
361355, 356, 357, 357, 358, 359, 360ofrfval 7676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
362352, 354, 361syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
363362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
364 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
365364anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1))
366365, 194anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
367 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 = if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
368 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ ((if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
369 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
370369ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]+∞))
371370, 100sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
372371simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
373372ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ∧ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
374 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
375374breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) β†’ ((((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
376 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (0 = if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) β†’ (0 + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
377376breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (0 = if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) β†’ ((0 + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
37835ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
379378ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
380379recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
381244recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) ∈ β„‚)
382381adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) ∈ β„‚)
383255recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) ∈ β„‚)
384383ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) ∈ β„‚)
385382, 384, 263divcld 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ β„‚)
386385adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ β„‚)
387386adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ β„‚)
388380, 387npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = (π‘“β€˜π‘§))
389388adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = (π‘“β€˜π‘§))
390 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
391389, 390eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
392391ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ∧ Β¬ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0) ∧ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
393288pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Β¬ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ (Β¬ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0 β†’ (0 + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
394393impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Β¬ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0 ∧ Β¬ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) β†’ (0 + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
395394adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ∧ Β¬ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0) ∧ Β¬ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) β†’ (0 + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
396375, 377, 392, 395ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ∧ Β¬ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0) β†’ (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
397367, 368, 373, 396ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
398397ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
399366, 398sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
400399ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘§) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
401363, 400sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
402351, 401mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§))
403 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∈ V
404105, 403ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ∈ V
405404a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ∈ V)
406 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))))
407104, 405, 99, 406, 67ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
408407ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
409402, 408mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))) ∘r ≀ 𝐹)
410 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) β†’ (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦) = (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
411410ifeq2d 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) β†’ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦)) = if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))))
412411mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))))
413412breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))) ∘r ≀ 𝐹))
414413rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹)
415349, 409, 414syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹)
416 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) = 𝑔 β†’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”))
417416eqcoms 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) β†’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”))
418417biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”))))
419 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
420419nfeq2 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ⅎ𝑧 𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
421 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§))
422310, 105ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ∈ V
423 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
424423fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§) = if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
425422, 424mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))β€˜π‘§) = if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
426421, 425sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
427426eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) = 0 ↔ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0))
428426oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦) = (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))
429427, 428ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦)) = if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦)))
430420, 429mpteq2da 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))))
431430breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹))
432431rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹))
433418, 432bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹))
434433rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0, 0, (if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”)))
435319, 415, 434syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”)))
436 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
437199a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ V)
438235, 105ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0) ∈ V
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0) ∈ V)
440 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))
441440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
442 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))
443196, 437, 439, 441, 442offval2 7686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))))
444 ovif2 7503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 1), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 0))
445266, 267ifeq12d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 1), ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· 0)) = if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))
446444, 445eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))
447446mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))
448443, 447eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))
449 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))
450449i1f1 25198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) ∈ dom ∫1)
451247, 252, 450syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) ∈ dom ∫1)
452451ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)) ∈ dom ∫1)
453452, 264i1fmulc 25212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) ∈ dom ∫1)
454448, 453eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ∈ dom ∫1)
455 i1fsub 25217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∈ dom ∫1)
456233, 454, 455syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∈ dom ∫1)
457 itg1cl 25193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) ∈ ℝ)
458456, 457syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) ∈ ℝ)
459458adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) ∈ ℝ)
460318adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1)
461 itg1cl 25193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) ∈ ℝ)
462460, 461syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) ∈ ℝ)
463 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“))
464 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
4658adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
46697a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 2 ∈ ℝ+)
467464, 465, 466ltdiv1d 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ↔ (𝑏 / 2) < ((∫1β€˜π‘“) / 2)))
468 recn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑏 ∈ ℝ β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
4694682halvesd 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑏 ∈ ℝ β†’ ((𝑏 / 2) + (𝑏 / 2)) = 𝑏)
