Theorem cycpmco2lem2 33220

Description: Lemma for cycpmco2 33226. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem2	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)

Proof of Theorem cycpmco2lem2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
2		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
3		cycpmco2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
4		ovexd 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
5	3, 4	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
6		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
7	6	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
8	7	s1cld 14539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
9		splval 14686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
10	2, 5, 5, 8, 9	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
11	1, 10	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
12	11	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘𝐸))
13		ssrab2 4034	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
14		cycpmco2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
15		cycpmco2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
16		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18	15, 16, 17	tocycf 33210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
20	19	fdmd 6680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
21	2, 20	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
22	13, 21	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
23		pfxcl 14613	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
25		ccatcl 14509	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
26	24, 8, 25	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
27		swrdcl 14581	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
28	22, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
29		fz0ssnn0 13550	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
31		dmeq 5860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
32		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
33	30, 31, 32	f1eq123d 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
34	33	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
35	21, 34	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
36	35	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
37		f1cnv 6806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
38		f1of 6782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
40		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
41	39, 40	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
42		wrddm 14456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
43	22, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
44	41, 43	eleqtrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
45		fzofzp1 13692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
47	3, 46	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
48	29, 47	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
49		fzonn0p1 13670	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
51		ccatws1len 14556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
52	22, 23, 51	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
53		pfxlen 14619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
54	22, 47, 53	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
55	54	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
56	52, 55	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
57	56	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))) = (0..^(𝐸 + 1)))
58	50, 57	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))))
59		ccatval1 14512	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)))) → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘𝐸) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸))
60	26, 28, 58, 59	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘𝐸) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸))
61	48	nn0zd 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
62		elfzomin 13665	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ (𝐸..^(𝐸 + 1)))
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐸..^(𝐸 + 1)))
64		s1len 14542	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1)
66	54, 65	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
67	54, 66	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸))..^((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩))) = (𝐸..^(𝐸 + 1)))
68	63, 67	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸))..^((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩))))
69		ccatval2 14513	. . . 4 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸))..^((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))) → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸) = (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))))
70	24, 8, 68, 69	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘𝐸) = (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))))
71	12, 60, 70	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))))
72	54	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸))) = (𝐸 − 𝐸))
73	48	nn0cnd 12476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
74	73	subidd 11492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
75	72, 74	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸))) = 0)
76	75	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩‘(𝐸 − (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))) = (⟨“𝐼”⟩‘0))
77		s1fv 14546	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊) → (⟨“𝐼”⟩‘0) = 𝐼)
78	6, 77	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩‘0) = 𝐼)
79	71, 76, 78	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  ⟨cop 4588  ⟨cotp 4590  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   ++ cconcat 14505  ⟨“cs1 14531   substr csubstr 14576   prefix cpfx 14606   splice csplice 14684  Basecbs 17148  SymGrpcsymg 19310  toCycctocyc 33199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-csh 14724  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-tset 17208  df-efmnd 18806  df-symg 19311  df-tocyc 33200

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  33222  cycpmco2lem5  33223  cycpmco2lem6  33224  cycpmco2  33226