Theorem cycpmco2lem3 33479

Description: Lemma for cycpmco2 33484. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem3	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4037	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
2		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
3		cycpmco2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		cycpmco2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5		cycpmco2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	4, 5, 6	tocycf 33468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	8	fdmd 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	2, 9	eleqtrd 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	1, 10	sselid 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
12		lencl 14590	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12585	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15		1cnd 11220	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		cycpmco2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17		cycpmco2.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
18		ovexd 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
19	17, 18	eqeltrid 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
20		cycpmco2.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
21	20	eldifad 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
22	21	s1cld 14662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23		splval 14812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
24	2, 19, 19, 22, 23	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
25	16, 24	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
26	25	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27		pfxcl 14739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
28	11, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29		ccatcl 14631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
30	28, 22, 29	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31		swrdcl 14705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
32	11, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33		ccatlen 14632	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
34	30, 32, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35		ccatws1len 14680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
36	28, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
38		dmeq 5898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
40	37, 38, 39	f1eq123d 6819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	elrab 3653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
42	10, 41	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
43		f1cnv 6852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44	42, 43	simpl2im 513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
45		f1of 6827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
48	46, 47	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
49		wrddm 14578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	11, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
51	48, 50	eleqtrd 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52		fzofzp1 13812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54	17, 53	eqeltrid 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55		pfxlen 14745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	11, 54, 55	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
57	56	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
58	36, 57	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59		nn0fz0 13672	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	13, 59	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61		swrdlen 14707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
62	11, 54, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	58, 62	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
64	26, 34, 63	3eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65		fz0ssnn0 13669	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
66	65, 54	sselid 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
67	66	nn0zd 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
68	67	peano2zd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
70	66	nn0cnd 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
71	69, 14, 70	addsubassd 11607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
72	70, 15, 14	addassd 11249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
73	72	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
74	64, 71, 73	3eqtr2d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
75	15, 14	addcld 11246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
76	70, 75	pncan2d 11589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
77	15, 14	addcomd 11430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
79	14, 15, 78	mvrraddd 11644	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  ⟨cop 4600  ⟨cotp 4602  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   − cmin 11459  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   ++ cconcat 14627  ⟨“cs1 14654   substr csubstr 14700   prefix cpfx 14732   splice csplice 14810  Basecbs 17294  SymGrpcsymg 19470  toCycctocyc 33457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-splice 14811  df-csh 14852  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-tset 17354  df-efmnd 18959  df-symg 19471  df-tocyc 33458

This theorem is used by:  cycpmco2lem4  33480  cycpmco2lem5  33481  cycpmco2lem7  33483