Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2rn 32554
Description: The orbit of the composition of a cyclic permutation and a well-chosen transposition is one element more than the orbit of the original permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2rn (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}))

Proof of Theorem cycpmco2rn
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un23 4167 . 2 (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) βˆͺ {𝐼})
2 cycpmco2.1 . . . . 5 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
3 cycpmco2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
4 cycpmco2.e . . . . . . 7 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
5 ovexd 7446 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
64, 5eqeltrid 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
7 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
87eldifad 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
98s1cld 14557 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
10 splval 14705 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
113, 6, 6, 9, 10syl13anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
122, 11eqtrid 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
1312rneqd 5936 . . 3 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = ran (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
14 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
15 cycpmco2.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
16 cycpmco2.c . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
17 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
18 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
1916, 17, 18tocycf 32546 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
2120fdmd 6727 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
223, 21eleqtrd 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2314, 22sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
24 pfxcl 14631 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26 ccatcl 14528 . . . . 5 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
2725, 9, 26syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
28 swrdcl 14599 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
2923, 28syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
30 ccatrn 14543 . . . 4 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷) β†’ ran (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) βˆͺ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
3127, 29, 30syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) βˆͺ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
32 ccatrn 14543 . . . . . 6 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
3325, 9, 32syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
35 dmeq 5902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
36 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
3734, 35, 36f1eq123d 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3837elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
3922, 38sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
4039simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
41 f1cnv 6856 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
42 f1of 6832 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
44 cycpmco2.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
4543, 44ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
46 wrddm 14475 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4845, 47eleqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
49 fzofzp1 13733 . . . . . . . . 9 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
514, 50eqeltrid 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
52 pfxrn3 32374 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š β€œ (0..^𝐸)))
5323, 51, 52syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š β€œ (0..^𝐸)))
54 s1rn 14553 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
558, 54syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
5653, 55uneq12d 4163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}))
5733, 56eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}))
58 lencl 14487 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
59 nn0fz0 13603 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6059biimpi 215 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6123, 58, 603syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
62 swrdrn3 32386 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) = (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6323, 51, 61, 62syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) = (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6457, 63uneq12d 4163 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) βˆͺ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
6513, 31, 643eqtrd 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ {𝐼}) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
66 fzosplit 13669 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6751, 66syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š))))
6867imaeq2d 6058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β€œ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) = (π‘Š β€œ ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
69 wrdf 14473 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
7023, 69syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
7170ffnd 6717 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
72 fnima 6679 . . . . 5 (π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š β€œ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) = ran π‘Š)
7371, 72syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β€œ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) = ran π‘Š)
74 elfzuz3 13502 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ))
75 fzoss2 13664 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ (0..^𝐸) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
7651, 74, 753syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^𝐸) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
77 fz0ssnn0 13600 . . . . . . . 8 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
7877, 51sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
79 nn0uz 12868 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8078, 79eleqtrdi 2841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
81 fzoss1 13663 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
8280, 81syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
83 unima 6965 . . . . 5 ((π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (0..^𝐸) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š β€œ ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
8471, 76, 82, 83syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β€œ ((0..^𝐸) βˆͺ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
8568, 73, 843eqtr3d 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ ran π‘Š = ((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))))
8685uneq1d 4161 . 2 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}) = (((π‘Š β€œ (0..^𝐸)) βˆͺ (π‘Š β€œ (𝐸..^(β™―β€˜π‘Š)))) βˆͺ {𝐼}))
871, 65, 863eqtr4a 2796 1 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ = (ran π‘Š βˆͺ {𝐼}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βŸ¨cotp 4635  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468   ++ cconcat 14524  βŸ¨β€œcs1 14549   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624   splice csplice 14703  Basecbs 17148  SymGrpcsymg 19275  toCycctocyc 32535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-csh 14743  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-efmnd 18786  df-symg 19276  df-tocyc 32536
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  32559  cycpmco2lem6  32560  cycpmco2lem7  32561  cycpmco2  32562
  Copyright terms: Public domain W3C validator