MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oco 6871
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 6568 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶))
2 df-f1o 6568 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵))
3 f1co 6815 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
4 foco 6834 . . . . 5 ((𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶)
53, 4anim12i 613 . . . 4 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
65an4s 660 . . 3 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶) ∧ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
71, 2, 6syl2anb 598 . 2 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
8 df-f1o 6568 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
97, 8sylibr 234 1 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  ccom 5689  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568
This theorem is referenced by:  fveqf1o  7322  f1ocoima  7323  f1ofvswap  7326  isotr  7356  ener  9041  omf1o  9115  enfixsn  9121  entrfil  9225  oef1o  9738  cnfcom3  9744  infxpenc  10058  ackbij2lem2  10279  canthp1lem2  10693  pwfseqlem5  10703  hashfacen  14493  summolem3  15750  fsumf1o  15759  ackbijnn  15864  prodmolem3  15969  fprodf1o  15982  eulerthlem2  16819  symgcl  19402  pmtrfconj  19484  gsumval3eu  19922  gsumval3lem1  19923  gsumval3  19925  lmimco  21864  resinf1o  26578  motco  28548  counop  31940  symgcom  33103  pmtrcnel  33109  cycpmcl  33136  cycpmconjslem2  33175  cycpmconjs  33176  1arithidomlem2  33564  eulerpartgbij  34374  derangenlem  35176  subfacp1lem5  35189  poimirlem9  37636  poimirlem15  37642  poimirlem16  37643  poimirlem17  37644  poimirlem19  37646  poimirlem20  37647  rngoisoco  37989  lautco  40099  metakunt34  42239  clsneif1o  44117  neicvgf1o  44127  grimco  47880  gricushgr  47886  grlictr  47975  uspgrbisymrelALT  48071
  Copyright terms: Public domain W3C validator