MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oco 6616
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 6335 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶))
2 df-f1o 6335 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵))
3 f1co 6564 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
4 foco 6581 . . . . 5 ((𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶)
53, 4anim12i 615 . . . 4 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
65an4s 659 . . 3 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶) ∧ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
71, 2, 6syl2anb 600 . 2 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
8 df-f1o 6335 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
97, 8sylibr 237 1 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  ccom 5527  1-1wf1 6325  ontowfo 6326  1-1-ontowf1o 6327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335
This theorem is referenced by:  fveqf1o  7041  isotr  7072  ener  8543  omf1o  8607  enfixsn  8613  oef1o  9149  cnfcom3  9155  infxpenc  9433  ackbij2lem2  9655  canthp1lem2  10068  pwfseqlem5  10078  hashfacen  13812  summolem3  15066  fsumf1o  15075  ackbijnn  15178  prodmolem3  15282  fprodf1o  15295  eulerthlem2  16112  symgcl  18508  pmtrfconj  18589  gsumval3eu  19020  gsumval3lem1  19021  gsumval3  19023  lmimco  20536  resinf1o  25131  motco  26337  counop  29707  symgcom  30780  pmtrcnel  30786  cycpmcl  30811  cycpmconjslem2  30850  cycpmconjs  30851  eulerpartgbij  31738  derangenlem  32526  subfacp1lem5  32539  poimirlem9  35059  poimirlem15  35065  poimirlem16  35066  poimirlem17  35067  poimirlem19  35069  poimirlem20  35070  rngoisoco  35413  lautco  37386  clsneif1o  40794  neicvgf1o  40804  isomushgr  44331  isomgrtr  44344  uspgrbisymrelALT  44370
  Copyright terms: Public domain W3C validator