470469oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑏 ∈ ℝ β†’ (((𝑏 / 2) + (𝑏 / 2)) βˆ’ (𝑏 / 2)) = (𝑏 βˆ’ (𝑏 / 2)))
471468halfcld 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑏 ∈ ℝ β†’ (𝑏 / 2) ∈ β„‚)
472471, 471pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑏 ∈ ℝ β†’ (((𝑏 / 2) + (𝑏 / 2)) βˆ’ (𝑏 / 2)) = (𝑏 / 2))
473470, 472eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑏 ∈ ℝ β†’ (𝑏 βˆ’ (𝑏 / 2)) = (𝑏 / 2))
474473breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑏 ∈ ℝ β†’ ((𝑏 βˆ’ (𝑏 / 2)) < ((∫1β€˜π‘“) / 2) ↔ (𝑏 / 2) < ((∫1β€˜π‘“) / 2)))
475474adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((𝑏 βˆ’ (𝑏 / 2)) < ((∫1β€˜π‘“) / 2) ↔ (𝑏 / 2) < ((∫1β€˜π‘“) / 2)))
476 rehalfcl 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑏 ∈ ℝ β†’ (𝑏 / 2) ∈ ℝ)
477476adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑏 / 2) ∈ ℝ)
4788rehalfcld 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 2) ∈ ℝ)
479478adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 2) ∈ ℝ)
480464, 477, 479ltsubaddd 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((𝑏 βˆ’ (𝑏 / 2)) < ((∫1β€˜π‘“) / 2) ↔ 𝑏 < (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2))))
481467, 475, 4803bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ↔ 𝑏 < (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2))))
482481adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ↔ 𝑏 < (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2))))
483482adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ↔ 𝑏 < (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2))))
484463, 483mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 < (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2)))
485452, 264itg1mulc 25213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))) = ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))))
486448fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))) = (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))))
487449itg11 25199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
488247, 252, 487syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0))) = (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
489488oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))) = ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
490489ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))) = ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
491252recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ β„‚)
492491ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ∈ β„‚)
493265, 492mulcomd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) = ((volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
494249ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))
495494oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏)) = ((vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏)))
496259, 382mulcomd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏)) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
497495, 496eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏)) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
498497oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏)) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) = ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))
499492, 382, 384, 263divassd 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏)) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) = ((volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
500382, 257, 259, 261, 262divcan5rd 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2))
501498, 499, 5003eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((volβ€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) Β· (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2))
502490, 493, 5013eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) Β· (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), 1, 0)))) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2))
503485, 486, 5023eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2))
504503oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) = ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2)))
505 itg1sub 25218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) = ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))))
506233, 454, 505syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) = ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))))
5078recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ β„‚)
508507ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ β„‚)
509468ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
510508, 509, 257, 261divsubdird 12025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2) = (((∫1β€˜π‘“) / 2) βˆ’ (𝑏 / 2)))
511510oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2)) = ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) / 2) βˆ’ (𝑏 / 2))))
512507adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ β„‚)
513512halfcld 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 2) ∈ β„‚)
514471adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑏 / 2) ∈ β„‚)
515512, 513, 514subsubd 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) / 2) βˆ’ (𝑏 / 2))) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)) + (𝑏 / 2)))
516515adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) / 2) βˆ’ (𝑏 / 2))) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)) + (𝑏 / 2)))
5175072halvesd 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 2) + ((∫1β€˜π‘“) / 2)) = (∫1β€˜π‘“))
518517oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((((∫1β€˜π‘“) / 2) + ((∫1β€˜π‘“) / 2)) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)) = ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)))
519507halfcld 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 2) ∈ β„‚)
520519, 519pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((((∫1β€˜π‘“) / 2) + ((∫1β€˜π‘“) / 2)) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)) = ((∫1β€˜π‘“) / 2))
521518, 520eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)) = ((∫1β€˜π‘“) / 2))
522521oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)) + (𝑏 / 2)) = (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2)))
523522ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ ((∫1β€˜π‘“) / 2)) + (𝑏 / 2)) = (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2)))
524511, 516, 5233eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2)) = ((∫1β€˜π‘“) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / 2)))
525504, 506, 5243eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) = (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2)))
526525adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) = (((∫1β€˜π‘“) / 2) + (𝑏 / 2)))
527484, 526breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 < (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))))
528456adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∈ dom ∫1)
529 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0))
530529adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0))
531233, 36sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ℝ)
532264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))) ∈ ℝ)
533531, 532resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∈ ℝ)
534533leidd 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
535534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
536285breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))))
537536adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))))
538535, 537mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
539533adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∈ ℝ)
54048a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ 0 ∈ ℝ)
54148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
542533, 541ltnled 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))))
543542biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) < 0)
544539, 540, 543ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ 0)
545 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) β†’ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0)
546545breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ 0))
547546adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ 0))
548544, 547mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
549538, 548pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
550530, 549sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
551550adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
552 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0) = (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))
553552oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) = ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))))
554 iba 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ↔ (0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))
555554bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ ((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) ↔ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))))))
556555ifbid 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
557553, 556breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
558557adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ≀ if(0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
559551, 558mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
56035ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
561170eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ 𝑧 ∈ ((◑𝑓 β€œ ran 𝑓) βˆ– (◑𝑓 β€œ {0}))))
562 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ ((◑𝑓 β€œ ran 𝑓) βˆ– (◑𝑓 β€œ {0})) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})))
563561, 562bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}))))
