Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2rn 30981
Description: The orbit of the composition of a cyclic permutation and a well-chosen transposition is one element more than the orbit of the original permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2rn (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem cycpmco2rn
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un23 4068 . 2 (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼})
2 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
3 cycpmco2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
4 cycpmco2.e . . . . . . 7 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
5 ovexd 7217 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ V)
64, 5eqeltrid 2838 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ V)
7 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
87eldifad 3865 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
98s1cld 14058 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
10 splval 14214 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
113, 6, 6, 9, 10syl13anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
122, 11syl5eq 2786 . . . 4 (𝜑𝑈 = (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
1312rneqd 5791 . . 3 (𝜑 → ran 𝑈 = ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
14 ssrab2 3979 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
15 cycpmco2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑉)
16 cycpmco2.c . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
17 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
18 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1916, 17, 18tocycf 30973 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
2120fdmd 6525 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
223, 21eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
2314, 22sseldi 3885 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
24 pfxcl 14140 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
26 ccatcl 14027 . . . . 5 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
2725, 9, 26syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷)
28 swrdcl 14108 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
2923, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷)
30 ccatrn 14044 . . . 4 ((((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝐷) → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
3127, 29, 30syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ran (((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)))
32 ccatrn 14044 . . . . . 6 (((𝑊 prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
3325, 9, 32syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩))
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
35 dmeq 5756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
36 eqidd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
3734, 35, 36f1eq123d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
3837elrab 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
3922, 38sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
4039simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
41 f1cnv 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
42 f1of 6630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44 cycpmco2.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
4543, 44ffvelrnd 6874 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
46 wrddm 13974 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4845, 47eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49 fzofzp1 13237 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
514, 50eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52 pfxrn3 30802 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
5323, 51, 52syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑊 prefix 𝐸) = (𝑊 “ (0..^𝐸)))
54 s1rn 14054 . . . . . . 7 (𝐼𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
558, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
5653, 55uneq12d 4064 . . . . 5 (𝜑 → (ran (𝑊 prefix 𝐸) ∪ ran ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
5733, 56eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}))
58 lencl 13986 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
59 nn0fz0 13108 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6059biimpi 219 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6123, 58, 603syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
62 swrdrn3 30814 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6323, 51, 61, 62syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6457, 63uneq12d 4064 . . 3 (𝜑 → (ran ((𝑊 prefix 𝐸) ++ ⟨“𝐼”⟩) ∪ ran (𝑊 substr ⟨𝐸, (♯‘𝑊)⟩)) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
6513, 31, 643eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → ran 𝑈 = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ {𝐼}) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
66 fzosplit 13173 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6751, 66syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊))))
6867imaeq2d 5913 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
69 wrdf 13972 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7023, 69syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7170ffnd 6515 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
72 fnima 6477 . . . . 5 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
7371, 72syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 “ (0..^(♯‘𝑊))) = ran 𝑊)
74 elfzuz3 13007 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸))
75 fzoss2 13168 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
7651, 74, 753syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
77 fz0ssnn0 13105 . . . . . . . 8 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
7877, 51sseldi 3885 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
79 nn0uz 12374 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
8078, 79eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (ℤ‘0))
81 fzoss1 13167 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℤ‘0) → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
8280, 81syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83 unima 6755 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝐸..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
8471, 76, 82, 83syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 “ ((0..^𝐸) ∪ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
8568, 73, 843eqtr3d 2782 . . 3 (𝜑 → ran 𝑊 = ((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))))
8685uneq1d 4062 . 2 (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ {𝐼}) = (((𝑊 “ (0..^𝐸)) ∪ (𝑊 “ (𝐸..^(♯‘𝑊)))) ∪ {𝐼}))
871, 65, 863eqtr4a 2800 1 (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3058  Vcvv 3400  cdif 3850  cun 3851  wss 3853  {csn 4526  cop 4532  cotp 4534  ccnv 5534  dom cdm 5535  ran crn 5536  cima 5538   Fn wfn 6344  wf 6345  1-1wf1 6346  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7182  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630  0cn0 11988  cuz 12336  ...cfz 12993  ..^cfzo 13136  chash 13794  Word cword 13967   ++ cconcat 14023  ⟨“cs1 14050   substr csubstr 14103   prefix cpfx 14133   splice csplice 14212  Basecbs 16598  SymGrpcsymg 18625  toCycctocyc 30962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-sup 8991  df-inf 8992  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-mod 13341  df-hash 13795  df-word 13968  df-concat 14024  df-s1 14051  df-substr 14104  df-pfx 14134  df-splice 14213  df-csh 14252  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-tset 16699  df-efmnd 18162  df-symg 18626  df-tocyc 30963
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  30986  cycpmco2lem6  30987  cycpmco2lem7  30988  cycpmco2  30989
  Copyright terms: Public domain W3C validator