Theorem cycpmco2lem5 33363

Description: Lemma for cycpmco2 33366. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem5.1	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((♯‘𝑈) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem5	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem5

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2lem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
3		cycpmco2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		cycpmco2.w	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
5		cycpmco2.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
6		ovexd 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
8		cycpmco2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9	8	eldifad 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10	9	s1cld 14631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
11		splval 14778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
12	4, 7, 7, 10, 11	syl13anc 1395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
13	3, 12	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14	13	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
15		ssrab2 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
16		cycpmco2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
17		cycpmco2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
18		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
19		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20	17, 18, 19	tocycf 33350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
21	16, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
22	21	fdmd 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
23	4, 22	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
24	15, 23	sselid 3937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
25		pfxcl 14705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
27		ccatcl 14601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28	26, 10, 27	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
29		swrdcl 14673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30	24, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
31		ccatlen 14602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
32	28, 30, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
33		ccatws1len 14648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
34	26, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
35		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
36		dmeq 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
37		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
39	38	elrab 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
40	23, 39	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
42		f1cnv 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44		f1of 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
47	45, 46	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
48		wrddm 14548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
49	24, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	47, 49	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
51		fzofzp1 13784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	5, 52	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54		pfxlen 14711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
55	24, 53, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	55	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
57	34, 56	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
58		lencl 14560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59	24, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
60		nn0fz0 13644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61	59, 60	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62		swrdlen 14675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	24, 53, 61, 62	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
64	57, 63	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65	14, 32, 64	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
66		fz0ssnn0 13641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
67	66, 53	sselid 3937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
68	67	nn0zd 12607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
69	68	peano2zd 12694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
71	59	nn0cnd 12558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
72	67	nn0cnd 12558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73	70, 71, 72	addsubassd 11577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
74		1cnd 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75	72, 74, 71	addassd 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
76	75	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
77	65, 73, 76	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
78	74, 71	addcld 11216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
79	72, 78	pncan2d 11559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
80	74, 71	addcomd 11400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
81	77, 79, 80	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
82		oveq1 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝐸 → ((♯‘𝑊) + 1) = (𝐸 + 1))
83	81, 82	sylan9eq 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (♯‘𝑈) = (𝐸 + 1))
84	83	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = ((𝐸 + 1) − 1))
85	72, 74	pncand 11558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) − 1) = 𝐸)
86	85	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((𝐸 + 1) − 1) = 𝐸)
87	84, 86	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = 𝐸)
88	87	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = (𝑈‘𝐸))
89		cycpmco2lem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((♯‘𝑈) − 1))
90	89	fveq2d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)))
91	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2f1 33357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
92		f1f1orn 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
94		ssun1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
95	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2rn 33358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
96	94, 95	sseqtrrid 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
97	96	sselda 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
98		f1ocnvfv2 7265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
99	93, 97, 98	syl2an2r 697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
100	1, 99	mpdan 699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
101	90, 100	eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = 𝐾)
102	101	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = 𝐾)
103	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2lem2 33360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
104	103	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
105	88, 102, 104	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → 𝐾 = 𝐼)
106	8	eldifbd 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
107	106	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
108	105, 107	eqneltrd 2885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ¬ 𝐾 ∈ ran 𝑊)
109	2, 108	pm2.21dd 198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
110		splcl 14779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
111	24, 10, 110	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
112	3, 111	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
113		nn0p1gt0 12524	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
114	59, 113	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
115	114, 81	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑈))
116		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
117	17, 16, 112, 91, 115, 116	cycpmfv2 33347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = (𝑈‘0))
118	117	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = (𝑈‘0))
119		f1f 6764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
120	41, 119	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
121	120	frnd 6704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
