MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oco 6804
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 6500 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶))
2 df-f1o 6500 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵))
3 f1co 6747 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
4 foco 6767 . . . . 5 ((𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶)
53, 4anim12i 613 . . . 4 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
65an4s 658 . . 3 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶) ∧ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
71, 2, 6syl2anb 598 . 2 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
8 df-f1o 6500 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
97, 8sylibr 233 1 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  ccom 5635  1-1wf1 6490  ontowfo 6491  1-1-ontowf1o 6492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500
This theorem is referenced by:  fveqf1o  7245  f1ofvswap  7248  isotr  7277  ener  8937  omf1o  9015  enfixsn  9021  entrfil  9128  oef1o  9630  cnfcom3  9636  infxpenc  9950  ackbij2lem2  10172  canthp1lem2  10585  pwfseqlem5  10595  hashfacen  14343  hashfacenOLD  14344  summolem3  15591  fsumf1o  15600  ackbijnn  15705  prodmolem3  15808  fprodf1o  15821  eulerthlem2  16646  symgcl  19157  pmtrfconj  19239  gsumval3eu  19672  gsumval3lem1  19673  gsumval3  19675  lmimco  21235  resinf1o  25876  motco  27368  counop  30749  symgcom  31817  pmtrcnel  31823  cycpmcl  31848  cycpmconjslem2  31887  cycpmconjs  31888  eulerpartgbij  32841  derangenlem  33634  subfacp1lem5  33647  poimirlem9  36054  poimirlem15  36060  poimirlem16  36061  poimirlem17  36062  poimirlem19  36064  poimirlem20  36065  rngoisoco  36408  lautco  38527  metakunt34  40577  clsneif1o  42318  neicvgf1o  42328  isomushgr  45950  isomgrtr  45963  uspgrbisymrelALT  45989
  Copyright terms: Public domain W3C validator