MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dmex 7970
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 5290. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 6798 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21frnd 6736 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
3 ssexg 5328 . . . . 5 ((ran 𝐹𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
42, 3sylan 578 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
54ex 411 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
6 f1cnv 6867 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 6850 . . . 4 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
9 focdmex 7969 . . 3 (ran 𝐹 ∈ V → (𝐹:ran 𝐹onto𝐴𝐴 ∈ V))
105, 8, 9syl6ci 71 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 ∈ V))
1110imp 405 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3947  ccnv 5681  ran crn 5683  1-1wf1 6551  ontowfo 6552  1-1-ontowf1o 6553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562
This theorem is referenced by:  f1ovv  7971  f1domg  9003  ordtypelem10  9570  oiexg  9578  inf3lem7  9677  pwfseqlem4  10705  pwfseqlem5  10706  grothomex  10872  gsumzf1o  19910  dprdf1o  20032  f1lindf  21820  tsmsf1o  24140  diophrw  42416
  Copyright terms: Public domain W3C validator