564563notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ Β¬ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}))))
565564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) ↔ Β¬ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}))))
566 pm4.53 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Β¬ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})) ↔ (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∨ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})))
567207eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
568567biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓))
569568pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
570181simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓 Fn ℝ ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
571570ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑓 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
572180, 571syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
573572adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0}) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
574569, 573jaod 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∨ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
575566, 574biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ ran 𝑓) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ {0})) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
576565, 575sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0))
577576imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
578560, 577sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = 0)
579578oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0))
580579, 224eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ 0) = 0)
581580, 30eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ 0) ≀ 0)
582 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0) = 0)
583582oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) = ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ 0))
584289, 288sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Β¬ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∨ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0)
585584olcs 874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) = 0)
586583, 585breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ 0) ≀ 0))
587586adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ↔ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ 0) ≀ 0))
588581, 587mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
589559, 588pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
590589ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))
59163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ℝ ∈ V)
592 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ∈ V
593592a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ∈ V)
594422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0) ∈ V)
595 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘“β€˜π‘§) ∈ V
596595a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ V)
597199, 105ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0) ∈ V
598597a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0) ∈ V)
59970ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑓 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘§)))
600 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))
601591, 596, 598, 599, 600offval2 7686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))))
602 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
603591, 593, 594, 601, 602ofrfval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ ((𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)) ≀ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
604590, 603mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))
605 itg1le 25222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0))) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) ≀ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))))
606528, 460, 604, 605syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f βˆ’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})), (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))))), 0)))) ≀ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))))
607436, 459, 462, 527, 606ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 < (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))))
608607adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 < (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))))
609608adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ 𝑏 < (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))))
610 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) ∈ V
611 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘Ž = (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) β†’ (π‘Ž = (∫1β€˜π‘”) ↔ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”)))
612611anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž = (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”))))
613612rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”))))
614 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ 𝑏 < (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))))
615613, 614anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) β†’ ((βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))))))
616610, 615spcev 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0))) = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((0 ≀ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))), ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (((∫1β€˜π‘“) βˆ’ 𝑏) / (2 Β· (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0})))))), 0)))) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
617435, 609, 616syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (vol*β€˜(◑𝑓 β€œ (ran 𝑓 βˆ– {0}))) β‰  0) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
618192, 617pm2.61dane 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
619618expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) β†’ (𝑏 ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
620619adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) β†’ (𝑏 ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
621620adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ (𝑏 ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
622157, 621mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 β‰  -∞) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
623139, 622pm2.61dane 3029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < (∫1β€˜π‘“)) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
624623ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ (𝑏 < (∫1β€˜π‘“) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
62594, 624sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ (𝑏 < 𝑠 β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
626625imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) ∧ 𝑏 < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
627626an32s 650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 < 𝑠) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
628627rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 < 𝑠) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
629628expimpd 454 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑏 < 𝑠 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
630629ancomsd 466 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
631630exlimdv 1936 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
632 eqeq1 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘“) ↔ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)))
633632anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))))
634633rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“))))
635634rexab 3689 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 < 𝑠 ↔ βˆƒπ‘ (βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝑠 = (∫1β€˜π‘“)) ∧ 𝑏 < 𝑠))
636 eqeq1 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯ = (∫1β€˜π‘”) ↔ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)))
637636anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”))))
638637rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”))))
639638rexab 3689 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ž ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 < π‘Ž ↔ βˆƒπ‘Ž(βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘Ž = (∫1β€˜π‘”)) ∧ 𝑏 < π‘Ž))
640631, 635, 6393imtr4g 295 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}𝑏 < 𝑠 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 < π‘Ž))
64192, 640sylbid 239 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝑏 < sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 < π‘Ž))
642641impr 455 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 < sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}𝑏 < π‘Ž)
6436, 15, 89, 642eqsupd 9448 . . 3 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘” ∈ dom ∫1(βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((π‘”β€˜π‘§) = 0, 0, ((π‘”β€˜π‘§) + 𝑦))) ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘”))}, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6444, 643eqtrid 2784 . 2 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ sup(𝐿, ℝ*, < ) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ∧ π‘₯ = (∫1β€˜π‘“))}, ℝ*, < ))
6452, 644eqtr4d 2775 1 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(𝐿, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665  supcsup 9431  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  β„+crp 12970  [,]cicc 13323  vol*covol 24970  volcvol 24971  βˆ«1citg1 25123  βˆ«2citg2 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129
This theorem is referenced by:  itg2addnc  36530
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