Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem4 32027
Description: Lemma for cycpmco2 32031. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ)) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))

Proof of Theorem cycpmco2lem4
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . 3 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpmco2.s . . 3 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
3 cycpmco2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
4 cycpmco2.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
5 cycpmco2.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
6 cycpmco2.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
7 cycpmco2.e . . 3 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
8 cycpmco2.1 . . 3 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cycpmco2lem1 32024 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ)) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½))
103adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
11 ssrab2 4038 . . . . . . . . 9 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
131, 2, 12tocycf 32015 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
1514fdmd 6680 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
164, 15eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
1711, 16sselid 3943 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
185eldifad 3923 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
1918s1cld 14497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
20 splcl 14646 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) ∈ Word 𝐷)
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) ∈ Word 𝐷)
228, 21eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝐷)
2322adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝐷)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cycpmco2f1 32022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
2524adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
26 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cycpmco2lem3 32026 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
2827oveq2d 7374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2928adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3026, 29eleqtrrd 2837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝐸 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1)))
311, 10, 23, 25, 30cycpmfv1 32011 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜πΈ)) = (π‘ˆβ€˜(𝐸 + 1)))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cycpmco2lem2 32025 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΈ) = 𝐼)
3332fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜πΈ)) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))
3433adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜πΈ)) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))
3517adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
36 lencl 14427 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
3717, 36syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
38 nn0fz0 13545 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
4039adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
41 swrdfv0 14543 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜0) = (π‘Šβ€˜πΈ))
4235, 26, 40, 41syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜0) = (π‘Šβ€˜πΈ))
43 ovexd 7393 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
447, 43eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
45 splval 14645 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
464, 44, 44, 19, 45syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
478, 46eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
4847fveq1d 6845 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐸 + 1)) = ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜(𝐸 + 1)))
4948adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐸 + 1)) = ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜(𝐸 + 1)))
50 pfxcl 14571 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
5117, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
52 ccatcl 14468 . . . . . . . . 9 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
5351, 19, 52syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
5453adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
55 swrdcl 14539 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
5617, 55syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
5756adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
58 1z 12538 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„€
59 fzoaddel 13631 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐸 + 1) ∈ ((0 + 1)..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
6058, 59mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝐸 + 1) ∈ ((0 + 1)..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
61 elfzolt2b 13589 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 + 1) ∈ ((0 + 1)..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (𝐸 + 1) ∈ ((𝐸 + 1)..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝐸 + 1) ∈ ((𝐸 + 1)..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
6362adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝐸 + 1) ∈ ((𝐸 + 1)..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
64 ccatws1len 14514 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
6551, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1))
66 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
67 dmeq 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
68 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
6966, 67, 68f1eq123d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
7069elrab3 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
7170biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
7217, 16, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
73 f1cnv 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
75 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
7776, 6ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
78 wrddm 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
7917, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
8077, 79eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
81 fzofzp1 13675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
837, 82eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
84 pfxlen 14577 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
8517, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) = 𝐸)
8685oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)) + 1) = (𝐸 + 1))
8765, 86eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = (𝐸 + 1))
8887adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) = (𝐸 + 1))
8947fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
90 ccatlen 14469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷) β†’ (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
9153, 56, 90syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
92 swrdlen 14541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))
9317, 83, 39, 92syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸))
9487, 93oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
9589, 91, 943eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
96 fz0ssnn0 13542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
9796, 83sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
9897nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
9998peano2zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„€)
10099zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„‚)
10137nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
10297nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
103100, 101, 102addsubassd 11537 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) βˆ’ 𝐸) = ((𝐸 + 1) + ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 𝐸)))
104 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
105102, 104, 101addassd 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) = (𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))))
106105oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 1) + (β™―β€˜π‘Š)) βˆ’ 𝐸) = ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸))
10795, 103, 1063eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸))
108104, 101addcld 11179 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 + (β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
109102, 108pncan2d 11519 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + (1 + (β™―β€˜π‘Š))) βˆ’ 𝐸) = (1 + (β™―β€˜π‘Š)))
110104, 101addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1 + (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
111107, 109, 1103eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
11289, 111, 913eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
113112adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
11488, 113oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))..^((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))) = ((𝐸 + 1)..^((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
11563, 114eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝐸 + 1) ∈ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))..^((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))))
116 ccatval2 14472 . . . . . . 7 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ (𝐸 + 1) ∈ ((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))..^((β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)) + (β™―β€˜(π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))) β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜(𝐸 + 1)) = ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜((𝐸 + 1) βˆ’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))))
