Theorem cycpmco2lem5 31406

Description: Lemma for cycpmco2 31409. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem5.1	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((♯‘𝑈) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem5	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem5

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2lem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
3		cycpmco2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		cycpmco2.w	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
5		cycpmco2.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
6		ovexd 7319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
8		cycpmco2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9	8	eldifad 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10	9	s1cld 14317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
11		splval 14473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
12	4, 7, 7, 10, 11	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
13	3, 12	eqtrid 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14	13	fveq2d 6787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
15		ssrab2 4014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
16		cycpmco2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
17		cycpmco2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
18		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
19		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20	17, 18, 19	tocycf 31393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
22	21	fdmd 6620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
23	4, 22	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
24	15, 23	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
25		pfxcl 14399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
27		ccatcl 14286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28	26, 10, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
29		swrdcl 14367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30	24, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
31		ccatlen 14287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))))
33		ccatws1len 14334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
34	26, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1))
35		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
36		dmeq 5815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
37		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
39	38	elrab 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
40	23, 39	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
41	40	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
42		f1cnv 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
44		f1of 6725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
46		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
47	45, 46	ffvelrnd 6971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
48		wrddm 14233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
49	24, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
50	47, 49	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
51		fzofzp1 13493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
53	5, 52	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
54		pfxlen 14405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
55	24, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) = 𝐸)
56	55	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
57	34, 56	eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) = (𝐸 + 1))
58		lencl 14245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59	24, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
60		nn0fz0 13363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61	59, 60	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62		swrdlen 14369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
63	24, 53, 61, 62	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝐸))
64	57, 63	oveq12d 7302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
65	14, 32, 64	3eqtrd 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
66		fz0ssnn0 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
67	66, 53	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
68	67	nn0zd 12433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
69	68	peano2zd 12438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℂ)
71	59	nn0cnd 12304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
72	67	nn0cnd 12304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73	70, 71, 72	addsubassd 11361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((♯‘𝑊) − 𝐸)))
74		1cnd 10979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75	72, 74, 71	addassd 11006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) = (𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))))
76	75	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 1) + (♯‘𝑊)) − 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
77	65, 73, 76	3eqtr2d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸))
78	74, 71	addcld 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
79	72, 78	pncan2d 11343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + (1 + (♯‘𝑊))) − 𝐸) = (1 + (♯‘𝑊)))
80	74, 71	addcomd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) + 1))
81	77, 79, 80	3eqtrd 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
82		oveq1 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝐸 → ((♯‘𝑊) + 1) = (𝐸 + 1))
83	81, 82	sylan9eq 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (♯‘𝑈) = (𝐸 + 1))
84	83	oveq1d 7299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = ((𝐸 + 1) − 1))
85	72, 74	pncand 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 1) − 1) = 𝐸)
86	85	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((𝐸 + 1) − 1) = 𝐸)
87	84, 86	eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = 𝐸)
88	87	fveq2d 6787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = (𝑈‘𝐸))
89		cycpmco2lem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = ((♯‘𝑈) − 1))
90	89	fveq2d 6787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)))
91	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2f1 31400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
92		f1f1orn 6736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
94		ssun1 4107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
95	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2rn 31401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
96	94, 95	sseqtrrid 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
97	96	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
98		f1ocnvfv2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
99	93, 97, 98	syl2an2r 682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
100	1, 99	mpdan 684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
101	90, 100	eqtr3d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = 𝐾)
102	101	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = 𝐾)
103	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2lem2 31403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
104	103	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → (𝑈‘𝐸) = 𝐼)
105	88, 102, 104	3eqtr3d 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → 𝐾 = 𝐼)
106	8	eldifbd 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
107	106	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
108	105, 107	eqneltrd 2859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ¬ 𝐾 ∈ ran 𝑊)
109	2, 108	pm2.21dd 194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) = 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
110		splcl 14474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
111	24, 10, 110	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
112	3, 111	eqeltrid 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
113		nn0p1gt0 12271	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
114	59, 113	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
115	114, 81	breqtrrd 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑈))
116		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
117	17, 16, 112, 91, 115, 116	cycpmfv2 31390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = (𝑈‘0))
118	117	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = (𝑈‘0))
119		f1f 6679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
120	41, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
121	120	frnd 6617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
122	16, 121	ssexd 5249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ∈ V)
123	46	ne0d 4270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ≠ ∅)
124		hashgt0 14112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝑊 ∈ V ∧ ran 𝑊 ≠ ∅) → 0 < (♯‘ran 𝑊))
125	122, 123, 124	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘ran 𝑊))
126	4	dmexd 7761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ∈ V)
127		hashf1rn 14076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝑊 ∈ V ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → (♯‘𝑊) = (♯‘ran 𝑊))
128	126, 41, 127	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘ran 𝑊))
129	125, 128	breqtrrd 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
130		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
131	17, 16, 24, 41, 129, 130	cycpmfv2 31390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘0))
132	131	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘0))
133	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
134	17, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3	cycpmco2lem3 31404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
135	72, 74	addcomd 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) = (1 + 𝐸))
136	135	oveq2d 7300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)))
137	71, 74	subcld 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
138	137, 72, 74	nppcan3d 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
139	71, 74	npcand 11345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
140	136, 138, 139	3eqtrd 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)) = (♯‘𝑊))
141	134, 140	eqtr4d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)))
142	141	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑈) − 1) = ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1)))
143	133, 142	fveq12d 6790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1))))
144	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
145		nn0fz0 13363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
146	67, 145	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
147	146	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
148	53	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
149	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
150	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
151		1cnd 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 1 ∈ ℂ)
152	72	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → 𝐸 ∈ ℂ)
153	150, 151, 152	sub32d 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) = (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1))
154		fznn0sub 13297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
155	53, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ0)
157		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (♯‘𝑊) ≠ 𝐸)
158	150, 152, 156, 157	subne0nn 31144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ)
159		fzo0end 13488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐸) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
160	158, 159	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 𝐸) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
161	153, 160	eqeltrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 𝐸)))
162		s1len 14320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
163	162	eqcomi 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (♯‘⟨“𝐼”⟩)
164	163	oveq2i 7295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 + 1) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩))
165	164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝐸 + 1) = (𝐸 + (♯‘⟨“𝐼”⟩)))
166	144, 147, 148, 149, 161, 165	splfv3 31239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + (𝐸 + 1))) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)))
167	137, 72	npcand 11345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸) = ((♯‘𝑊) − 1))
168	167	fveq2d 6787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
169	168	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) − 𝐸) + 𝐸)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
170	143, 166, 169	3eqtrd 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
171	170	fveq2d 6787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
172	13	fveq1d 6785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘0) = ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0))
173		nn0p1nn 12281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
174	67, 173	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
175		lbfzo0 13436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)) ↔ (𝐸 + 1) ∈ ℕ)
176	174, 175	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
177	57	oveq2d 7300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))) = (0..^(𝐸 + 1)))
178	176, 177	eleqtrrd 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩))))
179		ccatval1 14290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)))) → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0))
180	28, 30, 178, 179	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0))
181		elfzonn0 13441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
182	50, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
183		nn0p1nn 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
185	5, 184	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
186		lbfzo0 13436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐸) ↔ 𝐸 ∈ ℕ)
187	185, 186	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝐸))
188	55	oveq2d 7300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸))) = (0..^𝐸))
189	187, 188	eleqtrrd 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸))))
190		ccatval1 14290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐸)))) → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0) = ((𝑊 prefix 𝐸)‘0))
191	26, 10, 189, 190	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩)‘0) = ((𝑊 prefix 𝐸)‘0))
192		nn0p1gt0 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → 0 < ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
193	182, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
194	193, 5	breqtrrdi 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
195	194	gt0ne0d 11548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
196		fzne1 31118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐸 ≠ 0) → 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)))
197	53, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)))
198		0p1e1 12104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
199	198	oveq1i 7294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1)...(♯‘𝑊)) = (1...(♯‘𝑊))
200	197, 199	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
201		pfxfv0 14414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐸)‘0) = (𝑊‘0))
202	24, 200, 201	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸)‘0) = (𝑊‘0))
203	180, 191, 202	3eqtrd 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩))‘0) = (𝑊‘0))
204	172, 203	eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘0) = (𝑊‘0))
205	204	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘0) = (𝑊‘0))
206	132, 171, 205	3eqtr4rd 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → (𝑈‘0) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
207	118, 206	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 𝐸) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
208	109, 207	pm2.61dane 3033	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))))
209	101	fveq2d 6787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
210	101	fveq2d 6787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑈‘((♯‘𝑈) − 1))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
211	208, 209, 210	3eqtr3d 2787	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  {crab 3069  Vcvv 3433   ∖ cdif 3885   ∪ cun 3886  ∅c0 4257  {csn 4562  ⟨cop 4568  ⟨cotp 4570   class class class wbr 5075  ^◡ccnv 5589  dom cdm 5590  ran crn 5591  ⟶wf 6433  –1-1→wf1 6434  –1-1-onto→wf1o 6436  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   < clt 11018   − cmin 11214  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242  ...cfz 13248  ..^cfzo 13391  ♯chash 14053  Word cword 14226   ++ cconcat 14282  ⟨“cs1 14309   substr csubstr 14362   prefix cpfx 14392   splice csplice 14471  Basecbs 16921  SymGrpcsymg 18983  toCycctocyc 31382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-oadd 8310  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-xnn0 12315  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-mod 13599  df-hash 14054  df-word 14227  df-concat 14283  df-s1 14310  df-substr 14363  df-pfx 14393  df-splice 14472  df-csh 14511  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-tset 16990  df-efmnd 18517  df-symg 18984  df-tocyc 31383

This theorem is referenced by:  cycpmco2  31409