Theorem f1oco 6791

Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oco	⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem f1oco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 6493	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐵–onto→𝐶))
2		df-f1o 6493	. . 3 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
3		f1co 6735	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶)
4		foco 6754	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶)
5	3, 4	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (𝐹:𝐵–onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
6	5	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐵–onto→𝐶) ∧ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
7	1, 2, 6	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
8		df-f1o 6493	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–onto→𝐶))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∘ ccom 5627  –1-1→wf1 6483  –onto→wfo 6484  –1-1-onto→wf1o 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493

This theorem is referenced by:  fveqf1o  7243  f1ocoima  7244  f1ofvswap  7247  isotr  7277  ener  8933  omf1o  9004  enfixsn  9010  entrfil  9109  oef1o  9613  cnfcom3  9619  infxpenc  9931  ackbij2lem2  10152  canthp1lem2  10566  pwfseqlem5  10576  hashfacen  14379  summolem3  15639  fsumf1o  15648  ackbijnn  15753  prodmolem3  15858  fprodf1o  15871  eulerthlem2  16711  symgcl  19282  pmtrfconj  19363  gsumval3eu  19801  gsumval3lem1  19802  gsumval3  19804  lmimco  21769  resinf1o  26461  motco  28503  counop  31883  symgcom  33038  pmtrcnel  33044  cycpmcl  33071  cycpmconjslem2  33110  cycpmconjs  33111  1arithidomlem2  33483  eulerpartgbij  34339  derangenlem  35143  subfacp1lem5  35156  poimirlem9  37608  poimirlem15  37614  poimirlem16  37615  poimirlem17  37616  poimirlem19  37618  poimirlem20  37619  rngoisoco  37961  lautco  40076  clsneif1o  44077  neicvgf1o  44087  grimco  47874  gricushgr  47902  grlictr  48000  uspgrbisymrelALT  48140