Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum2d 33621
Description: Write a double extended sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. This can be seen as "slicing" the relation 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0 𝑘𝐹
esum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2 (𝜑𝐴𝑉)
esum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
esum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esum2d (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2d
Dummy variables 𝑡 𝑎 𝑐 𝑟 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13123 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
3 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑐𝜑
4 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 𝑐𝑠
5 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . 11 𝑐(𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
65nfrn 5944 . . . . . . . . . 10 𝑐ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
74, 6nfel 2911 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
83, 7nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑐(𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
9 iccssxr 13410 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 32687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 21298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
1413elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ Fin)
15 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝜑)
1613elin1d 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
18 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 ∈ V
1918elpw 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2017, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧𝑐)
2220, 21sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
23 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝜑
24 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗𝑧
25 nfiu1 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2624, 25nfel 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2723, 26nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
28 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
29 esum2d.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝐹
30 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(0[,]+∞)
3129, 30nfel 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
32 esum2d.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
34 simp-5l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
35 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗𝐴)
36 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘𝐵)
37 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3834, 35, 36, 37syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3933, 38eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
40 elsnxp 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
4140biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4241adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4328, 31, 39, 42r19.29af2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
45 eliun 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
4644, 45sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
4727, 43, 46r19.29af 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
4815, 22, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
4948ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑐 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
5010, 12, 14, 49gsummptcl 19885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
519, 50sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
5251ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
53 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) = (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
5453rnmptss 7117 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ* → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
5655ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
57 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
5856, 57sseldd 3978 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
59 esum2d.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
60 vsnex 5422 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑗} ∈ V
61 esum2d.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
62 xpexg 7733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6360, 61, 62sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6463ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
65 iunexg 7946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6659, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6747ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
68 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
6968esumcl 33558 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
7066, 67, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
719, 70sselid 3975 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
7271ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
73 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
74 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧(𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
75 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑐
7674, 75, 14, 48esumgsum 33573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
7766adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7847adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
7916, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
8074, 77, 78, 79esummono 33582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8176, 80eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8281adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8473, 83eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
85 xrlenlt 11280 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) → (𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
8685biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
8758, 72, 84, 86syl21anc 835 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
88 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
89 ovex 7437 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V
9053, 89elrnmpti 5952 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9188, 90sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
928, 87, 91r19.29af 3259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
9392ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
94 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑐((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
95 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 𝑐 𝑠 < 𝑡
966, 95nfrexw 3304 . . . . . . . . 9 𝑐𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡
9776adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9897adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
100 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
10189a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V)
10253elrnmpt1 5950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
103100, 101, 102syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
10499, 103eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → Σ*𝑧𝑐𝐹 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
105 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) ∧ 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹)
106105breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) ∧ 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹) → (𝑠 < 𝑡𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹))
107 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹)
108104, 106, 107rspcedvd 3608 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
109 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑠 ∈ ℝ*)
110 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑠
111 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 <
11268nfesum1 33568 . . . . . . . . . . . 12 𝑧Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹
113110, 111, 112nfbr 5188 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹
114109, 113nfan 1894 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
11566ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
116473ad2antr3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
1171163anassrs 1357 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
118 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑠 ∈ ℝ*)
119 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
120114, 115, 117, 118, 119esumlub 33588 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹)
12194, 96, 108, 120r19.29af2 3258 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
122121ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) → (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
123122ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
12493, 123jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
125 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
126125breq1d 5151 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (𝑟 < 𝑠 ↔ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
127126notbid 318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (¬ 𝑟 < 𝑠 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
128127ralbidv 3171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
129125breq2d 5153 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (𝑠 < 𝑟𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
130129imbi1d 341 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ((𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡) ↔ (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
