Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem7 30778
Description: Lemma for cycpmco2 30779. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem7.1 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem7.2 (𝜑𝐾𝐽)
cycpmco2lem7.3 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^𝐸))
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem7 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . . 4 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpmco2.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4 ssrab2 4059 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
5 cycpmco2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
6 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
81, 6, 7tocycf 30763 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
109fdmd 6526 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
115, 10eleqtrd 2918 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
124, 11sseldi 3968 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
13 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
1413eldifad 3951 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
1514s1cld 13960 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16 splcl 14117 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
1712, 15, 16syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
183, 17eqeltrid 2920 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Word 𝐷)
19 cycpmco2.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
20 cycpmco2.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
211, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2f1 30770 . . . 4 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1𝐷)
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
23 dmeq 5775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
24 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
2522, 23, 24f1eq123d 6611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2625elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2711, 26sylib 220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2827simprd 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
29 f1cnv 6641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
30 f1of 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3231, 19ffvelrnd 6855 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
33 wrddm 13871 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3412, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3532, 34eleqtrd 2918 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 fzofzp1 13137 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3820, 37eqeltrid 2920 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39 elfzuz3 12908 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸))
40 fzoss2 13068 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
421, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2lem3 30774 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
4342oveq2d 7175 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑈) − 1)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4441, 43sseqtrrd 4011 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45 cycpmco2lem7.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^𝐸))
4644, 45sseldd 3971 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
471, 2, 18, 21, 46cycpmfv1 30759 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)))
48 cycpmco2lem7.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
49 f1f1orn 6629 . . . . . . 7 (𝑈:dom 𝑈1-1𝐷𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
5021, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
51 ssun1 4151 . . . . . . . 8 ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
521, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2rn 30771 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
5351, 52sseqtrrid 4023 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
5453sselda 3970 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55 f1ocnvfv2 7037 . . . . . 6 ((𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5650, 54, 55syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5756fveq2d 6677 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
5848, 57mpdan 685 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
59 f1f1orn 6629 . . . . . . . 8 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
6028, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
6141, 34sseqtrrd 4011 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ dom 𝑊)
6261, 45sseldd 3971 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑊)
63 f1ocnvfv1 7036 . . . . . . 7 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊 ∧ (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑈𝐾))
6460, 62, 63syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑈𝐾))
653fveq1i 6674 . . . . . . . . 9 (𝑈‘(𝑈𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(𝑈𝐾))
66 fz0ssnn0 13005 . . . . . . . . . . . 12 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
6766, 38sseldi 3968 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
68 nn0fz0 13008 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0...𝐸))
6967, 68sylib 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (0...𝐸))
7012, 69, 38, 15, 45splfv1 14120 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
7165, 70syl5eq 2871 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
7248, 56mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
7371, 72eqtr3d 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
7473fveq2d 6677 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑊𝐾))
7564, 74eqtr3d 2861 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) = (𝑊𝐾))
7675oveq1d 7174 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) = ((𝑊𝐾) + 1))
7776fveq2d 6677 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
7847, 58, 773eqtr3d 2867 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
793a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
8079fveq1d 6675 . . . 4 (𝜑 → (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((𝑊𝐾) + 1)))
8167nn0zd 12088 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
82 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
8320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1))
8483oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 − 1) = (((𝑊𝐽) + 1) − 1))
85 elfzonn0 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
8635, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 11960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ ℂ)
88 1cnd 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8987, 88pncand 11001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑊𝐽) + 1) − 1) = (𝑊𝐽))
9084, 89eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊𝐽) = (𝐸 − 1))
9190adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊𝐽) = (𝐸 − 1))
92 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1))
9375adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) = (𝑊𝐾))
9491, 92, 933eqtr2rd 2866 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊𝐾) = (𝑊𝐽))
9594fveq2d 6677 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = (𝑊‘(𝑊𝐽)))
96 f1ocnvfv2 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
9760, 48, 96syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
9897adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
99 f1ocnvfv2 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝐽 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
10060, 19, 99syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
101100adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
10295, 98, 1013eqtr3d 2867 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 = 𝐽)
103 cycpmco2lem7.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝐽)
104103adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾𝐽)
105102, 104pm2.21ddne 3104 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
106 0zd 11996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
107 nn0p1nn 11939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
10886, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
10920, 108eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
110 0p1e1 11762 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
111110fveq2i 6676 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
112 nnuz 12284 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
113111, 112eqtr4i 2850 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
114109, 113eleqtrrdi 2927 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
115 fzosplitsnm1 13115 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
116106, 114, 115syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
11745, 116eleqtrd 2918 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
118 fvex 6686 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐾) ∈ V
119 elunsn 30276 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐾) ∈ V → ((𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1))))
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)))
121117, 120sylib 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)))
12282, 105, 121mpjaodan 955 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
123 elfzom1elp1fzo 13107 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → ((𝑈𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12481, 122, 123syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12576, 124eqeltrrd 2917 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12612, 69, 38, 15, 125splfv1 14120 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((𝑊𝐾) + 1)) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
12780, 126eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
128 1zzd 12016 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12981, 128zsubcld 12095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 − 1) ∈ ℤ)
130 lencl 13886 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
131 nn0fz0 13008 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
132131biimpi 218 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13312, 130, 1323syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
134 elfzelz 12911 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
136135, 128zsubcld 12095 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
137109nnred 11656 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
138135zred 12090 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
139 1red 10645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
140 elfzle2 12914 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
14138, 140syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
142137, 138, 139, 141lesub1dd 11259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
143 eluz 12260 . . . . . . . . 9 (((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)) ↔ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
144143biimpar 480 . . . . . . . 8 ((((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)))
145129, 136, 142, 144syl21anc 835 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)))
146 fzoss2 13068 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)) → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
148147, 122sseldd 3971 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
14975, 148eqeltrrd 2917 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
1501, 2, 12, 28, 149cycpmfv1 30759 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘(𝑊𝐾))) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
15197fveq2d 6677 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘(𝑊𝐾))) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
152127, 150, 1513eqtr2rd 2866 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘𝐾) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
15378, 152eqtr4d 2862 1 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  {crab 3145  Vcvv 3497  cdif 3936  cun 3937  wss 3939  {csn 4570  cotp 4578   class class class wbr 5069  ccnv 5557  dom cdm 5558  ran crn 5559  wf 6354  1-1wf1 6355  1-1-ontowf1o 6357  cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  cle 10679  cmin 10873  cn 11641  0cn0 11900  cz 11984  cuz 12246  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  chash 13693  Word cword 13864  ⟨“cs1 13952   splice csplice 14114  Basecbs 16486  SymGrpcsymg 18498  toCycctocyc 30752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-ot 4579  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13926  df-s1 13953  df-substr 14006  df-pfx 14036  df-splice 14115  df-csh 14154  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-tset 16587  df-efmnd 18037  df-symg 18499  df-tocyc 30753
This theorem is referenced by:  cycpmco2  30779
  Copyright terms: Public domain W3C validator