Theorem cycpmco2rn 33679

Description: The orbit of the composition of a cyclic permutation and a well-chosen transposition is one element more than the orbit of the original permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2rn	⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem cycpmco2rn

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un23 4120	. 2 ⊢ (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼})
2		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
3		cycpmco2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
4		cycpmco2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
5		ovexd 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
7		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
9	8	s1cld 14743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
10		splval 14893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
11	3, 6, 6, 9, 10	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
12	2, 11	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
13	12	rneqd 5920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
15		cycpmco2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
16		cycpmco2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
17		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
18		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19	16, 17, 18	tocycf 33671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
20	15, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
21	20	fdmd 6718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
22	3, 21	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
23	14, 22	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
24		pfxcl 14820	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26		ccatcl 14712	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
27	25, 9, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28		swrdcl 14786	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
29	23, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30		ccatrn 14728	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
31	27, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
32		ccatrn 14728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
33	25, 9, 32	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
34		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
35		dmeq 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
36		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
37	34, 35, 36	f1eq123d 6814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
38	37	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
39	22, 38	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
40	39	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
41		f1cnv 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
42		f1of 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43	40, 41, 42	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44		cycpmco2.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
45	43, 44	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
46		wrddm 14659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
47	23, 46	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
48	45, 47	eleqtrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		fzofzp1 13892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51	4, 50	eqeltrid 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52		pfxrn3 33501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
53	23, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
54		s1rn 14739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
55	8, 54	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
56	53, 55	uneq12d 4116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
57	33, 56	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
58		lencl 14671	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59		nn0fz0 13752	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60	59	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
61	23, 58, 60	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62		swrdrn3 14795	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
63	23, 51, 61, 62	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
64	57, 63	uneq12d 4116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
65	13, 31, 64	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
66		fzosplit 13820	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
67	51, 66	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
68	67	imaeq2d 6052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
69		wrdf 14656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
70	23, 69	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
71	70	ffnd 6708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
72		fnima 6667	. . . . 5 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
73	71, 72	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
74		elfzuz3 13646	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸))
75		fzoss2 13815	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
76	51, 74, 75	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
77		fz0ssnn0 13749	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
78	77, 51	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
79		nn0uz 12996	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
80	78, 79	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘0))
81		fzoss1 13814	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
82	80, 81	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83		unima 6958	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
84	71, 76, 82, 83	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
85	68, 73, 84	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
86	85	uneq1d 4114	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ {𝐼}) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼}))
87	1, 65, 86	3eqtr4a 2822	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196  ℕ₀cn0 12599  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651   ++ cconcat 14708  ⟨“cs1 14735   substr csubstr 14781   prefix cpfx 14813   splice csplice 14891  Basecbs 17380  SymGrpcsymg 19576  toCycctocyc 33660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-splice 14892  df-csh 14933  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-tset 17440  df-efmnd 19058  df-symg 19577  df-tocyc 33661

This theorem is used by:  cycpmco2lem5  33684  cycpmco2lem6  33685  cycpmco2lem7  33686  cycpmco2  33687