Theorem cycpmco2lem3 33429

Description: Lemma for cycpmco2 33434. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem3	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4035	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
2		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
3		cycpmco2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		cycpmco2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5		cycpmco2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	4, 5, 6	tocycf 33418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	8	fdmd 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	2, 9	eleqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	1, 10	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
12		lencl 14572	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12568	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15		1cnd 11203	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		cycpmco2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17		cycpmco2.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
18		ovexd 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
19	17, 18	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
20		cycpmco2.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
21	20	eldifad 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
22	21	s1cld 14643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23		splval 14790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
24	2, 19, 19, 22, 23	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
25	16, 24	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
26	25	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27		pfxcl 14717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
28	11, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29		ccatcl 14613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
30	28, 22, 29	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31		swrdcl 14685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
32	11, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33		ccatlen 14614	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
34	30, 32, 33	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35		ccatws1len 14660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
36	28, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
38		dmeq 5895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
40	37, 38, 39	f1eq123d 6814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	elrab 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
42	10, 41	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
43		f1cnv 6847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44	42, 43	simpl2im 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
45		f1of 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
48	46, 47	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
49		wrddm 14560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	11, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
51	48, 50	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52		fzofzp1 13795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54	17, 53	eqeltrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55		pfxlen 14723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	11, 54, 55	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
57	56	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
58	36, 57	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59		nn0fz0 13655	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	13, 59	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61		swrdlen 14687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
62	11, 54, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	58, 62	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
64	26, 34, 63	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65		fz0ssnn0 13652	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
66	65, 54	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
67	66	nn0zd 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
68	67	peano2zd 12704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
70	66	nn0cnd 12568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
71	69, 14, 70	addsubassd 11590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
72	70, 15, 14	addassd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
73	72	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
74	64, 71, 73	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
75	15, 14	addcld 11229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
76	70, 75	pncan2d 11572	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
77	15, 14	addcomd 11413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
79	14, 15, 78	mvrraddd 11627	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903  ⟨cop 4596  ⟨cotp 4598  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   − cmin 11442  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552   ++ cconcat 14609  ⟨“cs1 14635   substr csubstr 14680   prefix cpfx 14710   splice csplice 14788  Basecbs 17270  SymGrpcsymg 19440  toCycctocyc 33407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-splice 14789  df-csh 14828  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-efmnd 18929  df-symg 19441  df-tocyc 33408

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  33430  cycpmco2lem5  33431  cycpmco2lem7  33433