Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem6 33134
Description: Lemma for cycpmco2 33136. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem.1 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem6.2 (𝜑𝐾𝐼)
cycpmco2lem6.1 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem6 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem6
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . . 4 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpmco2.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4 ssrab2 4090 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
5 cycpmco2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
6 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
81, 6, 7tocycf 33120 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
109fdmd 6747 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
115, 10eleqtrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
124, 11sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
13 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
1413eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
1514s1cld 14638 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16 splcl 14787 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
183, 17eqeltrid 2843 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Word 𝐷)
19 cycpmco2.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
20 cycpmco2.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
211, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2f1 33127 . . . 4 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1𝐷)
22 fz0ssnn0 13659 . . . . . . . 8 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
24 dmeq 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
25 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
2623, 24, 25f1eq123d 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2726elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2811, 27sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2928simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
30 f1cnv 6873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
31 f1of 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3332, 19ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
34 wrddm 14556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3633, 35eleqtrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37 fzofzp1 13800 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3920, 38eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4022, 39sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
41 nn0uz 12918 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
4240, 41eleqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (ℤ‘0))
43 fzoss1 13723 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℤ‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
4442, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45 cycpmco2lem6.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))
4644, 45sseldd 3996 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
471, 2, 18, 21, 46cycpmfv1 33116 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)))
48 cycpmco2lem.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
49 f1f1orn 6860 . . . . . . 7 (𝑈:dom 𝑈1-1𝐷𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
5021, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
51 ssun1 4188 . . . . . . . 8 ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
521, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2rn 33128 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
5351, 52sseqtrrid 4049 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
5453sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55 f1ocnvfv2 7297 . . . . . 6 ((𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5650, 54, 55syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5748, 56mpdan 687 . . . 4 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5857fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
593a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
60 fzossz 13716 . . . . . . . 8 (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ ℤ
6160, 45sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ ℤ)
6261zcnd 12721 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ ℂ)
6340nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
64 1cnd 11254 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6562, 63, 64nppcan3d 11645 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = ((𝑈𝐾) + 1))
6665eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) = (((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
6759, 66fveq12d 6914 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
6847, 58, 673eqtr3d 2783 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
6962, 63npcand 11622 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 𝐸) + 𝐸) = (𝑈𝐾))
7069fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
71 nn0fz0 13662 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0...𝐸))
7240, 71sylib 218 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (0...𝐸))
73 lencl 14568 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7412, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 12587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
76 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
7720, 76eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ V)
78 splval 14786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
795, 77, 77, 15, 78syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
803, 79eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
8180fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
82 pfxcl 14712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
8312, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
84 ccatcl 14609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
8583, 15, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
86 swrdcl 14680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
8712, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
88 ccatlen 14610 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
8985, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
90 ccatws1len 14655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
9112, 82, 903syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
92 pfxlen 14718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
9312, 39, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
9493oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
9591, 94eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
96 nn0fz0 13662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9774, 96sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
98 swrdlen 14682 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
9912, 39, 97, 98syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
10095, 99oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
10181, 89, 1003eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
10240nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
103102peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
104103zcnd 12721 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
105104, 75, 63addsubassd 11638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
10663, 64, 75addassd 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
107106oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
108101, 105, 1073eqtr2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
10964, 75addcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
11063, 109pncan2d 11620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
11164, 75addcomd 11461 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
112108, 110, 1113eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11375, 64, 112mvrraddd 11673 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
114113oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) = (𝐸..^(♯‘𝑊)))
11545, 114eleqtrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)))
