Theorem cycpmco2lem3 32274

Description: Lemma for cycpmco2 32279. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem3	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4076	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
2		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
3		cycpmco2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		cycpmco2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5		cycpmco2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	4, 5, 6	tocycf 32263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	8	fdmd 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	2, 9	eleqtrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	1, 10	sselid 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
12		lencl 14479	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12530	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15		1cnd 11205	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		cycpmco2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17		cycpmco2.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
18		ovexd 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
19	17, 18	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
20		cycpmco2.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
21	20	eldifad 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
22	21	s1cld 14549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23		splval 14697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
24	2, 19, 19, 22, 23	syl13anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
25	16, 24	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
26	25	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27		pfxcl 14623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
28	11, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29		ccatcl 14520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
30	28, 22, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31		swrdcl 14591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
32	11, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33		ccatlen 14521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35		ccatws1len 14566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
36	28, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
38		dmeq 5901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
40	37, 38, 39	f1eq123d 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	elrab 3682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
42	10, 41	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
43		f1cnv 6854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44	42, 43	simpl2im 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
45		f1of 6830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
48	46, 47	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
49		wrddm 14467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	11, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
51	48, 50	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52		fzofzp1 13725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54	17, 53	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55		pfxlen 14629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	11, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
57	56	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
58	36, 57	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59		nn0fz0 13595	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	13, 59	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61		swrdlen 14593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
62	11, 54, 60, 61	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	58, 62	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
64	26, 34, 63	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65		fz0ssnn0 13592	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
66	65, 54	sselid 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
67	66	nn0zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
68	67	peano2zd 12665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
70	66	nn0cnd 12530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
71	69, 14, 70	addsubassd 11587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
72	70, 15, 14	addassd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
73	72	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
74	64, 71, 73	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
75	15, 14	addcld 11229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
76	70, 75	pncan2d 11569	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
77	15, 14	addcomd 11412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
79	14, 15, 78	mvrraddd 11622	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944  ⟨cop 4633  ⟨cotp 4635  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12468  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  ⟨“cs1 14541   substr csubstr 14586   prefix cpfx 14616   splice csplice 14695  Basecbs 17140  SymGrpcsymg 19228  toCycctocyc 32252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-csh 14735  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-efmnd 18746  df-symg 19229  df-tocyc 32253

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  32275  cycpmco2lem5  32276  cycpmco2lem7  32278