Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem3 31395
Description: Lemma for cycpmco2 31400. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem3 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4013 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
2 cycpmco2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
3 cycpmco2.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑉)
4 cycpmco2.c . . . . . . . . 9 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5 cycpmco2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
74, 5, 6tocycf 31384 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
98fdmd 6611 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
102, 9eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
111, 10sselid 3919 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
12 lencl 14236 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 12295 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15 1cnd 10970 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16 cycpmco2.1 . . . . . . 7 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17 cycpmco2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
18 ovexd 7310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
1917, 18eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ V)
20 cycpmco2.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
2120eldifad 3899 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝐷)
2221s1cld 14308 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23 splval 14464 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
242, 19, 19, 22, 23syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
2516, 24eqtrid 2790 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
2625fveq2d 6778 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27 pfxcl 14390 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29 ccatcl 14277 . . . . . . 7 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
3028, 22, 29syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31 swrdcl 14358 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
3211, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33 ccatlen 14278 . . . . . 6 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
3430, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35 ccatws1len 14325 . . . . . . . 8 ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
3628, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
38 dmeq 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
4037, 38, 39f1eq123d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4140elrab 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4210, 41sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
43 f1cnv 6740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
4442, 43simpl2im 504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
45 f1of 6716 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47 cycpmco2.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
4846, 47ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
49 wrddm 14224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5011, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5148, 50eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52 fzofzp1 13484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5417, 53eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55 pfxlen 14396 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5611, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5756oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
5836, 57eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59 nn0fz0 13354 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6013, 59sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61 swrdlen 14360 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
6211, 54, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
6358, 62oveq12d 7293 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
6426, 34, 633eqtrd 2782 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65 fz0ssnn0 13351 . . . . . . . . 9 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
6665, 54sselid 3919 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
6766nn0zd 12424 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
6867peano2zd 12429 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
6968zcnd 12427 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
7066nn0cnd 12295 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7169, 14, 70addsubassd 11352 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
7270, 15, 14addassd 10997 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
7372oveq1d 7290 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
7464, 71, 733eqtr2d 2784 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
7515, 14addcld 10994 . . . 4 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
7670, 75pncan2d 11334 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
7715, 14addcomd 11177 . . 3 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
7874, 76, 773eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
7914, 15, 78mvrraddd 11387 1 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  cdif 3884  cop 4567  cotp 4569  ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590  wf 6429  1-1wf1 6430  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  cmin 11205  0cn0 12233  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300   substr csubstr 14353   prefix cpfx 14383   splice csplice 14462  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974  toCycctocyc 31373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-csh 14502  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975  df-tocyc 31374
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  31396  cycpmco2lem5  31397  cycpmco2lem7  31399
  Copyright terms: Public domain W3C validator