Theorem f1dmex 7990

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 5235. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6797	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6737	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		ssexg 5285	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
5	4	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
6		f1cnv 6868	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶1-1onto𝐴)
7		f1ofo 6851	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹⟶1-1onto𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶onto𝐴)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶onto𝐴)
9		focdmex 7989	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (◡𝐹:ran 𝐹⟶onto𝐴 → 𝐴 ∈ V))
10	5, 8, 9	syl6ci 72	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
11	10	imp 412	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  ⟶1-1wf1 6552  ⟶ontowfo 6553  ⟶1-1ontowf1o 6554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563

This theorem is used by:  f1ovv  7991  f1domg  9023  ordtypelem10  9545  oiexg  9553  inf3lem7  9659  pwfseqlem4  10771  pwfseqlem5  10772  grothomex  10938  gsumzf1o  20153  dprdf1o  20275  f1lindf  22155  tsmsf1o  24491  rncardr1prc  35849  onvf1od  36034  onprcf1acwevd  36046  onf1oracwevd  36051  mh-inf3sn  37507  diophrw  43961