Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem6 32029
Description: Lemma for cycpmco2 32031. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
cycpmco2lem.1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2lem6.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
cycpmco2lem6.1 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ (𝐸..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΎ) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ))

Proof of Theorem cycpmco2lem6
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . . 4 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpmco2.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpmco2.1 . . . . 5 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
4 ssrab2 4038 . . . . . . 7 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
5 cycpmco2.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
6 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
81, 6, 7tocycf 32015 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
109fdmd 6680 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
115, 10eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
124, 11sselid 3943 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
13 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
1413eldifad 3923 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
1514s1cld 14497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
16 splcl 14646 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) ∈ Word 𝐷)
1712, 15, 16syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) ∈ Word 𝐷)
183, 17eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝐷)
19 cycpmco2.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
20 cycpmco2.e . . . . 5 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
211, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2f1 32022 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
22 fz0ssnn0 13542 . . . . . . . 8 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
24 dmeq 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
25 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
2623, 24, 25f1eq123d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2726elrab 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2811, 27sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2928simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
30 f1cnv 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
31 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
3332, 19ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
34 wrddm 14415 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3633, 35eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
37 fzofzp1 13675 . . . . . . . . . 10 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3920, 38eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
4022, 39sselid 3943 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
41 nn0uz 12810 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4240, 41eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
43 fzoss1 13605 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐸..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
4442, 43syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
45 cycpmco2lem6.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ (𝐸..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
4644, 45sseldd 3946 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
471, 2, 18, 21, 46cycpmfv1 32011 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ))) = (π‘ˆβ€˜((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) + 1)))
48 cycpmco2lem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ran π‘Š)
49 f1f1orn 6796 . . . . . . 7 (π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘ˆ)
5021, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘ˆ)
51 ssun1 4133 . . . . . . . 8 ran π‘Š βŠ† (ran π‘Š βˆͺ {𝐼})
521, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2rn 32023 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}))
5351, 52sseqtrrid 3998 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† ran π‘ˆ)
5453sselda 3945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ ran π‘ˆ)
55 f1ocnvfv2 7224 . . . . . 6 ((π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘ˆ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = 𝐾)
5650, 54, 55syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘Š) β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = 𝐾)
5748, 56mpdan 686 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = 𝐾)
5857fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ))) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΎ))
593a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©))
60 fzossz 13598 . . . . . . . 8 (𝐸..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) βŠ† β„€
6160, 45sselid 3943 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ β„€)
6261zcnd 12613 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ β„‚)
6340nn0cnd 12480 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
64 1cnd 11155 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
6562, 63, 64nppcan3d 11544 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸)) = ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) + 1))
6665eqcomd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) + 1) = (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸)))
6759, 66fveq12d 6850 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) + 1)) = ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸))))
6847, 58, 673eqtr3d 2781 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΎ) = ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸))))
6962, 63npcand 11521 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + 𝐸) = (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ))
7069fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + 𝐸)) = (π‘Šβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)))
71 nn0fz0 13545 . . . . 5 (𝐸 ∈ β„•0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
7240, 71sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
73 lencl 14427 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
7412, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
7574nn0cnd 12480 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
76 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
7720, 76eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
78 splval 14645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
795, 77, 77, 15, 78syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
803, 79eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
8180fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
82 pfxcl 14571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
8312, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
84 ccatcl 14468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
8583, 15, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
86 swrdcl 14539 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
8712, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
88 ccatlen 14469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷) β†’ (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
8985, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
90 ccatws1len 14514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
9112, 82, 903syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
92 pfxlen 14577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
9312, 39, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
9493oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
9591, 94eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = (𝐸 + 1))
96 nn0fz0 13545 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
9774, 96sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
98 swrdlen 14541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))
9912, 39, 97, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))
10095, 99oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
10181, 89, 1003eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
10240nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
103102peano2zd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„€)
104103zcnd 12613 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„‚)
105104, 75, 63addsubassd 11537 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) βˆ’ 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
10663, 64, 75addassd 11182 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) = (𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))))
107106oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) βˆ’ 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸))
108101, 105, 1073eqtr2d 2779 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸))
10964, 75addcld 11179 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 + (β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
11063, 109pncan2d 11519 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸) = (1 + (β™―β€˜π‘Š)))
11164, 75addcomd 11362 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
112108, 110, 1113eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
11375, 64, 112mvrraddd 11572 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
114113oveq2d 7374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))
11545, 114eleqtrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))
116 fzosubel 13637 . . . . . 6 (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝐸 ∈ β„€) β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) ∈ ((𝐸 βˆ’ 𝐸)..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
117115, 102, 116syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) ∈ ((𝐸 βˆ’ 𝐸)..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
11863subidd 11505 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐸) = 0)
119118oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 βˆ’ 𝐸)..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)) = (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
120117, 119eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
12164, 63addcomd 11362 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐸) = (𝐸 + 1))
122 s1len 14500 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = 1
123122oveq2i 7369 . . . . 5 (𝐸 + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = (𝐸 + 1)
124121, 123eqtr4di 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐸) = (𝐸 + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))
12512, 72, 39, 15, 120, 124splfv3 31861 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (π‘Šβ€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + 𝐸)))
126113oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
127126oveq2d 7374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸..^(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) = (𝐸..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
128 fzoss1 13605 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐸..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
12942, 128syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
130127, 129eqsstrd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸..^(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
131 f1ocnvdm 7232 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘ˆ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘ˆ) β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ dom π‘ˆ)
13250, 54, 131syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘Š) β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ dom π‘ˆ)
13348, 132mpdan 686 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ dom π‘ˆ)
13474nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
135134peano2zd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„€)
136 elfzonn0 13623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0)
137 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ β„•)
13836, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ β„•)
13920, 138eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•)
140139nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
141134zred 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
142 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
143 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝐸 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
14439, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
145140, 141, 142, 144leadd1dd 11774 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ≀ ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
146 eluz2 12774 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐸 + 1)) ↔ ((𝐸 + 1) ∈ β„€ ∧ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„€ ∧ (𝐸 + 1) ≀ ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
147103, 135, 145, 146syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐸 + 1)))
148 fzoss2 13606 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐸 + 1)) β†’ (0..^(𝐸 + 1)) βŠ† (0..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0..^(𝐸 + 1)) βŠ† (0..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
150 fzonn0p1 13655 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ β„•0 β†’ 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
15140, 150syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
152149, 151sseldd 3946 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
153112oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘ˆ)) = (0..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
154152, 153eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ˆ)))
155 wrddm 14415 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘ˆ = (0..^(β™―β€˜π‘ˆ)))
15618, 155syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = (0..^(β™―β€˜π‘ˆ)))
157154, 156eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ dom π‘ˆ)
158 cycpmco2lem6.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
1591, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2lem2 32025 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = 𝐼)
160158, 57, 1593netr4d 3018 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) β‰  (π‘ˆβ€˜πΈ))
161 f1fveq 7210 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ dom π‘ˆ ∧ 𝐸 ∈ dom π‘ˆ)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = (π‘ˆβ€˜πΈ) ↔ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) = 𝐸))
162161necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ dom π‘ˆ ∧ 𝐸 ∈ dom π‘ˆ)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) β‰  (π‘ˆβ€˜πΈ) ↔ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) β‰  𝐸))
163162biimp3a 1470 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ dom π‘ˆ ∧ 𝐸 ∈ dom π‘ˆ) ∧ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) β‰  (π‘ˆβ€˜πΈ)) β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) β‰  𝐸)
16421, 133, 157, 160, 163syl121anc 1376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) β‰  𝐸)
165 fzom1ne1 31751 . . . . . . 7 (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) ∈ (𝐸..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) ∧ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) β‰  𝐸) β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) ∈ (𝐸..^(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
16645, 164, 165syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) ∈ (𝐸..^(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
167130, 166sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
1681, 2, 12, 29, 167cycpmfv1 32011 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) + 1)))
16962, 64, 63subsub4d 11548 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) = ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ (1 + 𝐸)))
170169oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)))
17164, 63addcld 11179 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐸) ∈ β„‚)
17262, 171npcand 11521 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)) = (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ))
173170, 172eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) = ((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸)))
17459, 173fveq12d 6850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸))))
17563, 75pncan3d 11520 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)) = (β™―β€˜π‘Š))
176113, 134eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) ∈ β„€)
177 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
178176, 177zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€)
179178zred 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
180113, 141eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
181180ltm1d 12092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) < ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
182181, 113breqtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
183179, 141, 182ltled 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
184 eluz1 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
185184biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
186178, 134, 183, 185syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
187175, 186eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
188 fzoss2 13606 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) β†’ (𝐸..^(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) βŠ† (𝐸..^(𝐸 + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸..^(((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) βŠ† (𝐸..^(𝐸 + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))))
190189, 166sseldd 3946 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))))
191134, 102zsubcld 12617 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) ∈ β„€)
192 fzosubel3 13639 . . . . . . . . 9 ((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) ∈ β„€) β†’ (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
193190, 191, 192syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
19412, 72, 39, 15, 193, 124splfv3 31861 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (π‘Šβ€˜((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + 𝐸)))
19562, 64subcld 11517 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
196195, 63npcand 11521 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + 𝐸) = ((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1))
197196fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜((((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + 𝐸)) = (π‘Šβ€˜((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1)))
198174, 194, 1973eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = (π‘Šβ€˜((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1)))
199198, 57eqtr3d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1)) = 𝐾)
200199fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ))
20162, 64npcand 11521 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) + 1) = (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ))
202201fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 1) + 1)) = (π‘Šβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)))
203168, 200, 2023eqtr3d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ) = (π‘Šβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)))
20470, 125, 2033eqtr4rd 2784 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ) = ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜(((β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸))))
20568, 204eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΎ) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βŸ¨cop 4593  βŸ¨cotp 4595   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   ++ cconcat 14464  βŸ¨β€œcs1 14489   substr csubstr 14534   prefix cpfx 14564   splice csplice 14643  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-splice 14644  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cycpmco2  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator