Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem2 33130
Description: Lemma for cycpmco2 33136. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem2 (𝜑 → (𝑈𝐸) = 𝐼)

Proof of Theorem cycpmco2lem2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
2 cycpmco2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
3 cycpmco2.e . . . . . . 7 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
4 ovexd 7466 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
53, 4eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ V)
6 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
76eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
87s1cld 14638 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
9 splval 14786 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
102, 5, 5, 8, 9syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
111, 10eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
1211fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐸) = ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘𝐸))
13 ssrab2 4090 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
14 cycpmco2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑉)
15 cycpmco2.c . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
16 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1815, 16, 17tocycf 33120 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
2019fdmd 6747 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
212, 20eleqtrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
2213, 21sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
23 pfxcl 14712 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
25 ccatcl 14609 . . . . 5 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
2624, 8, 25syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
27 swrdcl 14680 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
2822, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
29 fz0ssnn0 13659 . . . . . . 7 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
31 dmeq 5917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
32 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
3330, 31, 32f1eq123d 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
3433elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
3521, 34sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
3635simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
37 f1cnv 6873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
38 f1of 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
40 cycpmco2.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
4139, 40ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
42 wrddm 14556 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4322, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4441, 43eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
45 fzofzp1 13800 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
473, 46eqeltrid 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4829, 47sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
49 fzonn0p1 13778 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
51 ccatws1len 14655 . . . . . . . 8 ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
5222, 23, 513syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
53 pfxlen 14718 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5422, 47, 53syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
5554oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
5652, 55eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
5756oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))) = (0..^(𝐸 + 1)))
5850, 57eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))))
59 ccatval1 14612 . . . 4 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)))) → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘𝐸) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸))
6026, 28, 58, 59syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘𝐸) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸))
6148nn0zd 12637 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
62 elfzomin 13773 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ (𝐸..^(𝐸 + 1)))
6361, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (𝐸..^(𝐸 + 1)))
64 s1len 14641 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1)
6654, 65oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
6754, 66oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸))..^((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩))) = (𝐸..^(𝐸 + 1)))
6863, 67eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸))..^((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩))))
69 ccatval2 14613 . . . 4 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸))..^((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))) → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸) = (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))))
7024, 8, 68, 69syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸) = (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))))
7112, 60, 703eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐸) = (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))))
7254oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸))) = (𝐸𝐸))
7348nn0cnd 12587 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7473subidd 11606 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐸) = 0)
7572, 74eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸))) = 0)
7675fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))) = (⟨“𝐼”⟩‘0))
77 s1fv 14645 . . 3 (𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊) → (⟨“𝐼”⟩‘0) = 𝐼)
786, 77syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩‘0) = 𝐼)
7971, 76, 783eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝑈𝐸) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cop 4637  cotp 4639  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630   substr csubstr 14675   prefix cpfx 14705   splice csplice 14784  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-csh 14824  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895  df-symg 19402  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  33132  cycpmco2lem5  33133  cycpmco2lem6  33134  cycpmco2  33136
  Copyright terms: Public domain W3C validator