Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem3 30765
 Description: Lemma for cycpmco2 30770. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem3 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4056 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
2 cycpmco2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
3 cycpmco2.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑉)
4 cycpmco2.c . . . . . . . . 9 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5 cycpmco2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
74, 5, 6tocycf 30754 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
98fdmd 6518 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
102, 9eleqtrd 2915 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
111, 10sseldi 3965 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
12 lencl 13877 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 11951 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15 1cnd 10630 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16 cycpmco2.1 . . . . . . 7 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17 cycpmco2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
18 ovexd 7185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
1917, 18eqeltrid 2917 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ V)
20 cycpmco2.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
2120eldifad 3948 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝐷)
2221s1cld 13951 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23 splval 14107 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
242, 19, 19, 22, 23syl13anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
2516, 24syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
2625fveq2d 6669 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27 pfxcl 14033 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29 ccatcl 13920 . . . . . . 7 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
3028, 22, 29syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31 swrdcl 14001 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
3211, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33 ccatlen 13921 . . . . . 6 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
3430, 32, 33syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35 ccatws1len 13968 . . . . . . . 8 ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
3628, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
38 dmeq 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39 eqidd 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
4037, 38, 39f1eq123d 6603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4140elrab 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4210, 41sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
43 f1cnv 6633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
4442, 43simpl2im 506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
45 f1of 6610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47 cycpmco2.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
4846, 47ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
49 wrddm 13862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5011, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5148, 50eleqtrd 2915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52 fzofzp1 13128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5417, 53eqeltrid 2917 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55 pfxlen 14039 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5611, 54, 55syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5756oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
5836, 57eqtrd 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59 nn0fz0 12999 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6013, 59sylib 220 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61 swrdlen 14003 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
6211, 54, 60, 61syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
6358, 62oveq12d 7168 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
6426, 34, 633eqtrd 2860 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65 fz0ssnn0 12996 . . . . . . . . 9 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
6665, 54sseldi 3965 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
6766nn0zd 12079 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
6867peano2zd 12084 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
6968zcnd 12082 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
7066nn0cnd 11951 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7169, 14, 70addsubassd 11011 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
7270, 15, 14addassd 10657 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
7372oveq1d 7165 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
7464, 71, 733eqtr2d 2862 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
7515, 14addcld 10654 . . . 4 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
7670, 75pncan2d 10993 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
7715, 14addcomd 10836 . . 3 (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
7874, 76, 773eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
7914, 15, 78mvrraddd 11046 1 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933  ⟨cop 4567  ⟨cotp 4569  ◡ccnv 5549  dom cdm 5550  ran crn 5551  ⟶wf 6346  –1-1→wf1 6347  –1-1-onto→wf1o 6349  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864  ℕ0cn0 11891  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13916  ⟨“cs1 13943   substr csubstr 13996   prefix cpfx 14026   splice csplice 14105  Basecbs 16477  SymGrpcsymg 18489  toCycctocyc 30743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-splice 14106  df-csh 14145  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-tset 16578  df-efmnd 18028  df-symg 18490  df-tocyc 30744 This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  30766  cycpmco2lem5  30767  cycpmco2lem7  30769
 Copyright terms: Public domain W3C validator