Theorem cycpmco2rn 33128

Description: The orbit of the composition of a cyclic permutation and a well-chosen transposition is one element more than the orbit of the original permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2rn	⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem cycpmco2rn

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un23 4184	. 2 ⊢ (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼})
2		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
3		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
4		cycpmco2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
5		ovexd 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
7		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	eldifad 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
9	8	s1cld 14638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
10		splval 14786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
11	3, 6, 6, 9, 10	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
12	2, 11	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
13	12	rneqd 5952	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14		ssrab2 4090	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
15		cycpmco2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
16		cycpmco2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
17		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
18		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19	16, 17, 18	tocycf 33120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
21	20	fdmd 6747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
22	3, 21	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
23	14, 22	sselid 3993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
24		pfxcl 14712	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26		ccatcl 14609	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
27	25, 9, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28		swrdcl 14680	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
29	23, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30		ccatrn 14624	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
31	27, 29, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
32		ccatrn 14624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
33	25, 9, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
35		dmeq 5917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
36		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
37	34, 35, 36	f1eq123d 6841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
38	37	elrab 3695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
39	22, 38	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
40	39	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
41		f1cnv 6873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
42		f1of 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43	40, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
45	43, 44	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
46		wrddm 14556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
47	23, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
48	45, 47	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		fzofzp1 13800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51	4, 50	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52		pfxrn3 32910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
53	23, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
54		s1rn 14634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
55	8, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
56	53, 55	uneq12d 4179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
57	33, 56	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
58		lencl 14568	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59		nn0fz0 13662	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	59	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61	23, 58, 60	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62		swrdrn3 32925	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
63	23, 51, 61, 62	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
64	57, 63	uneq12d 4179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
65	13, 31, 64	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
66		fzosplit 13729	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
67	51, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
68	67	imaeq2d 6080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
69		wrdf 14554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
70	23, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
71	70	ffnd 6738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
72		fnima 6699	. . . . 5 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
73	71, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
74		elfzuz3 13558	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸))
75		fzoss2 13724	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
76	51, 74, 75	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
77		fz0ssnn0 13659	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
78	77, 51	sselid 3993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
79		nn0uz 12918	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
80	78, 79	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘0))
81		fzoss1 13723	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
82	80, 81	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83		unima 6984	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
84	71, 76, 82, 83	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
85	68, 73, 84	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
86	85	uneq1d 4177	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ {𝐼}) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼}))
87	1, 65, 86	3eqtr4a 2801	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ⟨cop 4637  ⟨cotp 4639  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  –1-1→wf1 6560  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630   substr csubstr 14675   prefix cpfx 14705   splice csplice 14784  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401  toCycctocyc 33109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-csh 14824  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895  df-symg 19402  df-tocyc 33110

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  33133  cycpmco2lem6  33134  cycpmco2lem7  33135  cycpmco2  33136