MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1domfi 9222
Description: If the codomain of a one-to-one function is finite, then the function's domain is dominated by its codomain. This theorem is proved without using the Axiom of Replacement or the Axiom of Power Sets (unlike f1domg 9013). (Contributed by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1domfi ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1domfi
StepHypRef Expression
1 f1cnv 6871 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
2 f1f 6803 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
32frnd 6743 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
4 ssfi 9214 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
53, 4sylan2 593 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
6 f1ofn 6848 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹 Fn ran 𝐹)
7 fnfi 9219 . . . . 5 ((𝐹 Fn ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
86, 7sylan 580 . . . 4 ((𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴 ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
91, 5, 8syl2an2 686 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
10 cnvfi 9217 . . . 4 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
11 f1rel 6806 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Rel 𝐹)
12 dfrel2 6208 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
1311, 12sylib 218 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 = 𝐹)
1413eleq1d 2825 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
1514biimpac 478 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
1610, 15sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
179, 16sylancom 588 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
18 f1dom3g 9009 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
19183expib 1122 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵))
2017, 19mpcom 38 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950   class class class wbr 5142  ccnv 5683  ran crn 5685  Rel wrel 5689   Fn wfn 6555  1-1wf1 6557  1-1-ontowf1o 6559  cdom 8984  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  ssdomfi  9237
  Copyright terms: Public domain W3C validator