Theorem cycpmco2lem7 33225

Description: Lemma for cycpmco2 33226. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
cycpmco2lem7.3	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem7	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		ssrab2 4034	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
5		cycpmco2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	1, 6, 7	tocycf 33210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	9	fdmd 6680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	5, 10	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	4, 11	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
13		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
14	13	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
15	14	s1cld 14539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		splcl 14687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
17	12, 15, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
18	3, 17	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
19		cycpmco2.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
20		cycpmco2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
21	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2f1 33217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
23		dmeq 5860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
24		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
25	22, 23, 24	f1eq123d 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
26	25	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
27	11, 26	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
29		f1cnv 6806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
30		f1of 6782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
31	28, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
32	31, 19	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
33		wrddm 14456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
34	12, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
35	32, 34	eleqtrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		fzofzp1 13692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
38	20, 37	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39		elfzuz3 13449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸))
40		fzoss2 13615	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
42	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2lem3 33221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
43	42	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑈) − 1)) = (0..^(♯‘𝑊)))
44	41, 43	sseqtrrd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45		cycpmco2lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))
46	44, 45	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
47	1, 2, 18, 21, 46	cycpmfv1 33206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)))
48		cycpmco2lem7.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
49		f1f1orn 6793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
50	21, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
51		ssun1 4132	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
52	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2rn 33218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
53	51, 52	sseqtrrid 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
54	53	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55		f1ocnvfv2 7233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
56	50, 54, 55	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
57	56	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
58	48, 57	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
59		f1f1orn 6793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
60	28, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
61	41, 34	sseqtrrd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ dom 𝑊)
62	61, 45	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊)
63		f1ocnvfv1 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
64	60, 62, 63	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
65	3	fveq1i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾))
66		fz0ssnn0 13550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
67	66, 38	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
68		nn0fz0 13553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
69	67, 68	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
70	12, 69, 38, 15, 45	splfv1 14690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
71	65, 70	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
72	48, 56	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
73	71, 72	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
74	73	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑊‘𝐾))
75	64, 74	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
76	75	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) = ((◡𝑊‘𝐾) + 1))
77	76	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
78	47, 58, 77	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
79	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
80	79	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
81	38	elfzelzd 13453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
82		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
83	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
84	83	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) = (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1))
85		elfzonn0 13635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
86	35, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
87	86	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℂ)
88		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
89	87, 88	pncand 11505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1) = (◡𝑊‘𝐽))
90	84, 89	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
92		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))
93	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
94	91, 92, 93	3eqtr2rd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐽))
95	94	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)))
96		f1ocnvfv2 7233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
97	60, 48, 96	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
99		f1ocnvfv2 7233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
100	60, 19, 99	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
102	95, 98, 101	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 = 𝐽)
103		cycpmco2lem7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 ≠ 𝐽)
105	102, 104	pm2.21ddne 3017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
106		0zd 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
107		nn0p1nn 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
108	86, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
109	20, 108	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
110		0p1e1 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
111	110	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
112		nnuz 12802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
113	111, 112	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
114	109, 113	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
115		fzosplitsnm1 13668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
116	106, 114, 115	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
117	45, 116	eleqtrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
118		fvex 6855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈‘𝐾) ∈ V
119		elunsn 4642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ V → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))))
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
121	117, 120	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
122	82, 105, 121	mpjaodan 961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
123		elfzom1elp1fzo 13660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
124	81, 122, 123	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
125	76, 124	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
126	12, 69, 38, 15, 125	splfv1 14690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
127	80, 126	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
128		1zzd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
129	81, 128	zsubcld 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ∈ ℤ)
130		lencl 14468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
131		nn0fz0 13553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
132	131	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
133	12, 130, 132	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
134	133	elfzelzd 13453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135	134, 128	zsubcld 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
136	109	nnred 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
137	134	zred 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
138		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
139		elfzle2 13456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
140	38, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
141	136, 137, 138, 140	lesub1dd 11765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
142		eluz 12777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) ↔ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
143	142	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
144	129, 135, 141, 143	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
145		fzoss2 13615	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
146	144, 145	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
147	146, 122	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
148	75, 147	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
149	1, 2, 12, 28, 148	cycpmfv1 33206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
150	97	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
151	127, 149, 150	3eqtr2rd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
152	78, 151	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ⟨cotp 4590   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448  ⟨“cs1 14531   splice csplice 14684  Basecbs 17148  SymGrpcsymg 19310  toCycctocyc 33199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-csh 14724  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-tset 17208  df-efmnd 18806  df-symg 19311  df-tocyc 33200

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33226