MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1domfi 9186
Description: If the codomain of a one-to-one function is finite, then the function's domain is dominated by its codomain. This theorem is proved without using the Axiom of Replacement or the Axiom of Power Sets (unlike f1domg 8970). (Contributed by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1domfi ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1domfi
StepHypRef Expression
1 f1cnv 6857 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
2 f1f 6787 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
32frnd 6725 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
4 ssfi 9175 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
53, 4sylan2 593 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
6 f1ofn 6834 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹 Fn ran 𝐹)
7 fnfi 9183 . . . . 5 ((𝐹 Fn ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
86, 7sylan 580 . . . 4 ((𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴 ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
91, 5, 8syl2an2 684 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
10 cnvfi 9182 . . . 4 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
11 f1rel 6790 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Rel 𝐹)
12 dfrel2 6188 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 = 𝐹)
1413eleq1d 2818 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
1514biimpac 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
1610, 15sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
179, 16sylancom 588 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
18 f1dom3g 8965 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
19183expib 1122 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵))
2017, 19mpcom 38 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3948   class class class wbr 5148  ccnv 5675  ran crn 5677  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  1-1wf1 6540  1-1-ontowf1o 6542  cdom 8939  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  ssdomfi  9201
  Copyright terms: Public domain W3C validator