Theorem cycpmco2lem3 33268

Description: Lemma for cycpmco2 33273. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem3	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cycpmco2lem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4031	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
2		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
3		cycpmco2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		cycpmco2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
5		cycpmco2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	4, 5, 6	tocycf 33257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	8	fdmd 6696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	2, 9	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	1, 10	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
12		lencl 14539	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12537	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15		1cnd 11168	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		cycpmco2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
17		cycpmco2.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
18		ovexd 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
19	17, 18	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
20		cycpmco2.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
21	20	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
22	21	s1cld 14610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
23		splval 14757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
24	2, 19, 19, 22, 23	syl13anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
25	16, 24	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
26	25	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
27		pfxcl 14684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
28	11, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
29		ccatcl 14580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
30	28, 22, 29	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
31		swrdcl 14652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
32	11, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
33		ccatlen 14581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
34	30, 32, 33	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
35		ccatws1len 14627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
36	28, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
37		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
38		dmeq 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
39		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
40	37, 38, 39	f1eq123d 6792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	elrab 3649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
42	10, 41	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
43		f1cnv 6825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44	42, 43	simpl2im 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
45		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
47		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
48	46, 47	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
49		wrddm 14527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	11, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
51	48, 50	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
52		fzofzp1 13763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54	17, 53	eqeltrid 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55		pfxlen 14690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	11, 54, 55	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
57	56	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
58	36, 57	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
59		nn0fz0 13623	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	13, 59	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61		swrdlen 14654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
62	11, 54, 60, 61	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	58, 62	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
64	26, 34, 63	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65		fz0ssnn0 13620	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
66	65, 54	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
67	66	nn0zd 12586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
68	67	peano2zd 12673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
70	66	nn0cnd 12537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
71	69, 14, 70	addsubassd 11555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
72	70, 15, 14	addassd 11197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
73	72	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
74	64, 71, 73	3eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
75	15, 14	addcld 11194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
76	70, 75	pncan2d 11537	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
77	15, 14	addcomd 11378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
79	14, 15, 78	mvrraddd 11592	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ⟨cop 4585  ⟨cotp 4587  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643  ran crn 5644  ⟶wf 6511  –1-1→wf1 6512  –1-1-onto→wf1o 6514  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   − cmin 11407  ℕ₀cn0 12474  ...cfz 13505  ..^cfzo 13652  ♯chash 14336  Word cword 14519   ++ cconcat 14576  ⟨“cs1 14602   substr csubstr 14647   prefix cpfx 14677   splice csplice 14755  Basecbs 17235  SymGrpcsymg 19399  toCycctocyc 33246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-hash 14337  df-word 14520  df-concat 14577  df-s1 14603  df-substr 14648  df-pfx 14678  df-splice 14756  df-csh 14795  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-efmnd 18893  df-symg 19400  df-tocyc 33247

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  33269  cycpmco2lem5  33270  cycpmco2lem7  33272