Theorem cycpmco2lem3 33121

Description: Lemma for cycpmco2 33126. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem3	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4103	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
2		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
3		cycpmco2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		cycpmco2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5		cycpmco2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	4, 5, 6	tocycf 33110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	8	fdmd 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	2, 9	eleqtrd 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	1, 10	sselid 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
12		lencl 14581	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12615	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15		1cnd 11285	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		cycpmco2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17		cycpmco2.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
18		ovexd 7483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
19	17, 18	eqeltrid 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
20		cycpmco2.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
21	20	eldifad 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
22	21	s1cld 14651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23		splval 14799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
24	2, 19, 19, 22, 23	syl13anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
25	16, 24	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
26	25	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27		pfxcl 14725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
28	11, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29		ccatcl 14622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
30	28, 22, 29	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31		swrdcl 14693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
32	11, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33		ccatlen 14623	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
34	30, 32, 33	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35		ccatws1len 14668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
36	28, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
38		dmeq 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
40	37, 38, 39	f1eq123d 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	elrab 3708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
42	10, 41	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
43		f1cnv 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44	42, 43	simpl2im 503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
45		f1of 6862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
48	46, 47	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
49		wrddm 14569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	11, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
51	48, 50	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52		fzofzp1 13814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54	17, 53	eqeltrid 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55		pfxlen 14731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	11, 54, 55	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
57	56	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
58	36, 57	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59		nn0fz0 13682	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	13, 59	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61		swrdlen 14695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
62	11, 54, 60, 61	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	58, 62	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
64	26, 34, 63	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65		fz0ssnn0 13679	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
66	65, 54	sselid 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
67	66	nn0zd 12665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
68	67	peano2zd 12750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
70	66	nn0cnd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
71	69, 14, 70	addsubassd 11667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
72	70, 15, 14	addassd 11312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
73	72	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
74	64, 71, 73	3eqtr2d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
75	15, 14	addcld 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
76	70, 75	pncan2d 11649	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
77	15, 14	addcomd 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
79	14, 15, 78	mvrraddd 11702	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  ⟨cop 4654  ⟨cotp 4656  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  ⟨“cs1 14643   substr csubstr 14688   prefix cpfx 14718   splice csplice 14797  Basecbs 17258  SymGrpcsymg 19410  toCycctocyc 33099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-csh 14837  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-efmnd 18904  df-symg 19411  df-tocyc 33100

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem7  33125