Theorem cycpmco2lem6 33088

Description: Lemma for cycpmco2 33090. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem6.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
cycpmco2lem6.1	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem6	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		ssrab2 4043	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
5		cycpmco2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	1, 6, 7	tocycf 33074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	9	fdmd 6698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	5, 10	eleqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	4, 11	sselid 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
13		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
14	13	eldifad 3926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
15	14	s1cld 14568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		splcl 14717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
18	3, 17	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
19		cycpmco2.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
20		cycpmco2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
21	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2f1 33081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
22		fz0ssnn0 13583	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
23		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
24		dmeq 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
25		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
26	23, 24, 25	f1eq123d 6792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
27	26	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
28	11, 27	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
29	28	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
30		f1cnv 6824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
31		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
33	32, 19	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
34		wrddm 14486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
35	12, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
36	33, 35	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37		fzofzp1 13725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39	20, 38	eqeltrid 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
40	22, 39	sselid 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
41		nn0uz 12835	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
42	40, 41	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘0))
43		fzoss1 13647	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45		cycpmco2lem6.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))
46	44, 45	sseldd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
47	1, 2, 18, 21, 46	cycpmfv1 33070	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)))
48		cycpmco2lem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
49		f1f1orn 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
50	21, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
51		ssun1 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
52	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2rn 33082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
53	51, 52	sseqtrrid 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
54	53	sselda 3946	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55		f1ocnvfv2 7252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
56	50, 54, 55	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
57	48, 56	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
58	57	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
59	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
60		fzossz 13640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ ℤ
61	60, 45	sselid 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ℤ)
62	61	zcnd 12639	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ℂ)
63	40	nn0cnd 12505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
64		1cnd 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	nppcan3d 11560	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = ((◡𝑈‘𝐾) + 1))
66	65	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) = (((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
67	59, 66	fveq12d 6865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
68	47, 58, 67	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
69	62, 63	npcand 11537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + 𝐸) = (◡𝑈‘𝐾))
70	69	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
71		nn0fz0 13586	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
72	40, 71	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
73		lencl 14498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
74	12, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
75	74	nn0cnd 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
76		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
77	20, 76	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
78		splval 14716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
79	5, 77, 77, 15, 78	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
80	3, 79	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
81	80	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
82		pfxcl 14642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
83	12, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
84		ccatcl 14539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
85	83, 15, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
86		swrdcl 14610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
87	12, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
88		ccatlen 14540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
89	85, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
90		ccatws1len 14585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
91	12, 82, 90	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
92		pfxlen 14648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
93	12, 39, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
94	93	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
95	91, 94	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
96		nn0fz0 13586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
97	74, 96	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
98		swrdlen 14612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
99	12, 39, 97, 98	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
100	95, 99	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
101	81, 89, 100	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
102	40	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
103	102	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
104	103	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
105	104, 75, 63	addsubassd 11553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
106	63, 64, 75	addassd 11196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
107	106	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
108	101, 105, 107	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
109	64, 75	addcld 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
110	63, 109	pncan2d 11535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
111	64, 75	addcomd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
112	108, 110, 111	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
113	75, 64, 112	mvrraddd 11590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
114	113	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) = (𝐸..^(♯‘𝑊)))
115	45, 114	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)))
116		fzosubel 13685	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸 − 𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
117	115, 102, 116	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸 − 𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
118	63	subidd 11521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
119	118	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
120	117, 119	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
121	64, 63	addcomd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + 1))
122		s1len 14571	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
123	122	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1)
124	121, 123	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))
125	12, 72, 39, 15, 120, 124	splfv3 32880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + 𝐸)))
126	113	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
127	126	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) = (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)))
128		fzoss1 13647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
129	42, 128	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
130	127, 129	eqsstrd 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
131		f1ocnvdm 7260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈)
132	50, 54, 131	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈)
133	48, 132	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈)
134	74	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135	134	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ)
136		elfzonn0 13668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
137		nn0p1nn 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
138	36, 136, 137	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
139	20, 138	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
140	139	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
141	134	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
142		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
143		elfzle2 13489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
144	39, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
145	140, 141, 142, 144	leadd1dd 11792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1))
146		eluz2 12799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 + 1)) ↔ ((𝐸 + 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1)))
147	103, 135, 145, 146	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 + 1)))
148		fzoss2 13648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 + 1)) → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
150		fzonn0p1 13703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
151	40, 150	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
152	149, 151	sseldd 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
153	112	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
154	152, 153	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^(♯‘𝑈)))
155		wrddm 14486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
156	18, 155	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
157	154, 156	eleqtrrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom 𝑈)
158		cycpmco2lem6.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
159	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2lem2 33084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
160	158, 57, 159	3netr4d 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) ≠ (𝑈‘𝐸))
161		f1fveq 7237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 ∧ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑈‘𝐸) ↔ (◡𝑈‘𝐾) = 𝐸))
162	161	necon3bid 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 ∧ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) ≠ (𝑈‘𝐸) ↔ (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸))
163	162	biimp3a 1471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 ∧ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝑈) ∧ (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) ≠ (𝑈‘𝐸)) → (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸)
164	21, 133, 157, 160, 163	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸)
165		fzom1ne1 32724	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ∧ (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸) → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
166	45, 164, 165	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
167	130, 166	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
168	1, 2, 12, 29, 167	cycpmfv1 33070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1))) = (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 1) + 1)))
169	62, 64, 63	subsub4d 11564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) = ((◡𝑈‘𝐾) − (1 + 𝐸)))
170	169	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((◡𝑈‘𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)))
171	64, 63	addcld 11193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℂ)
172	62, 171	npcand 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)) = (◡𝑈‘𝐾))
173	170, 172	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
174	59, 173	fveq12d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
175	63, 75	pncan3d 11536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (♯‘𝑊))
176	113, 134	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℤ)
177		1zzd 12564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
178	176, 177	zsubcld 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ)
179	178	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℝ)
180	113, 141	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℝ)
181	180	ltm1d 12115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < ((♯‘𝑈) − 1))
182	181, 113	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < (♯‘𝑊))
183	179, 141, 182	ltled 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
184		eluz1 12797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))))
185	184	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
186	178, 134, 183, 185	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
187	175, 186	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
188		fzoss2 13648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
189	187, 188	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
190	189, 166	sseldd 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
191	134, 102	zsubcld 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ)
192		fzosubel3 13687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ) → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
193	190, 191, 192	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
194	12, 72, 39, 15, 193, 124	splfv3 32880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)))
195	62, 64	subcld 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ ℂ)
196	195, 63	npcand 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸) = ((◡𝑈‘𝐾) − 1))
197	196	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1)))
198	174, 194, 197	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1)))
199	198, 57	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1)) = 𝐾)
200	199	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
201	62, 64	npcand 11537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) + 1) = (◡𝑈‘𝐾))
202	201	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 1) + 1)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
203	168, 200, 202	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
204	70, 125, 203	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
205	68, 204	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635   splice csplice 14714  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19299  toCycctocyc 33063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715  df-csh 14754  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18796  df-symg 19300  df-tocyc 33064

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33090