Theorem cycpmco2lem6 33207

Description: Lemma for cycpmco2 33209. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem6.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
cycpmco2lem6.1	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem6	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		ssrab2 4021	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
5		cycpmco2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	1, 6, 7	tocycf 33193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	9	fdmd 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	5, 10	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	4, 11	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
13		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
14	13	eldifad 3902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
15	14	s1cld 14557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		splcl 14705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
17	12, 15, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
18	3, 17	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
19		cycpmco2.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
20		cycpmco2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
21	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2f1 33200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
22		fz0ssnn0 13567	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
23		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
24		dmeq 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
25		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
26	23, 24, 25	f1eq123d 6766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
27	26	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
28	11, 27	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
29	28	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
30		f1cnv 6798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
31		f1of 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
33	32, 19	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
34		wrddm 14474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
35	12, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
36	33, 35	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37		fzofzp1 13710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39	20, 38	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
40	22, 39	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
41		nn0uz 12817	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
42	40, 41	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘0))
43		fzoss1 13632	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45		cycpmco2lem6.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))
46	44, 45	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
47	1, 2, 18, 21, 46	cycpmfv1 33189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)))
48		cycpmco2lem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
49		f1f1orn 6785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
50	21, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
51		ssun1 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
52	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2rn 33201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
53	51, 52	sseqtrrid 3966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
54	53	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55		f1ocnvfv2 7225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
56	50, 54, 55	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
57	48, 56	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
58	57	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
59	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
60		fzossz 13625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ ℤ
61	60, 45	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ℤ)
62	61	zcnd 12625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ℂ)
63	40	nn0cnd 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
64		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	nppcan3d 11523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = ((◡𝑈‘𝐾) + 1))
66	65	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) = (((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
67	59, 66	fveq12d 6841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
68	47, 58, 67	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
69	62, 63	npcand 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + 𝐸) = (◡𝑈‘𝐾))
70	69	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
71		nn0fz0 13570	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
72	40, 71	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
73		lencl 14486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
74	12, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
75	74	nn0cnd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
76		ovexd 7395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
77	20, 76	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
78		splval 14704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
79	5, 77, 77, 15, 78	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
80	3, 79	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
81	80	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
82		pfxcl 14631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
83	12, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
84		ccatcl 14527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
85	83, 15, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
86		swrdcl 14599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
87	12, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
88		ccatlen 14528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
89	85, 87, 88	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
90		ccatws1len 14574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
91	12, 82, 90	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
92		pfxlen 14637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
93	12, 39, 92	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
94	93	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
95	91, 94	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
96		nn0fz0 13570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
97	74, 96	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
98		swrdlen 14601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
99	12, 39, 97, 98	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
100	95, 99	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
101	81, 89, 100	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
102	40	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
103	102	peano2zd 12627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
104	103	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
105	104, 75, 63	addsubassd 11516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
106	63, 64, 75	addassd 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
107	106	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
108	101, 105, 107	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
109	64, 75	addcld 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
110	63, 109	pncan2d 11498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
111	64, 75	addcomd 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
112	108, 110, 111	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
113	75, 64, 112	mvrraddd 11553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
114	113	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) = (𝐸..^(♯‘𝑊)))
115	45, 114	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)))
116		fzosubel 13670	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸 − 𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
117	115, 102, 116	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸 − 𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
118	63	subidd 11484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
119	118	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
120	117, 119	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
121	64, 63	addcomd 11339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + 1))
122		s1len 14560	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
123	122	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1)
124	121, 123	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))
125	12, 72, 39, 15, 120, 124	splfv3 33033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + 𝐸)))
126	113	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
127	126	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) = (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)))
128		fzoss1 13632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
129	42, 128	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
130	127, 129	eqsstrd 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
131		f1ocnvdm 7233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈)
132	50, 54, 131	syl2an2r 686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈)
133	48, 132	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈)
134	74	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135	134	peano2zd 12627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ)
136		elfzonn0 13653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
137		nn0p1nn 12467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
138	36, 136, 137	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
139	20, 138	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
140	139	nnred 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
141	134	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
142		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
143		elfzle2 13473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
144	39, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
145	140, 141, 142, 144	leadd1dd 11755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1))
146		eluz2 12785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 + 1)) ↔ ((𝐸 + 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1)))
147	103, 135, 145, 146	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 + 1)))
148		fzoss2 13633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 + 1)) → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
150		fzonn0p1 13688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
151	40, 150	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
152	149, 151	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
153	112	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
154	152, 153	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^(♯‘𝑈)))
155		wrddm 14474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
156	18, 155	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
157	154, 156	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom 𝑈)
158		cycpmco2lem6.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
159	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2lem2 33203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
160	158, 57, 159	3netr4d 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) ≠ (𝑈‘𝐸))
161		f1fveq 7210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 ∧ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑈‘𝐸) ↔ (◡𝑈‘𝐾) = 𝐸))
162	161	necon3bid 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 ∧ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) ≠ (𝑈‘𝐸) ↔ (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸))
163	162	biimp3a 1472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 ∧ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝑈) ∧ (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) ≠ (𝑈‘𝐸)) → (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸)
164	21, 133, 157, 160, 163	syl121anc 1378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸)
165		fzom1ne1 13731	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝑈‘𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ∧ (◡𝑈‘𝐾) ≠ 𝐸) → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
166	45, 164, 165	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
167	130, 166	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
168	1, 2, 12, 29, 167	cycpmfv1 33189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1))) = (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 1) + 1)))
169	62, 64, 63	subsub4d 11527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) = ((◡𝑈‘𝐾) − (1 + 𝐸)))
170	169	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((◡𝑈‘𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)))
171	64, 63	addcld 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℂ)
172	62, 171	npcand 11500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)) = (◡𝑈‘𝐾))
173	170, 172	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
174	59, 173	fveq12d 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
175	63, 75	pncan3d 11499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (♯‘𝑊))
176	113, 134	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℤ)
177		1zzd 12549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
178	176, 177	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ)
179	178	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℝ)
180	113, 141	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℝ)
181	180	ltm1d 12079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < ((♯‘𝑈) − 1))
182	181, 113	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < (♯‘𝑊))
183	179, 141, 182	ltled 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
184		eluz1 12783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))))
185	184	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
186	178, 134, 183, 185	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
187	175, 186	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
188		fzoss2 13633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
189	187, 188	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
190	189, 166	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
191	134, 102	zsubcld 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ)
192		fzosubel3 13672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ) → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
193	190, 191, 192	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
194	12, 72, 39, 15, 193, 124	splfv3 33033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)))
195	62, 64	subcld 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) − 1) ∈ ℂ)
196	195, 63	npcand 11500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸) = ((◡𝑈‘𝐾) − 1))
197	196	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((((◡𝑈‘𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1)))
198	174, 194, 197	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1)))
199	198, 57	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1)) = 𝐾)
200	199	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((◡𝑈‘𝐾) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
201	62, 64	npcand 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑈‘𝐾) − 1) + 1) = (◡𝑈‘𝐾))
202	201	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(((◡𝑈‘𝐾) − 1) + 1)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
203	168, 200, 202	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
204	70, 125, 203	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((◡𝑈‘𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
205	68, 204	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624   splice csplice 14702  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335  toCycctocyc 33182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-csh 14742  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828  df-symg 19336  df-tocyc 33183

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33209