MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dmex 7980
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 5285. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 6805 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21frnd 6745 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
3 ssexg 5329 . . . . 5 ((ran 𝐹𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
42, 3sylan 580 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
54ex 412 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
6 f1cnv 6873 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 6856 . . . 4 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
9 focdmex 7979 . . 3 (ran 𝐹 ∈ V → (𝐹:ran 𝐹onto𝐴𝐴 ∈ V))
105, 8, 9syl6ci 71 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 ∈ V))
1110imp 406 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  ccnv 5688  ran crn 5690  1-1wf1 6560  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  f1ovv  7981  f1domg  9011  ordtypelem10  9565  oiexg  9573  inf3lem7  9672  pwfseqlem4  10700  pwfseqlem5  10701  grothomex  10867  gsumzf1o  19945  dprdf1o  20067  f1lindf  21860  tsmsf1o  24169  diophrw  42747
  Copyright terms: Public domain W3C validator