Theorem f1oco 6857

Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oco	⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem f1oco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 6551	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐵–onto→𝐶))
2		df-f1o 6551	. . 3 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
3		f1co 6800	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶)
4		foco 6820	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶)
5	3, 4	anim12i 614	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (𝐹:𝐵–onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
6	5	an4s 659	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐵–onto→𝐶) ∧ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
7	1, 2, 6	syl2anb 599	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
8		df-f1o 6551	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∘ ccom 5681  –1-1→wf1 6541  –onto→wfo 6542  –1-1-onto→wf1o 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551

This theorem is referenced by:  fveqf1o  7301  f1ofvswap  7304  isotr  7333  ener  8997  omf1o  9075  enfixsn  9081  entrfil  9188  oef1o  9693  cnfcom3  9699  infxpenc  10013  ackbij2lem2  10235  canthp1lem2  10648  pwfseqlem5  10658  hashfacen  14413  hashfacenOLD  14414  summolem3  15660  fsumf1o  15669  ackbijnn  15774  prodmolem3  15877  fprodf1o  15890  eulerthlem2  16715  symgcl  19252  pmtrfconj  19334  gsumval3eu  19772  gsumval3lem1  19773  gsumval3  19775  lmimco  21399  resinf1o  26045  motco  27791  counop  31174  symgcom  32244  pmtrcnel  32250  cycpmcl  32275  cycpmconjslem2  32314  cycpmconjs  32315  eulerpartgbij  33371  derangenlem  34162  subfacp1lem5  34175  poimirlem9  36497  poimirlem15  36503  poimirlem16  36504  poimirlem17  36505  poimirlem19  36507  poimirlem20  36508  rngoisoco  36850  lautco  38968  metakunt34  41018  clsneif1o  42855  neicvgf1o  42865  isomushgr  46494  isomgrtr  46507  uspgrbisymrelALT  46533