Theorem cycpmco2lem7 33769

Description: Lemma for cycpmco2 33770. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
cycpmco2lem7.3	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem7	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		ssrab2 4008	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤⟶1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
5		cycpmco2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	1, 6, 7	tocycf 33754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤⟶1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	2, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤⟶1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	9	fdmd 6745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤⟶1-1𝐷})
11	5, 10	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤⟶1-1𝐷})
12	4, 11	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
13		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
14	13	eldifad 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
15	14	s1cld 14780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		splcl 14932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
17	12, 15, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
18	3, 17	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
19		cycpmco2.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
20		cycpmco2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
21	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2f1 33761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈⟶1-1𝐷)
22		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
23		dmeq 5893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
24		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
25	22, 23, 24	f1eq123d 6841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤⟶1-1𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷))
26	25	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤⟶1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷))
27	11, 26	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷))
28	27	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷)
29		f1cnv 6874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶1-1ontodom 𝑊)
30		f1of 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊⟶1-1ontodom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
31	28, 29, 30	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
32	31, 19	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
33		wrddm 14696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
34	12, 33	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
35	32, 34	eleqtrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		fzofzp1 13929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
38	20, 37	eqeltrid 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39		elfzuz3 13683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸))
40		fzoss2 13852	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
41	38, 39, 40	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
42	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2lem3 33765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
43	42	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑈) − 1)) = (0..^(♯‘𝑊)))
44	41, 43	sseqtrrd 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45		cycpmco2lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))
46	44, 45	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
47	1, 2, 18, 21, 46	cycpmfv1 33750	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)))
48		cycpmco2lem7.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
49		f1f1orn 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈:dom 𝑈⟶1-1𝐷 → 𝑈:dom 𝑈⟶1-1ontoran 𝑈)
50	21, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈⟶1-1ontoran 𝑈)
51		ssun1 4179	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
52	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2rn 33762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
53	51, 52	sseqtrrid 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
54	53	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55		f1ocnvfv2 7311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈⟶1-1ontoran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
56	50, 54, 55	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
57	56	fveq2d 6915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
58	48, 57	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
59		f1f1orn 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊)
60	28, 59	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊)
61	41, 34	sseqtrrd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ dom 𝑊)
62	61, 45	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊)
63		f1ocnvfv1 7310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
64	60, 62, 63	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
65	3	fveq1i 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾))
66		fz0ssnn0 13786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
67	66, 38	sselid 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
68		nn0fz0 13789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
69	67, 68	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
70	12, 69, 38, 15, 45	splfv1 14935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
71	65, 70	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
72	48, 56	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
73	71, 72	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
74	73	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑊‘𝐾))
75	64, 74	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
76	75	oveq1d 7461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) = ((◡𝑊‘𝐾) + 1))
77	76	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
78	47, 58, 77	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
79	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
80	79	fveq1d 6913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
81	38	elfzelzd 13687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
82		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
83	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
84	83	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) = (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1))
85		elfzonn0 13872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
86	35, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
87	86	nn0cnd 12699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℂ)
88		1cnd 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
89	87, 88	pncand 11700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1) = (◡𝑊‘𝐽))
90	84, 89	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
91	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
92		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))
93	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
94	91, 92, 93	3eqtr2rd 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐽))
95	94	fveq2d 6915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)))
96		f1ocnvfv2 7311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
97	60, 48, 96	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
98	97	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
99		f1ocnvfv2 7311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
100	60, 19, 99	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
102	95, 98, 101	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 = 𝐽)
103		cycpmco2lem7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
104	103	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 ≠ 𝐽)
105	102, 104	pm2.21ddne 3043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
106		0zd 12735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
107		nn0p1nn 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
108	86, 107	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
109	20, 108	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
110		0p1e1 12493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
111	110	fveq2i 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
112		nnuz 13034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
113	111, 112	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
114	109, 113	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
115		fzosplitsnm1 13905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
116	106, 114, 115	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
117	45, 116	eleqtrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
118		fvex 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈‘𝐾) ∈ V
119		elunsn 4644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ V → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))))
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
121	117, 120	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
122	82, 105, 121	mpjaodan 973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
123		elfzom1elp1fzo 13897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
124	81, 122, 123	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
125	76, 124	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
126	12, 69, 38, 15, 125	splfv1 14935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
127	80, 126	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
128		1zzd 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
129	81, 128	zsubcld 12838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ∈ ℤ)
130		lencl 14708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
131		nn0fz0 13789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
132	131	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
133	12, 130, 132	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
134	133	elfzelzd 13687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135	134, 128	zsubcld 12838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
136	109	nnred 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
137	134	zred 12833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
138		1red 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
139		elfzle2 13691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
140	38, 139	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
141	136, 137, 138, 140	lesub1dd 11962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
142		eluz 13009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) ↔ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
143	142	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
144	129, 135, 141, 143	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
145		fzoss2 13852	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
146	144, 145	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
147	146, 122	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
148	75, 147	eqeltrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
149	1, 2, 12, 28, 148	cycpmfv1 33750	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
150	97	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
151	127, 149, 150	3eqtr2rd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
152	78, 151	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  {csn 4588  ⟨cotp 4861   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656  ran crn 5657  ⟶wf 6557  ⟶1-1wf1 6558  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   ≤ cle 11374   − cmin 11571  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688  ⟨“cs1 14772   splice csplice 14929  Basecbs 17419  SymGrpcsymg 19616  toCycctocyc 33743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-splice 14930  df-csh 14971  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-tset 17479  df-efmnd 19097  df-symg 19617  df-tocyc 33744

This theorem is used by:  cycpmco2  33770