Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2rn 32262
Description: The orbit of the composition of a cyclic permutation and a well-chosen transposition is one element more than the orbit of the original permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2rn (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem cycpmco2rn
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un23 4167 . 2 (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼})
2 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
3 cycpmco2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
4 cycpmco2.e . . . . . . 7 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
5 ovexd 7439 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
64, 5eqeltrid 2838 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ V)
7 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
87eldifad 3959 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
98s1cld 14549 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
10 splval 14697 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
113, 6, 6, 9, 10syl13anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
122, 11eqtrid 2785 . . . 4 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
1312rneqd 5935 . . 3 (𝜑 → ran 𝑈 = ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
15 cycpmco2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑉)
16 cycpmco2.c . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
17 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1916, 17, 18tocycf 32254 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
2120fdmd 6725 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
223, 21eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
2314, 22sselid 3979 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
24 pfxcl 14623 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26 ccatcl 14520 . . . . 5 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
2725, 9, 26syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28 swrdcl 14591 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
2923, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30 ccatrn 14535 . . . 4 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
3127, 29, 30syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
32 ccatrn 14535 . . . . . 6 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
3325, 9, 32syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
35 dmeq 5901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
36 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
3734, 35, 36f1eq123d 6822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
3837elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
3922, 38sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4039simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
41 f1cnv 6854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
42 f1of 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44 cycpmco2.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
4543, 44ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
46 wrddm 14467 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4845, 47eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49 fzofzp1 13725 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
514, 50eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52 pfxrn3 32085 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
5323, 51, 52syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
54 s1rn 14545 . . . . . . 7 (𝐼𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
558, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
5653, 55uneq12d 4163 . . . . 5 (𝜑 → (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
5733, 56eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
58 lencl 14479 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59 nn0fz0 13595 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6059biimpi 215 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6123, 58, 603syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62 swrdrn3 32097 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6323, 51, 61, 62syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6457, 63uneq12d 4163 . . 3 (𝜑 → (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
6513, 31, 643eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ran 𝑈 = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
66 fzosplit 13661 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6751, 66syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6867imaeq2d 6057 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
69 wrdf 14465 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7023, 69syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7170ffnd 6715 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
72 fnima 6677 . . . . 5 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
7371, 72syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
74 elfzuz3 13494 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸))
75 fzoss2 13656 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
7651, 74, 753syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
77 fz0ssnn0 13592 . . . . . . . 8 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
7877, 51sselid 3979 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
79 nn0uz 12860 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
8078, 79eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (ℤ‘0))
81 fzoss1 13655 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℤ‘0) → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
8280, 81syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83 unima 6962 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
8471, 76, 82, 83syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
8568, 73, 843eqtr3d 2781 . . 3 (𝜑 → ran 𝑊 = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
8685uneq1d 4161 . 2 (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ {𝐼}) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼}))
871, 65, 863eqtr4a 2799 1 (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  {csn 4627  cop 4633  cotp 4635  ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  cima 5678   Fn wfn 6535  wf 6536  1-1wf1 6537  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  0cn0 12468  cuz 12818  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  ⟨“cs1 14541   substr csubstr 14586   prefix cpfx 14616   splice csplice 14695  Basecbs 17140  SymGrpcsymg 19227  toCycctocyc 32243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-csh 14735  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-efmnd 18746  df-symg 19228  df-tocyc 32244
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  32267  cycpmco2lem6  32268  cycpmco2lem7  32269  cycpmco2  32270
  Copyright terms: Public domain W3C validator