Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem3 31297
Description: Lemma for cycpmco2 31302. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem3 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4009 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
2 cycpmco2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
3 cycpmco2.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑉)
4 cycpmco2.c . . . . . . . . 9 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5 cycpmco2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
74, 5, 6tocycf 31286 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
98fdmd 6595 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
102, 9eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
111, 10sselid 3915 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
12 lencl 14164 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 12225 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15 1cnd 10901 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16 cycpmco2.1 . . . . . . 7 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17 cycpmco2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
18 ovexd 7290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
1917, 18eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ V)
20 cycpmco2.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
2120eldifad 3895 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝐷)
2221s1cld 14236 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23 splval 14392 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
242, 19, 19, 22, 23syl13anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
2516, 24syl5eq 2791 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
2625fveq2d 6760 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27 pfxcl 14318 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29 ccatcl 14205 . . . . . . 7 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
3028, 22, 29syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31 swrdcl 14286 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
3211, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33 ccatlen 14206 . . . . . 6 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
3430, 32, 33syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35 ccatws1len 14253 . . . . . . . 8 ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
3628, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
38 dmeq 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
4037, 38, 39f1eq123d 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4140elrab 3617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4210, 41sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
43 f1cnv 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
4442, 43simpl2im 503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
45 f1of 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47 cycpmco2.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
4846, 47ffvelrnd 6944 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
49 wrddm 14152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5011, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5148, 50eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52 fzofzp1 13412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5417, 53eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55 pfxlen 14324 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5611, 54, 55syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5756oveq1d 7270 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
5836, 57eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59 nn0fz0 13283 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6013, 59sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61 swrdlen 14288 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
6211, 54, 60, 61syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
6358, 62oveq12d 7273 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
6426, 34, 633eqtrd 2782 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65 fz0ssnn0 13280 . . . . . . . . 9 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
6665, 54sselid 3915 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
6766nn0zd 12353 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
6867peano2zd 12358 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
6968zcnd 12356 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
7066nn0cnd 12225 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7169, 14, 70addsubassd 11282 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
7270, 15, 14addassd 10928 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
7372oveq1d 7270 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
7464, 71, 733eqtr2d 2784 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
7515, 14addcld 10925 . . . 4 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
7670, 75pncan2d 11264 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
7715, 14addcomd 11107 . . 3 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
7874, 76, 773eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
7914, 15, 78mvrraddd 11317 1 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422  cdif 3880  cop 4564  cotp 4566  ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581  wf 6414  1-1wf1 6415  1-1-ontowf1o 6417  cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  cmin 11135  0cn0 12163  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201  ⟨“cs1 14228   substr csubstr 14281   prefix cpfx 14311   splice csplice 14390  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889  toCycctocyc 31275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-csh 14430  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890  df-tocyc 31276
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  31298  cycpmco2lem5  31299  cycpmco2lem7  31301
  Copyright terms: Public domain W3C validator