116 fzosubel 13760 . . . . . 6 (((𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝑈𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
117115, 102, 116syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
11863subidd 11606 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝐸) = 0)
119118oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
120117, 119eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
12164, 63addcomd 11461 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + 1))
122 s1len 14641 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
123122oveq2i 7442 . . . . 5 (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1)
124121, 123eqtr4di 2793 . . . 4 (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))
12512, 72, 39, 15, 120, 124splfv3 32928 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + 𝐸)))
126113oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
127126oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) = (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)))
128 fzoss1 13723 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (ℤ‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
12942, 128syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
130127, 129eqsstrd 4034 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
131 f1ocnvdm 7305 . . . . . . . . . 10 ((𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈)
13250, 54, 131syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈)
13348, 132mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈)
13474nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135134peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ)
136 elfzonn0 13744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
137 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
13836, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
13920, 138eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
140139nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
141134zred 12720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
142 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
143 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
14439, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
145140, 141, 142, 144leadd1dd 11875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1))
146 eluz2 12882 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 + 1)) ↔ ((𝐸 + 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1)))
147103, 135, 145, 146syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 + 1)))
148 fzoss2 13724 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 + 1)) → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
150 fzonn0p1 13778 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
15140, 150syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
152149, 151sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
153112oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
154152, 153eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (0..^(♯‘𝑈)))
155 wrddm 14556 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
15618, 155syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
157154, 156eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ dom 𝑈)
158 cycpmco2lem6.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝐼)
1591, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2lem2 33130 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐸) = 𝐼)
160158, 57, 1593netr4d 3016 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) ≠ (𝑈𝐸))
161 f1fveq 7282 . . . . . . . . . 10 ((𝑈:dom 𝑈1-1𝐷 ∧ ((𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(𝑈𝐾)) = (𝑈𝐸) ↔ (𝑈𝐾) = 𝐸))
162161necon3bid 2983 . . . . . . . . 9 ((𝑈:dom 𝑈1-1𝐷 ∧ ((𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(𝑈𝐾)) ≠ (𝑈𝐸) ↔ (𝑈𝐾) ≠ 𝐸))
163162biimp3a 1468 . . . . . . . 8 ((𝑈:dom 𝑈1-1𝐷 ∧ ((𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈𝐸 ∈ dom 𝑈) ∧ (𝑈‘(𝑈𝐾)) ≠ (𝑈𝐸)) → (𝑈𝐾) ≠ 𝐸)
16421, 133, 157, 160, 163syl121anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ≠ 𝐸)
165 fzom1ne1 32809 . . . . . . 7 (((𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ∧ (𝑈𝐾) ≠ 𝐸) → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
16645, 164, 165syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
167130, 166sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
1681, 2, 12, 29, 167cycpmfv1 33116 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘((𝑈𝐾) − 1))) = (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 1) + 1)))
16962, 64, 63subsub4d 11649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) = ((𝑈𝐾) − (1 + 𝐸)))
170169oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((𝑈𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)))
17164, 63addcld 11278 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℂ)
17262, 171npcand 11622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)) = (𝑈𝐾))
173170, 172eqtr2d 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐾) = ((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
17459, 173fveq12d 6914 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
17563, 75pncan3d 11621 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (♯‘𝑊))
176113, 134eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℤ)
177 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
178176, 177zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ)
179178zred 12720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℝ)
180113, 141eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℝ)
181180ltm1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < ((♯‘𝑈) − 1))
182181, 113breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < (♯‘𝑊))
183179, 141, 182ltled 11407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
184 eluz1 12880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))))
185184biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
186178, 134, 183, 185syl12anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
187175, 186eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
188 fzoss2 13724 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
190189, 166sseldd 3996 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
191134, 102zsubcld 12725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ)
192 fzosubel3 13762 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ) → (((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
193190, 191, 192syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
19412, 72, 39, 15, 193, 124splfv3 32928 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)))
19562, 64subcld 11618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ ℂ)
196195, 63npcand 11622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸) = ((𝑈𝐾) − 1))
197196fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((𝑈𝐾) − 1)))
198174, 194, 1973eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘((𝑈𝐾) − 1)))
199198, 57eqtr3d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊‘((𝑈𝐾) − 1)) = 𝐾)
200199fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘((𝑈𝐾) − 1))) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
20162, 64npcand 11622 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 1) + 1) = (𝑈𝐾))
202201fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 1) + 1)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
203168, 200, 2023eqtr3d 2783 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘𝐾) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
20470, 125, 2033eqtr4rd 2786 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
20568, 204eqtr4d 2778 1 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  cop 4637  cotp 4639   class class class wbr 5148  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630   substr csubstr 14675   prefix cpfx 14705   splice csplice 14784  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-csh 14824  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895  df-symg 19402  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cycpmco2  33136
  Copyright terms: Public domain W3C validator