Theorem cycpmco2lem7 33134

Description: Lemma for cycpmco2 33135. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
cycpmco2lem7.3	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem7	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		ssrab2 4089	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
5		cycpmco2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	1, 6, 7	tocycf 33119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	9	fdmd 6746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	5, 10	eleqtrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	4, 11	sselid 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
13		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
14	13	eldifad 3974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
15	14	s1cld 14637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		splcl 14786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
18	3, 17	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
19		cycpmco2.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
20		cycpmco2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
21	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2f1 33126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
23		dmeq 5916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
24		eqidd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
25	22, 23, 24	f1eq123d 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
26	25	elrab 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
27	11, 26	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
29		f1cnv 6872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
30		f1of 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
31	28, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
32	31, 19	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
33		wrddm 14555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
34	12, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
35	32, 34	eleqtrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		fzofzp1 13799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
38	20, 37	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39		elfzuz3 13557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸))
40		fzoss2 13723	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
42	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2lem3 33130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
43	42	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑈) − 1)) = (0..^(♯‘𝑊)))
44	41, 43	sseqtrrd 4036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45		cycpmco2lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))
46	44, 45	sseldd 3995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
47	1, 2, 18, 21, 46	cycpmfv1 33115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)))
48		cycpmco2lem7.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
49		f1f1orn 6859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
50	21, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
51		ssun1 4187	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
52	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2rn 33127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
53	51, 52	sseqtrrid 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
54	53	sselda 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55		f1ocnvfv2 7296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
56	50, 54, 55	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
57	56	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
58	48, 57	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
59		f1f1orn 6859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
60	28, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
61	41, 34	sseqtrrd 4036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ dom 𝑊)
62	61, 45	sseldd 3995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊)
63		f1ocnvfv1 7295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
64	60, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
65	3	fveq1i 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾))
66		fz0ssnn0 13658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
67	66, 38	sselid 3992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
68		nn0fz0 13661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
69	67, 68	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
70	12, 69, 38, 15, 45	splfv1 14789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
71	65, 70	eqtrid 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
72	48, 56	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
73	71, 72	eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
74	73	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑊‘𝐾))
75	64, 74	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
76	75	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) = ((◡𝑊‘𝐾) + 1))
77	76	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
78	47, 58, 77	3eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
79	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
80	79	fveq1d 6908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
81	38	elfzelzd 13561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
82		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
83	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
84	83	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) = (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1))
85		elfzonn0 13743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
86	35, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
87	86	nn0cnd 12586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℂ)
88		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
89	87, 88	pncand 11618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1) = (◡𝑊‘𝐽))
90	84, 89	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
92		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))
93	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
94	91, 92, 93	3eqtr2rd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐽))
95	94	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)))
96		f1ocnvfv2 7296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
97	60, 48, 96	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
99		f1ocnvfv2 7296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
100	60, 19, 99	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
102	95, 98, 101	3eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 = 𝐽)
103		cycpmco2lem7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 ≠ 𝐽)
105	102, 104	pm2.21ddne 3023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
106		0zd 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
107		nn0p1nn 12562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
108	86, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
109	20, 108	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
110		0p1e1 12385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
111	110	fveq2i 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
112		nnuz 12918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
113	111, 112	eqtr4i 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
114	109, 113	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
115		fzosplitsnm1 13775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
116	106, 114, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
117	45, 116	eleqtrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
118		fvex 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈‘𝐾) ∈ V
119		elunsn 4687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ V → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))))
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
121	117, 120	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
122	82, 105, 121	mpjaodan 960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
123		elfzom1elp1fzo 13767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
124	81, 122, 123	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
125	76, 124	eqeltrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
126	12, 69, 38, 15, 125	splfv1 14789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
127	80, 126	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
128		1zzd 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
129	81, 128	zsubcld 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ∈ ℤ)
130		lencl 14567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
131		nn0fz0 13661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
132	131	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
133	12, 130, 132	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
134	133	elfzelzd 13561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135	134, 128	zsubcld 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
136	109	nnred 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
137	134	zred 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
138		1red 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
139		elfzle2 13564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
140	38, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
141	136, 137, 138, 140	lesub1dd 11876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
142		eluz 12889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) ↔ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
143	142	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
144	129, 135, 141, 143	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
145		fzoss2 13723	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
146	144, 145	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
147	146, 122	sseldd 3995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
148	75, 147	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
149	1, 2, 12, 28, 148	cycpmfv1 33115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
150	97	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
151	127, 149, 150	3eqtr2rd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
152	78, 151	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  {crab 3432  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  {csn 4630  ⟨cotp 4638   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  ⟶wf 6558  –1-1→wf1 6559  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  ♯chash 14365  Word cword 14548  ⟨“cs1 14629   splice csplice 14783  Basecbs 17244  SymGrpcsymg 19400  toCycctocyc 33108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14784  df-csh 14823  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18894  df-symg 19401  df-tocyc 33109

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33135