Theorem cycpmco2lem7 33214

Description: Lemma for cycpmco2 33215. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
cycpmco2lem7.3	⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem7	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4		ssrab2 4012	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
5		cycpmco2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	1, 6, 7	tocycf 33199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	9	fdmd 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11	5, 10	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	4, 11	sselid 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
13		cycpmco2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
14	13	eldifad 3895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
15	14	s1cld 14558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		splcl 14706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
17	12, 15, 16	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
18	3, 17	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝐷)
19		cycpmco2.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
20		cycpmco2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
21	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2f1 33206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷)
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
23		dmeq 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
24		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
25	22, 23, 24	f1eq123d 6760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
26	25	elrab 3629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
27	11, 26	sylib 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
28	27	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
29		f1cnv 6792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
30		f1of 6768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
31	28, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
32	31, 19	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ dom 𝑊)
33		wrddm 14475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
34	12, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
35	32, 34	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		fzofzp1 13711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
38	20, 37	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39		elfzuz3 13467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸))
40		fzoss2 13634	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
42	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2lem3 33210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
43	42	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑈) − 1)) = (0..^(♯‘𝑊)))
44	41, 43	sseqtrrd 3952	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45		cycpmco2lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^𝐸))
46	44, 45	sseldd 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
47	1, 2, 18, 21, 46	cycpmfv1 33195	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)))
48		cycpmco2lem7.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ran 𝑊)
49		f1f1orn 6779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈:dom 𝑈–1-1→𝐷 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
50	21, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈)
51		ssun1 4108	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
52	1, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3	cycpmco2rn 33207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
53	51, 52	sseqtrrid 3958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
54	53	sselda 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55		f1ocnvfv2 7222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈:dom 𝑈–1-1-onto→ran 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
56	50, 54, 55	syl2an2r 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
57	56	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
58	48, 57	mpdan 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘(𝑈‘(◡𝑈‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑈)‘𝐾))
59		f1f1orn 6779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
60	28, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
61	41, 34	sseqtrrd 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ dom 𝑊)
62	61, 45	sseldd 3916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊)
63		f1ocnvfv1 7221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
64	60, 62, 63	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑈‘𝐾))
65	3	fveq1i 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾))
66		fz0ssnn0 13568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
67	66, 38	sselid 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
68		nn0fz0 13571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ 𝐸 ∈ (0...𝐸))
69	67, 68	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0...𝐸))
70	12, 69, 38, 15, 45	splfv1 14709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
71	65, 70	eqtrid 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)))
72	48, 56	mpdan 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
73	71, 72	eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑈‘𝐾)) = 𝐾)
74	73	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘(◡𝑈‘𝐾))) = (◡𝑊‘𝐾))
75	64, 74	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
76	75	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) = ((◡𝑊‘𝐾) + 1))
77	76	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑈‘𝐾) + 1)) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
78	47, 58, 77	3eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
79	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
80	79	fveq1d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
81	38	elfzelzd 13471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
82		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
83	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1))
84	83	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) = (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1))
85		elfzonn0 13654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
86	35, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0)
87	86	nn0cnd 12492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) ∈ ℂ)
88		1cnd 11131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
89	87, 88	pncand 11498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((◡𝑊‘𝐽) + 1) − 1) = (◡𝑊‘𝐽))
90	84, 89	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐽) = (𝐸 − 1))
92		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))
93	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐾))
94	91, 92, 93	3eqtr2rd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑊‘𝐾) = (◡𝑊‘𝐽))
95	94	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)))
96		f1ocnvfv2 7222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
97	60, 48, 96	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐾)) = 𝐾)
99		f1ocnvfv2 7222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
100	60, 19, 99	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(◡𝑊‘𝐽)) = 𝐽)
102	95, 98, 101	3eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 = 𝐽)
103		cycpmco2lem7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
104	103	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 ≠ 𝐽)
105	102, 104	pm2.21ddne 3018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)) → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
106		0zd 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
107		nn0p1nn 12468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑊‘𝐽) ∈ ℕ0 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
108	86, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐽) + 1) ∈ ℕ)
109	20, 108	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
110		0p1e1 12290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
111	110	fveq2i 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
112		nnuz 12819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
113	111, 112	eqtr4i 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
114	109, 113	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
115		fzosplitsnm1 13687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
116	106, 114, 115	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
117	45, 116	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
118		fvex 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈‘𝐾) ∈ V
119		elunsn 4616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ V → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1))))
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
121	117, 120	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (◡𝑈‘𝐾) = (𝐸 − 1)))
122	82, 105, 121	mpjaodan 966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
123		elfzom1elp1fzo 13679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
124	81, 122, 123	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑈‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
125	76, 124	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊‘𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
126	12, 69, 38, 15, 125	splfv1 14709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
127	80, 126	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
128		1zzd 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
129	81, 128	zsubcld 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ∈ ℤ)
130		lencl 14487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
131		nn0fz0 13571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
132	131	biimpi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
133	12, 130, 132	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
134	133	elfzelzd 13471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135	134, 128	zsubcld 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
136	109	nnred 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
137	134	zred 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
138		1red 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
139		elfzle2 13474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
140	38, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
141	136, 137, 138, 140	lesub1dd 11758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
142		eluz 12794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) ↔ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
143	142	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
144	129, 135, 141, 143	syl21anc 843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)))
145		fzoss2 13634	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐸 − 1)) → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
146	144, 145	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
147	146, 122	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
148	75, 147	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
149	1, 2, 12, 28, 148	cycpmfv1 33195	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = (𝑊‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
150	97	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘(𝑊‘(◡𝑊‘𝐾))) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))
151	127, 149, 150	3eqtr2rd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘𝐾) = (𝑈‘((◡𝑊‘𝐾) + 1)))
152	78, 151	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑈)‘𝐾) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4556  ⟨cotp 4564   class class class wbr 5073  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   ≤ cle 11172   − cmin 11369  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  ...cfz 13453  ..^cfzo 13600  ♯chash 14284  Word cword 14467  ⟨“cs1 14550   splice csplice 14703  Basecbs 17171  SymGrpcsymg 19336  toCycctocyc 33188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-ot 4565  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-splice 14704  df-csh 14743  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-tset 17231  df-efmnd 18829  df-symg 19337  df-tocyc 33189

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33215