Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem7 33153
Description: Lemma for cycpmco2 33154. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem7.1 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem7.2 (𝜑𝐾𝐽)
cycpmco2lem7.3 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^𝐸))
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem7 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . . 4 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpmco2.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4 ssrab2 4079 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
5 cycpmco2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
6 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
81, 6, 7tocycf 33138 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
109fdmd 6745 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
115, 10eleqtrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
124, 11sselid 3980 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
13 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
1413eldifad 3962 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
1514s1cld 14642 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16 splcl 14791 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
183, 17eqeltrid 2844 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Word 𝐷)
19 cycpmco2.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
20 cycpmco2.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
211, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2f1 33145 . . . 4 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1𝐷)
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
23 dmeq 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
24 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
2522, 23, 24f1eq123d 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2625elrab 3691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2711, 26sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2827simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
29 f1cnv 6871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
30 f1of 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3231, 19ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
33 wrddm 14560 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3412, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3532, 34eleqtrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 fzofzp1 13804 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3820, 37eqeltrid 2844 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39 elfzuz3 13562 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸))
40 fzoss2 13728 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
421, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2lem3 33149 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
4342oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑈) − 1)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4441, 43sseqtrrd 4020 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45 cycpmco2lem7.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^𝐸))
4644, 45sseldd 3983 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
471, 2, 18, 21, 46cycpmfv1 33134 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)))
48 cycpmco2lem7.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
49 f1f1orn 6858 . . . . . . 7 (𝑈:dom 𝑈1-1𝐷𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
5021, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
51 ssun1 4177 . . . . . . . 8 ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
521, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2rn 33146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
5351, 52sseqtrrid 4026 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
5453sselda 3982 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55 f1ocnvfv2 7298 . . . . . 6 ((𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5650, 54, 55syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5756fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
5848, 57mpdan 687 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
59 f1f1orn 6858 . . . . . . . 8 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
6028, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
6141, 34sseqtrrd 4020 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ dom 𝑊)
6261, 45sseldd 3983 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑊)
63 f1ocnvfv1 7297 . . . . . . 7 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊 ∧ (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑈𝐾))
6460, 62, 63syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑈𝐾))
653fveq1i 6906 . . . . . . . . 9 (𝑈‘(𝑈𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(𝑈𝐾))
66 fz0ssnn0 13663 . . . . . . . . . . . 12 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
6766, 38sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
68 nn0fz0 13666 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0...𝐸))
6967, 68sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (0...𝐸))
7012, 69, 38, 15, 45splfv1 14794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
7165, 70eqtrid 2788 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
7248, 56mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
7371, 72eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
7473fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑊𝐾))
7564, 74eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) = (𝑊𝐾))
7675oveq1d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) = ((𝑊𝐾) + 1))
7776fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
7847, 58, 773eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
793a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
8079fveq1d 6907 . . . 4 (𝜑 → (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((𝑊𝐾) + 1)))
8138elfzelzd 13566 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
82 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
8320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1))
8483oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 − 1) = (((𝑊𝐽) + 1) − 1))
85 elfzonn0 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
8635, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ ℂ)
88 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8987, 88pncand 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑊𝐽) + 1) − 1) = (𝑊𝐽))
9084, 89eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊𝐽) = (𝐸 − 1))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊𝐽) = (𝐸 − 1))
92 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1))
9375adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) = (𝑊𝐾))
9491, 92, 933eqtr2rd 2783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊𝐾) = (𝑊𝐽))
9594fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = (𝑊‘(𝑊𝐽)))
96 f1ocnvfv2 7298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
9760, 48, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
9897adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
99 f1ocnvfv2 7298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝐽 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
10060, 19, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
101100adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
10295, 98, 1013eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 = 𝐽)
103 cycpmco2lem7.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝐽)
104103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾𝐽)
105102, 104pm2.21ddne 3025 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
106 0zd 12627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
107 nn0p1nn 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
10886, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
10920, 108eqeltrid 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
110 0p1e1 12389 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
111110fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
112 nnuz 12922 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
113111, 112eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
114109, 113eleqtrrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
115 fzosplitsnm1 13780 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
116106, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
11745, 116eleqtrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
118 fvex 6918 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐾) ∈ V
119 elunsn 4682 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐾) ∈ V → ((𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1))))
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)))
121117, 120sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)))
12282, 105, 121mpjaodan 960 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
123 elfzom1elp1fzo 13772 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → ((𝑈𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12481, 122, 123syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12576, 124eqeltrrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12612, 69, 38, 15, 125splfv1 14794 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((𝑊𝐾) + 1)) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
12780, 126eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
128 1zzd 12650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12981, 128zsubcld 12729 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 − 1) ∈ ℤ)
130 lencl 14572 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
131 nn0fz0 13666 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
132131biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13312, 130, 1323syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
134133elfzelzd 13566 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135134, 128zsubcld 12729 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
136109nnred 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
137134zred 12724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
138 1red 11263 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
139 elfzle2 13569 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
14038, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
141136, 137, 138, 140lesub1dd 11880 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
142 eluz 12893 . . . . . . . . 9 (((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)) ↔ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
143142biimpar 477 . . . . . . . 8 ((((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)))
144129, 135, 141, 143syl21anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)))
145 fzoss2 13728 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)) → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
146144, 145syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
147146, 122sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
14875, 147eqeltrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
1491, 2, 12, 28, 148cycpmfv1 33134 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘(𝑊𝐾))) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
15097fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘(𝑊𝐾))) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
151127, 149, 1503eqtr2rd 2783 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘𝐾) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
15278, 151eqtr4d 2779 1 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  {csn 4625  cotp 4633   class class class wbr 5142  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  wf 6556  1-1wf1 6557  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cle 11297  cmin 11493  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553  ⟨“cs1 14634   splice csplice 14788  Basecbs 17248  SymGrpcsymg 19387  toCycctocyc 33127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-csh 14828  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18883  df-symg 19388  df-tocyc 33128
This theorem is referenced by:  cycpmco2  33154
  Copyright terms: Public domain W3C validator