Theorem cycpmco2lem5 33087

Description: Lemma for cycpmco2 33090. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem5.1	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((♯‘𝑈) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem5	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem5

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2lem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
3		cycpmco2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		cycpmco2.w	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
5		cycpmco2.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
6		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
8		cycpmco2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9	8	eldifad 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10	9	s1cld 14568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
11		splval 14716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
12	4, 7, 7, 10, 11	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
13	3, 12	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14	13	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
15		ssrab2 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
16		cycpmco2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
17		cycpmco2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
18		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
19		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20	17, 18, 19	tocycf 33074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
22	21	fdmd 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
23	4, 22	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
24	15, 23	sselid 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
25		pfxcl 14642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
27		ccatcl 14539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28	26, 10, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
29		swrdcl 14610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30	24, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
31		ccatlen 14540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
33		ccatws1len 14585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
34	26, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
35		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
36		dmeq 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
37		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
39	38	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
40	23, 39	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
42		f1cnv 6824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
47	45, 46	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
48		wrddm 14486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
49	24, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	47, 49	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
51		fzofzp1 13725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	5, 52	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54		pfxlen 14648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
55	24, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	55	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
57	34, 56	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
58		lencl 14498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59	24, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
60		nn0fz0 13586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61	59, 60	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62		swrdlen 14612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	24, 53, 61, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
64	57, 63	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65	14, 32, 64	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
66		fz0ssnn0 13583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
67	66, 53	sselid 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
68	67	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
69	68	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
71	59	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
72	67	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73	70, 71, 72	addsubassd 11553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
74		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75	72, 74, 71	addassd 11196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
76	75	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
77	65, 73, 76	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
78	74, 71	addcld 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
79	72, 78	pncan2d 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
80	74, 71	addcomd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
81	77, 79, 80	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
82		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝐸 → ((♯‘𝑊) + 1) = (𝐸 + 1))
83	81, 82	sylan9eq 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (♯‘𝑈) = (𝐸 + 1))
84	83	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = ((𝐸 + 1) − 1))
85	72, 74	pncand 11534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) − 1) = 𝐸)
86	85	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((𝐸 + 1) − 1) = 𝐸)
87	84, 86	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = 𝐸)
88	87	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = (𝑈‘𝐸))
89		cycpmco2lem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((♯‘𝑈) − 1))
90	89	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)))
91	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2f1 33081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
92		f1f1orn 6811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
94		ssun1 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
95	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2rn 33082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
96	94, 95	sseqtrrid 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
97	96	sselda 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
98		f1ocnvfv2 7252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
99	93, 97, 98	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
100	1, 99	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
101	90, 100	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = 𝐾)
102	101	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = 𝐾)
103	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2lem2 33084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
104	103	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
105	88, 102, 104	3eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → 𝐾 = 𝐼)
106	8	eldifbd 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
107	106	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
108	105, 107	eqneltrd 2848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ¬ 𝐾 ∈ ran 𝑊)
109	2, 108	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
110		splcl 14717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
111	24, 10, 110	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
112	3, 111	eqeltrid 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
113		nn0p1gt0 12471	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
114	59, 113	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
115	114, 81	breqtrrd 5135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑈))
116		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
117	17, 16, 112, 91, 115, 116	cycpmfv2 33071	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = (𝑈‘0))
118	117	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = (𝑈‘0))
119		f1f 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
120	41, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
121	120	frnd 6696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
122	16, 121	ssexd 5279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ∈ V)
123	46	ne0d 4305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ≠ ∅)
124		hashgt0 14353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝑊 ∈ V ∧ ran 𝑊 ≠ ∅) → 0 < (♯‘ran 𝑊))
125	122, 123, 124	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘ran 𝑊))
126	4	dmexd 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ∈ V)
127		hashf1rn 14317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝑊 ∈ V ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → (♯‘𝑊) = (♯‘ran 𝑊))
128	126, 41, 127	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘ran 𝑊))
129	125, 128	breqtrrd 5135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
130		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
131	17, 16, 24, 41, 129, 130	cycpmfv2 33071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘0))
132	131	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘0))
133	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
134	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2lem3 33085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
135	72, 74	addcomd 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) = (1 + 𝐸))
136	135	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
137	71, 74	subcld 11533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
138	137, 72, 74	nppcan3d 11560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
139	71, 74	npcand 11537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
140	136, 138, 139	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)) = (♯‘𝑊))
141	134, 140	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)))
142	141	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)))
143	133, 142	fveq12d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1))))
144	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
145		nn0fz0 13586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
146	67, 145	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
147	146	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
148	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
149	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
150	71	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
151		1cnd 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 1 ∈ ℂ)
152	72	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ ℂ)
153	150, 151, 152	sub32d 11565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) = (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1))
154		fznn0sub 13517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
155	53, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
156	155	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
157		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (♯‘𝑊) ≠ 𝐸)
158	150, 152, 156, 157	subne0nn 32746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ)
159		fzo0end 13719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
160	158, 159	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
161	153, 160	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
162		s1len 14571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
163	162	eqcomi 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (♯‘⟨“𝐼”⟩)
164	163	oveq2i 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 + 1) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩))
165	164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝐸 + 1) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))
166	144, 147, 148, 149, 161, 165	splfv3 32880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1))) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)))
167	137, 72	npcand 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸) = ((♯‘𝑊) − 1))
168	167	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
169	168	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
170	143, 166, 169	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
171	170	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
172	13	fveq1d 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘0) = ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0))
173		nn0p1nn 12481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
174	67, 173	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
175		lbfzo0 13660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)) ↔ (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
176	174, 175	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
177	57	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))) = (0..^(𝐸 + 1)))
178	176, 177	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))))
179		ccatval1 14542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)))) → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0))
180	28, 30, 178, 179	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0))
181		elfzonn0 13668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
182	50, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
183		nn0p1nn 12481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
185	5, 184	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
186		lbfzo0 13660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐸) ↔ 𝐸 ∈ ℕ)
187	185, 186	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝐸))
188	55	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸))) = (0..^𝐸))
189	187, 188	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸))))
190		ccatval1 14542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))) → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0) = ((𝑊 prefix 𝐸)‘0))
191	26, 10, 189, 190	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0) = ((𝑊 prefix 𝐸)‘0))
192		nn0p1gt0 12471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → 0 < ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
193	182, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
194	193, 5	breqtrrdi 5149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
195	194	gt0ne0d 11742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
196		fzne1 13565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐸 ≠ 0) → 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)))
197	53, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)))
198		0p1e1 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
199	198	oveq1i 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)) = (1...(♯‘𝑊))
200	197, 199	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
201		pfxfv0 14657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐸)‘0) = (𝑊‘0))
202	24, 200, 201	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸)‘0) = (𝑊‘0))
203	180, 191, 202	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (𝑊‘0))
204	172, 203	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘0) = (𝑊‘0))
205	204	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘0) = (𝑊‘0))
206	132, 171, 205	3eqtr4rd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘0) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
207	118, 206	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
208	109, 207	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
209	101	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
210	101	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
211	208, 209, 210	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912  ∅c0 4296  {csn 4589  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635   splice csplice 14714  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19299  toCycctocyc 33063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715  df-csh 14754  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18796  df-symg 19300  df-tocyc 33064

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33090