MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dmex 7966
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 5289. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 6798 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21frnd 6735 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
3 ssexg 5327 . . . . 5 ((ran 𝐹𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
42, 3sylan 578 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
54ex 411 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
6 f1cnv 6868 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 6851 . . . 4 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
9 focdmex 7965 . . 3 (ran 𝐹 ∈ V → (𝐹:ran 𝐹onto𝐴𝐴 ∈ V))
105, 8, 9syl6ci 71 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 ∈ V))
1110imp 405 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  Vcvv 3473  wss 3949  ccnv 5681  ran crn 5683  1-1wf1 6550  ontowfo 6551  1-1-ontowf1o 6552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561
This theorem is referenced by:  f1ovv  7967  f1domg  8999  ordtypelem10  9558  oiexg  9566  inf3lem7  9665  pwfseqlem4  10693  pwfseqlem5  10694  grothomex  10860  gsumzf1o  19874  dprdf1o  19996  f1lindf  21763  tsmsf1o  24069  diophrw  42210
  Copyright terms: Public domain W3C validator