MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnv 6332
Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnv (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv
StepHypRef Expression
1 fnrel 6167 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2 dfrel2 5766 . . . . . 6 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
3 fneq1 6157 . . . . . . 7 (𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐴))
43biimprd 239 . . . . . 6 (𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐴))
52, 4sylbi 208 . . . . 5 (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐴))
61, 5mpcom 38 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐴)
76anim2i 610 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐴) → (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐴))
87ancoms 450 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐵) → (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐴))
9 dff1o4 6328 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐵))
10 dff1o4 6328 . 2 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐴))
118, 9, 103imtr4i 283 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  ccnv 5276  Rel wrel 5282   Fn wfn 6063  1-1-ontowf1o 6067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-br 4810  df-opab 4872  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075
This theorem is referenced by:  f1ocnvb  6333  f1orescnv  6335  f1imacnv  6336  f1cnv  6343  f1ococnv1  6348  f1oresrab  6585  f1ocnvfv2  6725  f1ocnvdm  6732  f1ocnvfvrneq  6733  fcof1oinvd  6740  fveqf1o  6749  isocnv  6772  weniso  6796  f1ofveu  6837  f1oexrnex  7313  f1oexbi  7314  fnwelem  7494  oacomf1o  7850  mapsnf1o3  8111  ener  8207  en0  8223  en1  8227  omf1o  8270  domss2  8326  mapen  8331  ssenen  8341  f1fi  8460  f1opwfi  8477  mapfienlem2  8518  mapfienlem3  8519  mapfien  8520  mapfien2  8521  ordiso2  8627  unxpwdom2  8700  cantnfle  8783  cantnfp1lem3  8792  cantnflem1b  8798  cantnflem1d  8800  cantnflem1  8801  wemapwe  8809  oef1o  8810  cnfcomlem  8811  cnfcom  8812  cnfcom2lem  8813  cnfcom2  8814  cnfcom3lem  8815  cnfcom3  8816  infxpenlem  9087  infxpenc  9092  dfac8b  9105  acndom  9125  acndom2  9128  iunfictbso  9188  dfac12lem2  9219  infpssrlem3  9380  infpssrlem4  9381  fin1a2lem7  9481  axcc3  9513  ttukeylem7  9590  fpwwe2lem6  9710  fpwwe2lem7  9711  pwfseqlem5  9738  axdc4uzlem  12990  seqf1olem1  13047  seqf1olem2  13048  hashfacen  13439  seqcoll  13449  seqcoll2  13450  cnrecnv  14192  isercolllem2  14683  isercoll  14685  summolem3  14732  summolem2a  14733  ackbijnn  14846  prodmolem3  14948  prodmolem2a  14949  sadcaddlem  15462  sadadd2lem  15464  sadadd3  15466  sadaddlem  15471  sadasslem  15475  sadeq  15477  phimullem  15765  eulerthlem2  15768  unbenlem  15893  1arith2  15913  xpsbas  16502  xpsadd  16504  xpsmul  16505  xpssca  16506  xpsvsca  16507  xpsless  16508  xpsle  16509  setcinv  17007  catcisolem  17023  xpsmnd  17598  mhmf1o  17613  xpsgrp  17803  ghmf1o  17956  symggrp  18085  symginv  18087  f1omvdcnv  18129  f1omvdconj  18131  pmtrfconj  18151  odngen  18258  gsumval3eu  18571  gsumval3  18574  gsumzf1o  18579  lmhmf1o  19318  fidomndrnglem  19580  psrass1lem  19651  coe1sfi  19856  znleval  20175  zntoslem  20177  znunithash  20185  mdetleib2  20671  basqtop  21794  tgqtop  21795  reghmph  21876  indishmph  21881  cmphaushmeo  21883  ordthmeolem  21884  txhmeo  21886  xpstps  21893  xpstopnlem2  21894  qtopf1  21899  ufldom  22045  symgtgp  22184  tgpconncompeqg  22194  xpsdsfn  22461  xpsxmet  22464  xpsdsval  22465  xpsmet  22466  imasf1obl  22572  xpsxms  22618  xpsms  22619  iccpnfcnv  23022  xrhmeo  23024  ovoliunlem2  23561  vitalilem2  23667  mbfimaopnlem  23713  dvcnvlem  24030  dvcnv  24031  dvcnvrelem2  24072  dvcnvre  24073  efif1olem4  24583  eff1olem  24586  logrn  24596  logf1o  24602  dvlog  24688  asinrebnd  24919  sqff1o  25199  lgsqrlem4  25365  cnvmot  25727  f1otrg  26042  f1otrge  26043  cnvunop  29168  unopadj  29169  fresf1o  29818  fmptco1f1o  29819  padct  29881  fcobij  29884  fsumiunle  29959  abliso  30078  madjusmdetlem2  30276  madjusmdetlem4  30278  tpr2rico  30340  esumiun  30538  reprpmtf1o  31087  derangenlem  31533  subfacp1lem4  31545  cvmfolem  31641  cvmliftlem6  31652  fv1stcnv  32055  fv2ndcnv  32056  f1ocan1fv  33876  f1ocan2fv  33877  ismtycnv  33955  ismtyima  33956  ismtyhmeolem  33957  ismtybndlem  33959  rngoisocnv  34134  lautcnv  35978  cdlemk45  36835  cdlemn9  37093  eldioph2  37935  kelac1  38242  brco2f1o  38936  brco3f1o  38937  sge0f1o  41168  mgmhmf1o  42388
  Copyright terms: Public domain W3C validator