122	16, 121	ssexd 5285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ∈ V)
123	46	ne0d 4297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ≠ ∅)
124		hashgt0 14415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝑊 ∈ V ∧ ran 𝑊 ≠ ∅) → 0 < (♯‘ran 𝑊))
125	122, 123, 124	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘ran 𝑊))
126	4	dmexd 7888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ∈ V)
127		hashf1rn 14379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝑊 ∈ V ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → (♯‘𝑊) = (♯‘ran 𝑊))
128	126, 41, 127	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘ran 𝑊))
129	125, 128	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
130		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
131	17, 16, 24, 41, 129, 130	cycpmfv2 33347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘0))
132	131	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘0))
133	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
134	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2lem3 33361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
135	72, 74	addcomd 11400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) = (1 + 𝐸))
136	135	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
137	71, 74	subcld 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
138	137, 72, 74	nppcan3d 11584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
139	71, 74	npcand 11561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
140	136, 138, 139	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)) = (♯‘𝑊))
141	134, 140	eqtr4d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)))
142	141	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)))
143	133, 142	fveq12d 6878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1))))
144	24	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
145		nn0fz0 13644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
146	67, 145	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
147	146	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
148	53	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
149	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
150	71	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
151		1cnd 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 1 ∈ ℂ)
152	72	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ ℂ)
153	150, 151, 152	sub32d 11589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) = (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1))
154		fznn0sub 13575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
155	53, 154	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
156	155	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
157		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (♯‘𝑊) ≠ 𝐸)
158	150, 152, 156, 157	subne0nn 33079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ)
159		fzo0end 13778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
160	158, 159	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
161	153, 160	eqeltrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
162		s1len 14634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
163	162	eqcomi 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (♯‘⟨“𝐼”⟩)
164	163	oveq2i 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 + 1) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩))
165	164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝐸 + 1) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))
166	144, 147, 148, 149, 161, 165	splfv3 33191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1))) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)))
167	137, 72	npcand 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸) = ((♯‘𝑊) − 1))
168	167	fveq2d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
169	168	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
170	143, 166, 169	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
171	170	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
172	13	fveq1d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘0) = ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0))
173		nn0p1nn 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
174	67, 173	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
175		lbfzo0 13719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)) ↔ (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
176	174, 175	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
177	57	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))) = (0..^(𝐸 + 1)))
178	176, 177	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))))
179		ccatval1 14604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)))) → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0))
180	28, 30, 178, 179	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0))
181		elfzonn0 13727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
182	50, 181	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
183		nn0p1nn 12534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
184	182, 183	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
185	5, 184	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
186		lbfzo0 13719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐸) ↔ 𝐸 ∈ ℕ)
187	185, 186	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝐸))
188	55	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸))) = (0..^𝐸))
189	187, 188	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸))))
190		ccatval1 14604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))) → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0) = ((𝑊 prefix 𝐸)‘0))
191	26, 10, 189, 190	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0) = ((𝑊 prefix 𝐸)‘0))
192		nn0p1gt0 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → 0 < ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
193	182, 192	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
194	193, 5	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
195	194	gt0ne0d 11766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
196		fzne1 13623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐸 ≠ 0) → 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)))
197	53, 195, 196	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)))
198		0p1e1 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
199	198	oveq1i 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)) = (1...(♯‘𝑊))
200	197, 199	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
201		pfxfv0 14719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐸)‘0) = (𝑊‘0))
202	24, 200, 201	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸)‘0) = (𝑊‘0))
203	180, 191, 202	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (𝑊‘0))
204	172, 203	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘0) = (𝑊‘0))
205	204	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘0) = (𝑊‘0))
206	132, 171, 205	3eqtr4rd 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘0) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
207	118, 206	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
208	109, 207	pm2.61dane 3047	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
209	101	fveq2d 6875	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
210	101	fveq2d 6875	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
211	208, 209, 210	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {crab 3417  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905  ∅c0 4288  {csn 4585  ⟨cop 4591  ⟨cotp 4593   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   − cmin 11429  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ...cfz 13526  ..^cfzo 13673  ♯chash 14357  Word cword 14540   ++ cconcat 14597  ⟨“cs1 14623   substr csubstr 14668   prefix cpfx 14698   splice csplice 14776  Basecbs 17259  SymGrpcsymg 19430  toCycctocyc 33339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-splice 14777  df-csh 14816  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-tset 17319  df-efmnd 18918  df-symg 19431  df-tocyc 33340

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33366