Theorem cycpmco2rn 33733

Description: The orbit of the composition of a cyclic permutation and a well-chosen transposition is one element more than the orbit of the original permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2rn	⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem cycpmco2rn

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un23 4172	. 2 ⊢ (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼})
2		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
3		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
4		cycpmco2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
5		ovexd 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
7		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	eldifad 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
9	8	s1cld 14754	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
10		splval 14905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
11	3, 6, 6, 9, 10	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
12	2, 11	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
13	12	rneqd 5919	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14		ssrab2 4005	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
15		cycpmco2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
16		cycpmco2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
17		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
18		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19	16, 17, 18	tocycf 33725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
20	15, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
21	20	fdmd 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
22	3, 21	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
23	14, 22	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
24		pfxcl 14832	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26		ccatcl 14723	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
27	25, 9, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28		swrdcl 14798	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
29	23, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30		ccatrn 14739	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
31	27, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
32		ccatrn 14739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
33	25, 9, 32	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
34		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
35		dmeq 5884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
36		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
37	34, 35, 36	f1eq123d 6817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
38	37	elrab 3644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
39	22, 38	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
40	39	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
41		f1cnv 6850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
42		f1of 6825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43	40, 41, 42	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
45	43, 44	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
46		wrddm 14670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
47	23, 46	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
48	45, 47	eleqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		fzofzp1 13903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51	4, 50	eqeltrid 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52		pfxrn3 33555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
53	23, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
54		s1rn 14750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
55	8, 54	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
56	53, 55	uneq12d 4168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
57	33, 56	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
58		lencl 14682	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59		nn0fz0 13763	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	59	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61	23, 58, 60	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62		swrdrn3 14807	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
63	23, 51, 61, 62	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
64	57, 63	uneq12d 4168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
65	13, 31, 64	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
66		fzosplit 13831	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
67	51, 66	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
68	67	imaeq2d 6051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
69		wrdf 14667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
70	23, 69	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
71	70	ffnd 6711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
72		fnima 6670	. . . . 5 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
73	71, 72	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
74		elfzuz3 13657	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸))
75		fzoss2 13826	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
76	51, 74, 75	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
77		fz0ssnn0 13760	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
78	77, 51	sselid 3906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
79		nn0uz 13007	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
80	78, 79	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘0))
81		fzoss1 13825	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
82	80, 81	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83		unima 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
84	71, 76, 82, 83	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
85	68, 73, 84	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
86	85	uneq1d 4166	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ {𝐼}) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼}))
87	1, 65, 86	3eqtr4a 2821	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  {csn 4584  ⟨cop 4834  ⟨cotp 4857  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  –1-1→wf1 6536  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207  ℕ₀cn0 12610  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  ..^cfzo 13792  ♯chash 14478  Word cword 14662   ++ cconcat 14719  ⟨“cs1 14746   substr csubstr 14793   prefix cpfx 14825   splice csplice 14903  Basecbs 17393  SymGrpcsymg 19589  toCycctocyc 33714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-hash 14479  df-word 14663  df-concat 14720  df-s1 14747  df-substr 14794  df-pfx 14826  df-splice 14904  df-csh 14945  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-tset 17453  df-efmnd 19071  df-symg 19590  df-tocyc 33715

This theorem is used by:  cycpmco2lem5  33738  cycpmco2lem6  33739  cycpmco2lem7  33740  cycpmco2  33741