131130ralbidv 3171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
132128, 131anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ((∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)) ↔ (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))))
13371, 132rspcedv 3599 . . . . 5 (𝜑 → ((∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)) → ∃𝑟 ∈ ℝ* (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))))
134124, 133mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ* (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
1352, 134supcl 9452 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
136 nfv 1909 . . . . 5 𝑎𝜑
137 nfcv 2897 . . . . . 6 𝑎𝑠
138 nfmpt1 5249 . . . . . . 7 𝑎(𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
139138nfrn 5944 . . . . . 6 𝑎ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
140137, 139nfel 2911 . . . . 5 𝑎 𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
141136, 140nfan 1894 . . . 4 𝑎(𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
142 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
143 simpll 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝜑)
144142elin1d 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
145 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝐴)
147146sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝑗𝐴)
148143, 147, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝐵𝑊)
149143adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝜑)
150147adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝑗𝐴)
151 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝑘𝐵)
152149, 150, 151, 37syl12anc 834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153142elin2d 4194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
15429, 32, 142, 148, 152, 153esum2dlem 33620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
155 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
156 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑎
15737anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
158157ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
159 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐵
160159esumcl 33558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16161, 158, 160syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
162143, 147, 161syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
163155, 156, 153, 162esumgsum 33573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
164154, 163eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
165 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16666adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
16747adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
168 iunss1 5004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
169146, 168syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
170165, 166, 167, 169esummono 33582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
171164, 170eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
17211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
173162ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑗𝑎 Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17410, 172, 153, 173gsummptcl 19885 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
1759, 174sselid 3975 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
17671adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
177 xrlenlt 11280 . . . . . . . . . 10 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
178175, 176, 177syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
179171, 178mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
180 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝜑
181 eqidd 2727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
182180, 68, 66, 47, 181esumval 33574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
183182adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
184183breq1d 5151 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ↔ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
185179, 184mtbid 324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
186185adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
187186adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
188 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
189188breq2d 5153 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠 ↔ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
190189notbid 318 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠 ↔ ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
191187, 190mpbird 257 . . . 4 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠)
192 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
193 ovex 7437 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V
194192, 193elrnmpti 5952 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
195194biimpi 215 . . . . 5 (𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
196195adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
197141, 191, 196r19.29af 3259 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠)
1984nfel1 2913 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 ∈ ℝ*
199 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 𝑐 <
200 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 𝑐*
2016, 200, 199nfsup 9445 . . . . . . . . . 10 𝑐sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )
2024, 199, 201nfbr 5188 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )
203198, 202nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑐(𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2043, 203nfan 1894 . . . . . . 7 𝑐(𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )))
205 nfcv 2897 . . . . . . . 8 𝑐𝑢
206205, 6nfel 2911 . . . . . . 7 𝑐 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
207204, 206nfan 1894 . . . . . 6 𝑐((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
208 nfv 1909 . . . . . 6 𝑐 𝑠 < 𝑢
209207, 208nfan 1894 . . . . 5 𝑐(((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢)
210 simp-5l 782 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝜑)
211 simpr1l 1227 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
2122113anassrs 1357 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
2132123anassrs 1357 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
214210, 213jca 511 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → (𝜑𝑠 ∈ ℝ*))
215 simpr1r 1228 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2162153anassrs 1357 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2172163anassrs 1357 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
218214, 217jca 511 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )))
219 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < 𝑢)
220 simpr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
221219, 220breqtrd 5167 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
222 simplr 766 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
223 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
224223elin1d 4193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
225 elpwi 4604 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
226 dmss 5895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 ⊆ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
227 dmiun 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵)
228226, 227sseqtrdi 4027 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵))
229 dmxpss 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ {𝑗}
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝐴 → dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ {𝑗})
231 snssi 4806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝐴 → {𝑗} ⊆ 𝐴)
232230, 231sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝐴 → dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴)
233232rgen 3057 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴
234 iunss 5041 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴)
235233, 234mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴
236228, 235sstrdi 3989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐𝐴)
23718dmex 7898 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑐 ∈ V
238237elpw 4601 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ dom 𝑐𝐴)
239236, 238sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
240224, 225, 2393syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
241223elin2d 4194 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ Fin)
242 dmfi 9329 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ Fin → dom 𝑐 ∈ Fin)
243241, 242syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ Fin)
244240, 243elind 4189 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
245 ovex 7437 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V
246245a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V)
247 mpteq1 5234 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = dom 𝑐 → (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶) = (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))
248247oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = dom 𝑐 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
249192, 248elrnmpt1s 5949 . . . . . . . . 9 ((dom 𝑐 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
250244, 246, 249syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
251 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
252251breq2d 5153 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (𝑠 < 𝑡𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
253 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ ℝ*)
25411a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
255 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
256 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 Σg
257 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝑧𝑐𝐹)
258255, 256, 257nfov 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))
259110, 111, 258nfbr 5188 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))
260109, 259nfan 1894 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
261 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
262260, 261nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
263 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝜑)
264224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
265264sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
266263, 265, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
267266ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑧𝑐𝐹 ∈ (0[,]+∞)))
268262, 267ralrimi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑐 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
26910, 254, 241, 268gsummptcl 19885 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
2709, 269sselid 3975 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
271 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
272 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑐
27325nfpw 4616 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
274 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗Fin
275273, 274nfin 4211 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
276272, 275nfel 2911 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
277271, 276nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
278 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝜑)
27979, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐𝐴)
280279sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑗𝐴)
281278, 280, 161syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
282281adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
283282adantllr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
284283ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑗 ∈ dom 𝑐 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
285277, 284ralrimi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
28610, 254, 243, 285gsummptcl 19885 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
2879, 286sselid 3975 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
288 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
28923, 276nfan 1894 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
290 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
291 xpss 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
292291rgenw 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
293 iunss 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V))
294292, 293mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V))
296290, 295sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 ⊆ (V × V))
29779, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ⊆ (V × V))
298 df-rel 5676 . . . . . . . . . . . . . 14 (Rel 𝑐𝑐 ⊆ (V × V))
299297, 298sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Rel 𝑐)
30029, 289, 10, 32, 299, 14, 12, 48gsummpt2d 32705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
301 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗dom 𝑐
302237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ V)
303278adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝜑)
304280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝑗𝐴)
30579adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
306 imass1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}))
307305, 306syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}))
30859, 61iunsnima 32352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}) = 𝐵)
309278, 280, 308syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}) = 𝐵)
310307, 309sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ 𝐵)
311310sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝑘𝐵)
312303, 304, 311, 37syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
313312ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → ∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
314 imaexg 7902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ V → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ V)
31518, 314ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 “ {𝑗}) ∈ V
316 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑐 “ {𝑗})
317316esumcl 33558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑐 “ {𝑗}) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
318315, 317mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
319313, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
320 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐)
321278, 280, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝐵𝑊)
322278adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝜑)
323280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑗𝐴)
324 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
325322, 323, 324, 37syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
326320, 321, 325, 310esummono 33582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐵𝐶)
327289, 301, 302, 319, 281, 326esumlef 33590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ≤ Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶)
32814, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ Fin)
329289, 301, 328, 319esumgsum 33573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶)))
33014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑐 ∈ Fin)
331 imafi2 32441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ Fin → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ Fin)
332330, 331syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ Fin)
333320, 316, 332, 312esumgsum 33573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))
334289, 333mpteq2da 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶) = (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶))))
335334oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
336329, 335eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
337289, 301, 328, 281esumgsum 33573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
338327, 336, 3373brtr3d 5172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
339300, 338eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
340339adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
341340adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
342253, 270, 287, 288, 341xrltletrd 13143 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
343250, 252, 342rspcedvd 3608 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
344343adantllr 716 . . . . . 6 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
345218, 221, 222, 344syl21anc 835 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
34653, 89elrnmpti 5952 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
347346biimpi 215 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
348347ad2antlr 724 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
349209, 345, 348r19.29af 3259 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
3502, 134suplub 9454 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
351350imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
352 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑢 → (𝑠 < 𝑡𝑠 < 𝑢))
353352cbvrexvw 3229 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑢)
354351, 353sylib 217 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑢)
355349, 354r19.29a 3156 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
3562, 135, 197, 355eqsupd 9451 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
357 nfcv 2897 . . 3 𝑗𝐴
358 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
35923, 357, 59, 161, 358esumval 33574 . 2 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = sup(ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))), ℝ*, < ))
360356, 359, 1823eqtr4d 2776 1 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2877  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468  cin 3942  wss 3943  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  cop 4629   ciun 4990   class class class wbr 5141  cmpt 5224   Or wor 5580   × cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670  cima 5672  Rel wrel 5674  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  supcsup 9434  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  *cxr 11248   < clt 11249  cle 11250  [,]cicc 13330  s cress 17180   Σg cgsu 17393  *𝑠cxrs 17453  CMndccmn 19698  Σ*cesum 33555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-ordt 17454  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-plusf 18570  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-abv 20658  df-lmod 20706  df-scaf 20707  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-tmd 23927  df-tgp 23928  df-tsms 23982  df-trg 24015  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-nm 24442  df-ngp 24443  df-nrg 24445  df-nlm 24446  df-ii 24748  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-esum 33556
This theorem is referenced by:  esumiun  33622
  Copyright terms: Public domain W3C validator