Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem6 33152
Description: Lemma for cycpmco2 33154. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem.1 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem6.2 (𝜑𝐾𝐼)
cycpmco2lem6.1 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem6 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem6
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . . 4 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpmco2.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4 ssrab2 4079 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
5 cycpmco2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
6 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
81, 6, 7tocycf 33138 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
109fdmd 6745 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
115, 10eleqtrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
124, 11sselid 3980 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
13 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
1413eldifad 3962 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
1514s1cld 14642 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16 splcl 14791 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
183, 17eqeltrid 2844 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Word 𝐷)
19 cycpmco2.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
20 cycpmco2.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
211, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2f1 33145 . . . 4 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1𝐷)
22 fz0ssnn0 13663 . . . . . . . 8 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
24 dmeq 5913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
25 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
2623, 24, 25f1eq123d 6839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2726elrab 3691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2811, 27sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2928simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
30 f1cnv 6871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
31 f1of 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3332, 19ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
34 wrddm 14560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3633, 35eleqtrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37 fzofzp1 13804 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3920, 38eqeltrid 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4022, 39sselid 3980 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
41 nn0uz 12921 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
4240, 41eleqtrdi 2850 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (ℤ‘0))
43 fzoss1 13727 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℤ‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
4442, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45 cycpmco2lem6.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)))
4644, 45sseldd 3983 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
471, 2, 18, 21, 46cycpmfv1 33134 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)))
48 cycpmco2lem.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
49 f1f1orn 6858 . . . . . . 7 (𝑈:dom 𝑈1-1𝐷𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
5021, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
51 ssun1 4177 . . . . . . . 8 ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
521, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2rn 33146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
5351, 52sseqtrrid 4026 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
5453sselda 3982 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55 f1ocnvfv2 7298 . . . . . 6 ((𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5650, 54, 55syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5748, 56mpdan 687 . . . 4 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5857fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
593a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
60 fzossz 13720 . . . . . . . 8 (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ⊆ ℤ
6160, 45sselid 3980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ ℤ)
6261zcnd 12725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ ℂ)
6340nn0cnd 12591 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
64 1cnd 11257 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6562, 63, 64nppcan3d 11648 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = ((𝑈𝐾) + 1))
6665eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) = (((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
6759, 66fveq12d 6912 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
6847, 58, 673eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
6962, 63npcand 11625 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 𝐸) + 𝐸) = (𝑈𝐾))
7069fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
71 nn0fz0 13666 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0...𝐸))
7240, 71sylib 218 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (0...𝐸))
73 lencl 14572 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7412, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 12591 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
76 ovexd 7467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
7720, 76eqeltrid 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ V)
78 splval 14790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
795, 77, 77, 15, 78syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
803, 79eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
8180fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
82 pfxcl 14716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
8312, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
84 ccatcl 14613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
8583, 15, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
86 swrdcl 14684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
8712, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
88 ccatlen 14614 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
8985, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
90 ccatws1len 14659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
9112, 82, 903syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
92 pfxlen 14722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
9312, 39, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
9493oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
9591, 94eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
96 nn0fz0 13666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9774, 96sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
98 swrdlen 14686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
9912, 39, 97, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
10095, 99oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
10181, 89, 1003eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
10240nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
103102peano2zd 12727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
104103zcnd 12725 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
105104, 75, 63addsubassd 11641 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
10663, 64, 75addassd 11284 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
107106oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
108101, 105, 1073eqtr2d 2782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
10964, 75addcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
11063, 109pncan2d 11623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
11164, 75addcomd 11464 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
112108, 110, 1113eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11375, 64, 112mvrraddd 11676 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
114113oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) = (𝐸..^(♯‘𝑊)))
11545, 114eleqtrd 2842 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)))
116 fzosubel 13764 . . . . . 6 (((𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝑈𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
117115, 102, 116syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 𝐸) ∈ ((𝐸𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
11863subidd 11609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝐸) = 0)
119118oveq1d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸𝐸)..^((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