11754, 57, 115, 116syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜(𝐸 + 1)) = ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜((𝐸 + 1) βˆ’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))))
11887oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 1) βˆ’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))) = ((𝐸 + 1) βˆ’ (𝐸 + 1)))
119100subidd 11505 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 1) βˆ’ (𝐸 + 1)) = 0)
120118, 119eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 1) βˆ’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))) = 0)
121120fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜((𝐸 + 1) βˆ’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))) = ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜0))
122121adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜((𝐸 + 1) βˆ’ (β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))) = ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜0))
12349, 117, 1223eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐸 + 1)) = ((π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)β€˜0))
1247fveq2i 6846 . . . . . . 7 (π‘Šβ€˜πΈ) = (π‘Šβ€˜((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1))
125124a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜πΈ) = (π‘Šβ€˜((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)))
12672adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
1277oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 (𝐸 βˆ’ 1) = (((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) βˆ’ 1)
128 elfzonn0 13623 . . . . . . . . . . . . 13 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0)
12980, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0)
130129nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„‚)
131130, 104pncand 11518 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) βˆ’ 1) = (β—‘π‘Šβ€˜π½))
132127, 131eqtr2id 2786 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) = (𝐸 βˆ’ 1))
133132adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) = (𝐸 βˆ’ 1))
134 nn0p1gt0 12447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0 β†’ 0 < ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1))
135129, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1))
136135, 7breqtrrdi 5148 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
137136gt0ne0d 11724 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
138137adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝐸 β‰  0)
139 fzo1fzo0n0 13629 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝐸 β‰  0))
14026, 138, 139sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝐸 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)))
141 elfzo1elm1fzo0 13679 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝐸 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝐸 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
143133, 142eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
1441, 10, 35, 126, 143cycpmfv1 32011 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜(β—‘π‘Šβ€˜π½))) = (π‘Šβ€˜((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)))
145 f1f1orn 6796 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
14672, 145syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
147 f1ocnvfv2 7224 . . . . . . . . 9 ((π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ∧ 𝐽 ∈ ran π‘Š) β†’ (π‘Šβ€˜(β—‘π‘Šβ€˜π½)) = 𝐽)
148146, 6, 147syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(β—‘π‘Šβ€˜π½)) = 𝐽)
149148fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜(β—‘π‘Šβ€˜π½))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½))
150149adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜(β—‘π‘Šβ€˜π½))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½))
151125, 144, 1503eqtr2rd 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½) = (π‘Šβ€˜πΈ))
15242, 123, 1513eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐸 + 1)) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½))
15331, 34, 1523eqtr3rd 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))
154149adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜(β—‘π‘Šβ€˜π½))) = ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½))
1553adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
15617adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
15772adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
158136adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 0 < 𝐸)
159 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š))
160158, 159breqtrd 5132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
161 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝐸 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐸 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
162132, 161sylan9eq 2793 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
1631, 155, 156, 157, 160, 162cycpmfv2 32012 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜(β—‘π‘Šβ€˜π½))) = (π‘Šβ€˜0))
164154, 163eqtr3d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½) = (π‘Šβ€˜0))
16522adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝐷)
16624adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
167 nn0p1gt0 12447 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
16837, 167syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
169168, 111breqtrrd 5134 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ))
170169adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ))
17127adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
172159, 171eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝐸 = ((β™―β€˜π‘ˆ) βˆ’ 1))
1731, 155, 165, 166, 170, 172cycpmfv2 32012 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜πΈ)) = (π‘ˆβ€˜0))
17447fveq1d 6845 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜0) = ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0))
175174adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆβ€˜0) = ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0))
176 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ β„•0 β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„•)
17797, 176syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 1) ∈ β„•)
178 lbfzo0 13618 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)) ↔ (𝐸 + 1) ∈ β„•)
179177, 178sylibr 233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(𝐸 + 1)))
18087oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))) = (0..^(𝐸 + 1)))
181179, 180eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))))
182 ccatval1 14471 . . . . . . . 8 ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷 ∧ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)))) β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0))
18353, 56, 181, 182syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0))
184 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . 12 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ β„•)
185129, 184syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ β„•)
1867, 185eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•)
187 lbfzo0 13618 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^𝐸) ↔ 𝐸 ∈ β„•)
188186, 187sylibr 233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝐸))
18985oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))) = (0..^𝐸))
190188, 189eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸))))
191 ccatval1 14471 . . . . . . . 8 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐸)))) β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0) = ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0))
19251, 19, 190, 191syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)β€˜0) = ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0))
193 fzne1 31738 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝐸 β‰  0) β†’ 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(β™―β€˜π‘Š)))
19483, 137, 193syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((0 + 1)...(β™―β€˜π‘Š)))
195 0p1e1 12280 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
196195oveq1i 7368 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(β™―β€˜π‘Š)) = (1...(β™―β€˜π‘Š))
197194, 196eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
198 pfxfv0 14586 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
19917, 197, 198syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
200183, 192, 1993eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
201200adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
202173, 175, 2013eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜πΈ)) = (π‘Šβ€˜0))
20333adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜(π‘ˆβ€˜πΈ)) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))
204164, 202, 2033eqtr2d 2779 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))
205 elfzr 13691 . . . 4 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∨ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)))
20683, 205syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∨ 𝐸 = (β™―β€˜π‘Š)))
207153, 204, 206mpjaodan 958 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜π½) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))
2089, 207eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š)β€˜((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ)) = ((π‘€β€˜π‘ˆ)β€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  βŸ¨cop 4593  βŸ¨cotp 4595   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   ++ cconcat 14464  βŸ¨β€œcs1 14489   substr csubstr 14534   prefix cpfx 14564   splice csplice 14643  βŸ¨β€œcs2 14736  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-splice 14644  df-csh 14683  df-s2 14743  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cycpmco2  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator