Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2rn 32284
Description: The orbit of the composition of a cyclic permutation and a well-chosen transposition is one element more than the orbit of the original permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2rn (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}))

Proof of Theorem cycpmco2rn
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un23 4169 . 2 (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) βˆͺ {𝐼})
2 cycpmco2.1 . . . . 5 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
3 cycpmco2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
4 cycpmco2.e . . . . . . 7 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
5 ovexd 7444 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
64, 5eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
7 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
87eldifad 3961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
98s1cld 14553 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
10 splval 14701 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
113, 6, 6, 9, 10syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
122, 11eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
1312rneqd 5938 . . 3 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = ran (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
14 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
15 cycpmco2.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
16 cycpmco2.c . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
17 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
1916, 17, 18tocycf 32276 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
2120fdmd 6729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
223, 21eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2314, 22sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
24 pfxcl 14627 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26 ccatcl 14524 . . . . 5 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
2725, 9, 26syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
28 swrdcl 14595 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
2923, 28syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
30 ccatrn 14539 . . . 4 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷) β†’ ran (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) βˆͺ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
3127, 29, 30syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) βˆͺ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
32 ccatrn 14539 . . . . . 6 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
3325, 9, 32syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
35 dmeq 5904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
36 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
3734, 35, 36f1eq123d 6826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3837elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3922, 38sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
4039simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
41 f1cnv 6858 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
42 f1of 6834 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
44 cycpmco2.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
4543, 44ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
46 wrddm 14471 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4845, 47eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
49 fzofzp1 13729 . . . . . . . . 9 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
514, 50eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
52 pfxrn3 32107 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š β€œ (0..^𝐸)))
5323, 51, 52syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š β€œ (0..^𝐸)))
54 s1rn 14549 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
558, 54syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
5653, 55uneq12d 4165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}))
5733, 56eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}))
58 lencl 14483 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
59 nn0fz0 13599 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6059biimpi 215 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6123, 58, 603syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
62 swrdrn3 32119 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) = (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6323, 51, 61, 62syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) = (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6457, 63uneq12d 4165 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) βˆͺ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
6513, 31, 643eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
66 fzosplit 13665 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6751, 66syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6867imaeq2d 6060 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β€œ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) = (π‘Š β€œ ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
69 wrdf 14469 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
7023, 69syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
7170ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
72 fnima 6681 . . . . 5 (π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š β€œ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) = ran π‘Š)
7371, 72syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β€œ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) = ran π‘Š)
74 elfzuz3 13498 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ))
75 fzoss2 13660 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ (0..^𝐸) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
7651, 74, 753syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^𝐸) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
77 fz0ssnn0 13596 . . . . . . . 8 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
7877, 51sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
79 nn0uz 12864 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8078, 79eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
81 fzoss1 13659 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
8280, 81syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
83 unima 6967 . . . . 5 ((π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (0..^𝐸) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š β€œ ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
8471, 76, 82, 83syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β€œ ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
8568, 73, 843eqtr3d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ ran π‘Š = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
8685uneq1d 4163 . 2 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}) = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) βˆͺ {𝐼}))
871, 65, 863eqtr4a 2799 1 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545   substr csubstr 14590   prefix cpfx 14620   splice csplice 14699  Basecbs 17144  SymGrpcsymg 19234  toCycctocyc 32265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-csh 14739  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-efmnd 18750  df-symg 19235  df-tocyc 32266
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem6  32290  cycpmco2lem7  32291  cycpmco2  32292
  Copyright terms: Public domain W3C validator