120117, 119eleqtrd 2842 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
12164, 63addcomd 11464 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + 1))
122 s1len 14645 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
123122oveq2i 7443 . . . . 5 (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1)
124121, 123eqtr4di 2794 . . . 4 (𝜑 → (1 + 𝐸) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))
12512, 72, 39, 15, 120, 124splfv3 32944 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + 𝐸)))
126113oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
127126oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) = (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)))
128 fzoss1 13727 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (ℤ‘0) → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
12942, 128syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
130127, 129eqsstrd 4017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
131 f1ocnvdm 7306 . . . . . . . . . 10 ((𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈)
13250, 54, 131syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈)
13348, 132mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈)
13474nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135134peano2zd 12727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ)
136 elfzonn0 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
137 nn0p1nn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
13836, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
13920, 138eqeltrid 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
140139nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
141134zred 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
142 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
143 elfzle2 13569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
14439, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
145140, 141, 142, 144leadd1dd 11878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1))
146 eluz2 12885 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 + 1)) ↔ ((𝐸 + 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐸 + 1) ≤ ((♯‘𝑊) + 1)))
147103, 135, 145, 146syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 + 1)))
148 fzoss2 13728 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 + 1)) → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝐸 + 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
150 fzonn0p1 13782 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
15140, 150syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
152149, 151sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
153112oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
154152, 153eleqtrrd 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (0..^(♯‘𝑈)))
155 wrddm 14560 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
15618, 155syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑈 = (0..^(♯‘𝑈)))
157154, 156eleqtrrd 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ dom 𝑈)
158 cycpmco2lem6.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝐼)
1591, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2lem2 33148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐸) = 𝐼)
160158, 57, 1593netr4d 3017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) ≠ (𝑈𝐸))
161 f1fveq 7283 . . . . . . . . . 10 ((𝑈:dom 𝑈1-1𝐷 ∧ ((𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(𝑈𝐾)) = (𝑈𝐸) ↔ (𝑈𝐾) = 𝐸))
162161necon3bid 2984 . . . . . . . . 9 ((𝑈:dom 𝑈1-1𝐷 ∧ ((𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈𝐸 ∈ dom 𝑈)) → ((𝑈‘(𝑈𝐾)) ≠ (𝑈𝐸) ↔ (𝑈𝐾) ≠ 𝐸))
163162biimp3a 1470 . . . . . . . 8 ((𝑈:dom 𝑈1-1𝐷 ∧ ((𝑈𝐾) ∈ dom 𝑈𝐸 ∈ dom 𝑈) ∧ (𝑈‘(𝑈𝐾)) ≠ (𝑈𝐸)) → (𝑈𝐾) ≠ 𝐸)
16421, 133, 157, 160, 163syl121anc 1376 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ≠ 𝐸)
165 fzom1ne1 32804 . . . . . . 7 (((𝑈𝐾) ∈ (𝐸..^((♯‘𝑈) − 1)) ∧ (𝑈𝐾) ≠ 𝐸) → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
16645, 164, 165syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
167130, 166sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
1681, 2, 12, 29, 167cycpmfv1 33134 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘((𝑈𝐾) − 1))) = (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 1) + 1)))
16962, 64, 63subsub4d 11652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) = ((𝑈𝐾) − (1 + 𝐸)))
170169oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((𝑈𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)))
17164, 63addcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℂ)
17262, 171npcand 11625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − (1 + 𝐸)) + (1 + 𝐸)) = (𝑈𝐾))
173170, 172eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐾) = ((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
17459, 173fveq12d 6912 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
17563, 75pncan3d 11624 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) = (♯‘𝑊))
176113, 134eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℤ)
177 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
178176, 177zsubcld 12729 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ)
179178zred 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℝ)
180113, 141eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) ∈ ℝ)
181180ltm1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < ((♯‘𝑈) − 1))
182181, 113breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) < (♯‘𝑊))
183179, 141, 182ltled 11410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
184 eluz1 12883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))))
185184biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((♯‘𝑈) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑈) − 1) − 1) ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
186178, 134, 183, 185syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
187175, 186eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)))
188 fzoss2 13728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸)) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸..^(((♯‘𝑈) − 1) − 1)) ⊆ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
190189, 166sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))))
191134, 102zsubcld 12729 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ)
192 fzosubel3 13766 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝐾) − 1) ∈ (𝐸..^(𝐸 + ((♯‘𝑊) − 𝐸))) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℤ) → (((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
193190, 191, 192syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
19412, 72, 39, 15, 193, 124splfv3 32944 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸))) = (𝑊‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)))
19562, 64subcld 11621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐾) − 1) ∈ ℂ)
196195, 63npcand 11625 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸) = ((𝑈𝐾) − 1))
197196fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊‘((((𝑈𝐾) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((𝑈𝐾) − 1)))
198174, 194, 1973eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘((𝑈𝐾) − 1)))
199198, 57eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊‘((𝑈𝐾) − 1)) = 𝐾)
200199fveq2d 6909 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘((𝑈𝐾) − 1))) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
20162, 64npcand 11625 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐾) − 1) + 1) = (𝑈𝐾))
202201fveq2d 6909 . . . 4 (𝜑 → (𝑊‘(((𝑈𝐾) − 1) + 1)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
203168, 200, 2023eqtr3d 2784 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘𝐾) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
20470, 125, 2033eqtr4rd 2787 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘𝐾) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(((𝑈𝐾) − 𝐸) + (1 + 𝐸))))
20568, 204eqtr4d 2779 1 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  {csn 4625  cop 4631  cotp 4633   class class class wbr 5142  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  wf 6556  1-1wf1 6557  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553   ++ cconcat 14609  ⟨“cs1 14634   substr csubstr 14679   prefix cpfx 14709   splice csplice 14788  Basecbs 17248  SymGrpcsymg 19387  toCycctocyc 33127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-csh 14828  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18883  df-symg 19388  df-tocyc 33128
This theorem is referenced by:  cycpmco2  33154
  Copyright terms: Public domain W3C validator