Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem2 32025
Description: Lemma for cycpmco2 32031. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = 𝐼)

Proof of Theorem cycpmco2lem2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.1 . . . . 5 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
2 cycpmco2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
3 cycpmco2.e . . . . . . 7 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
4 ovexd 7393 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
53, 4eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
6 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
76eldifad 3923 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
87s1cld 14497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
9 splval 14645 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
102, 5, 5, 8, 9syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
111, 10eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
1211fveq1d 6845 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜πΈ))
13 ssrab2 4038 . . . . . . 7 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
14 cycpmco2.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
15 cycpmco2.c . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
16 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
1815, 16, 17tocycf 32015 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
2019fdmd 6680 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
212, 20eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2213, 21sselid 3943 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
23 pfxcl 14571 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
25 ccatcl 14468 . . . . 5 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
2624, 8, 25syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
27 swrdcl 14539 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
2822, 27syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
29 fz0ssnn0 13542 . . . . . . 7 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
31 dmeq 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
32 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
3330, 31, 32f1eq123d 6777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3433elrab 3646 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3521, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3635simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
37 f1cnv 6809 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
38 f1of 6785 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
40 cycpmco2.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
4139, 40ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
42 wrddm 14415 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4322, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4441, 43eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
45 fzofzp1 13675 . . . . . . . . 9 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
473, 46eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
4829, 47sselid 3943 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
49 fzonn0p1 13655 . . . . . 6 (𝐸 ∈ β„•0 β†’ 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
51 ccatws1len 14514 . . . . . . . 8 ((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
5222, 23, 513syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
53 pfxlen 14577 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
5422, 47, 53syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
5554oveq1d 7373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
5652, 55eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = (𝐸 + 1))
5756oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))) = (0..^(𝐸 + 1)))
5850, 57eleqtrrd 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))))
59 ccatval1 14471 . . . 4 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))) β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜πΈ) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜πΈ))
6026, 28, 58, 59syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜πΈ) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜πΈ))
6148nn0zd 12530 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
62 elfzomin 13650 . . . . . 6 (𝐸 ∈ β„€ β†’ 𝐸 ∈ (𝐸..^(𝐸 + 1)))
6361, 62syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐸..^(𝐸 + 1)))
64 s1len 14500 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = 1
6564a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = 1)
6654, 65oveq12d 7376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = (𝐸 + 1))
6754, 66oveq12d 7376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))..^((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))) = (𝐸..^(𝐸 + 1)))
6863, 67eleqtrrd 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))..^((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))))
69 ccatval2 14472 . . . 4 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))..^((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))) β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜πΈ) = (βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€˜(𝐸 βˆ’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)))))
7024, 8, 68, 69syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜πΈ) = (βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€˜(𝐸 βˆ’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)))))
7112, 60, 703eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = (βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€˜(𝐸 βˆ’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)))))
7254oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))) = (𝐸 βˆ’ 𝐸))
7348nn0cnd 12480 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
7473subidd 11505 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐸) = 0)
7572, 74eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))) = 0)
7675fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€˜(𝐸 βˆ’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)))) = (βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€˜0))
77 s1fv 14504 . . 3 (𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
786, 77syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
7971, 76, 783eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  βŸ¨cop 4593  βŸ¨cotp 4595  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   ++ cconcat 14464  βŸ¨β€œcs1 14489   substr csubstr 14534   prefix cpfx 14564   splice csplice 14643  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-splice 14644  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  32027  cycpmco2lem5  32028  cycpmco2lem6  32029  cycpmco2  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator