Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem5 32028
Description: Lemma for cycpmco2 32031. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
cycpmco2lem.1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2lem5.1 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΎ) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ))

Proof of Theorem cycpmco2lem5
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2lem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ran π‘Š)
21adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ 𝐾 ∈ ran π‘Š)
3 cycpmco2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
4 cycpmco2.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
5 cycpmco2.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
6 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
8 cycpmco2.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
98eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
109s1cld 14497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
11 splval 14645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
124, 7, 7, 10, 11syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
133, 12eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
1413fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
15 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
16 cycpmco2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
17 cycpmco2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
18 cycpmco2.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2017, 18, 19tocycf 32015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
2221fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
234, 22eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2415, 23sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
25 pfxcl 14571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
27 ccatcl 14468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
2826, 10, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
29 swrdcl 14539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
3024, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
31 ccatlen 14469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷) β†’ (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
3228, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
33 ccatws1len 14514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
36 dmeq 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
37 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
3835, 36, 37f1eq123d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3938elrab 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
4023, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
4140simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
42 f1cnv 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
44 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
46 cycpmco2.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
4745, 46ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
48 wrddm 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4924, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
5047, 49eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
51 fzofzp1 13675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
535, 52eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
54 pfxlen 14577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
5524, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
5655oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
5734, 56eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = (𝐸 + 1))
58 lencl 14427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
5924, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
60 nn0fz0 13545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6159, 60sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
62 swrdlen 14541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))
6324, 53, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))
6457, 63oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
6514, 32, 643eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
66 fz0ssnn0 13542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
6766, 53sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
6867nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
6968peano2zd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„€)
7069zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„‚)
7159nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
7267nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
7370, 71, 72addsubassd 11537 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) βˆ’ 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
74 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7572, 74, 71addassd 11182 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) = (𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))))
7675oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) βˆ’ 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸))
7765, 73, 763eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸))
7874, 71addcld 11179 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1 + (β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
7972, 78pncan2d 11519 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸) = (1 + (β™―β€˜π‘Š)))
8074, 71addcomd 11362 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 + (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
8177, 79, 803eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
82 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝐸 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) = (𝐸 + 1))
8381, 82sylan9eq 2793 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (𝐸 + 1))
8483oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = ((𝐸 + 1) βˆ’ 1))
8572, 74pncand 11518 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 1) βˆ’ 1) = 𝐸)
8685adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ ((𝐸 + 1) βˆ’ 1) = 𝐸)
8784, 86eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = 𝐸)
8887fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = (π‘ˆβ€˜πΈ))
89 cycpmco2lem5.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘ˆβ€˜πΎ) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
9089fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = (π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
9117, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3cycpmco2f1 32022 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
92 f1f1orn 6796 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘ˆ)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘ˆ)
94 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . 12 ran π‘Š βŠ† (ran π‘Š βˆͺ {𝐼})
9517, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3cycpmco2rn 32023 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}))
9694, 95sseqtrrid 3998 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† ran π‘ˆ)
9796sselda 3945 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ ran π‘ˆ)
98 f1ocnvfv2 7224 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘ˆ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = 𝐾)
9993, 97, 98syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ ran π‘Š) β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = 𝐾)
1001, 99mpdan 686 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(β—‘π‘ˆβ€˜πΎ)) = 𝐾)
10190, 100eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = 𝐾)
102101adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = 𝐾)
10317, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3cycpmco2lem2 32025 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = 𝐼)
104103adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = 𝐼)
10588, 102, 1043eqtr3d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ 𝐾 = 𝐼)
1068eldifbd 3924 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
107106adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
108105, 107eqneltrd 2854 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ Β¬ 𝐾 ∈ ran π‘Š)
1092, 108pm2.21dd 194 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝐸) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))))
110 splcl 14646 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) ∈ Word 𝐷)
11124, 10, 110syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) ∈ Word 𝐷)
1123, 111eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝐷)
113 nn0p1gt0 12447 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
11459, 113syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
115114, 81breqtrrd 5134 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ))
116 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
11717, 16, 112, 91, 115, 116cycpmfv2 32012 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = (π‘ˆβ€˜0))
118117adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = (π‘ˆβ€˜0))
119 f1f 6739 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ·)
12041, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ·)
121120frnd 6677 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
12216, 121ssexd 5282 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran π‘Š ∈ V)
12346ne0d 4296 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran π‘Š β‰  βˆ…)
124 hashgt0 14294 . . . . . . . . 9 ((ran π‘Š ∈ V ∧ ran π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜ran π‘Š))
125122, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜ran π‘Š))
1264dmexd 7843 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom π‘Š ∈ V)
127 hashf1rn 14258 . . . . . . . . 9 ((dom π‘Š ∈ V ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜ran π‘Š))
128126, 41, 127syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜ran π‘Š))
129125, 128breqtrrd 5134 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
130 eqidd 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
13117, 16, 24, 41, 129, 130cycpmfv2 32012 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜0))
132131adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜0))
1333a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©))
13417, 18, 16, 4, 8, 46, 5, 3cycpmco2lem3 32026 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
13572, 74addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) = (1 + 𝐸))
136135oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (𝐸 + 1)) = ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸)))
13771, 74subcld 11517 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
138137, 72, 74nppcan3d 11544 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (1 + 𝐸)) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
13971, 74npcand 11521 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
140136, 138, 1393eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (𝐸 + 1)) = (β™―β€˜π‘Š))
141134, 140eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (𝐸 + 1)))
142141adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (𝐸 + 1)))
143133, 142fveq12d 6850 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (𝐸 + 1))))
14424adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
145 nn0fz0 13545 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ β„•0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
14667, 145sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
147146adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
14853adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
14910adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
15071adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
151 1cnd 11155 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ 1 ∈ β„‚)
15272adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
153150, 151, 152sub32d 11549 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) βˆ’ 1))
154 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) ∈ β„•0)
15553, 154syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) ∈ β„•0)
156155adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) ∈ β„•0)
157 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸)
158150, 152, 156, 157subne0nn 31766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) ∈ β„•)
159 fzo0end 13670 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) ∈ β„• β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
160158, 159syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸) βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
161153, 160eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
162 s1len 14500 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = 1
163162eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 1 = (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)
164163oveq2i 7369 . . . . . . . . 9 (𝐸 + 1) = (𝐸 + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
165164a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (𝐸 + 1) = (𝐸 + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))
166144, 147, 148, 149, 161, 165splfv3 31861 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)β€˜((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + (𝐸 + 1))) = (π‘Šβ€˜((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + 𝐸)))
167137, 72npcand 11521 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + 𝐸) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
168167fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + 𝐸)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
169168adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (π‘Šβ€˜((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝐸) + 𝐸)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
170143, 166, 1693eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
171170fveq2d 6847 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
17213fveq1d 6845 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜0) = ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0))
173 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ β„•0 β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„•)
17467, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„•)
175 lbfzo0 13618 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)) ↔ (𝐸 + 1) ∈ β„•)
176174, 175sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
17757oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))) = (0..^(𝐸 + 1)))
178176, 177eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))))
179 ccatval1 14471 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))) β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0))
18028, 30, 178, 179syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0))
181 elfzonn0 13623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0)
18250, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0)
183 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . . 13 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ β„•)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ β„•)
1855, 184eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•)
186 lbfzo0 13618 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^𝐸) ↔ 𝐸 ∈ β„•)
187185, 186sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝐸))
18855oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))) = (0..^𝐸))
189187, 188eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))))
190 ccatval1 14471 . . . . . . . . 9 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)))) β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0) = ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0))
19126, 10, 189, 190syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0) = ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0))
192 nn0p1gt0 12447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0 β†’ 0 < ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1))
193182, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1))
194193, 5breqtrrdi 5148 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
195194gt0ne0d 11724 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
196 fzne1 31738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝐸 β‰  0) β†’ 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(β™―β€˜π‘Š)))
19753, 195, 196syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(β™―β€˜π‘Š)))
198 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
199198oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...(β™―β€˜π‘Š)) = (1...(β™―β€˜π‘Š))
200197, 199eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
201 pfxfv0 14586 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
20224, 200, 201syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
203180, 191, 2023eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
204172, 203eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
205204adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
206132, 171, 2053eqtr4rd 2784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜0) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))))
207118, 206eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  𝐸) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))))
208109, 207pm2.61dane 3029 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))))
209101fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΎ))
210101fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘ˆβ€˜((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ))
211208, 209, 2103eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΎ) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βŸ¨cop 4593  βŸ¨cotp 4595   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   ++ cconcat 14464  βŸ¨β€œcs1 14489   substr csubstr 14534   prefix cpfx 14564   splice csplice 14643  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-splice 14644  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cycpmco2  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator