Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2lem7 30978
Description: Lemma for cycpmco2 30979. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmco2.w (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
cycpmco2.1 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
cycpmco2lem7.1 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2lem7.2 (𝜑𝐾𝐽)
cycpmco2lem7.3 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^𝐸))
Assertion
Ref Expression
cycpmco2lem7 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))

Proof of Theorem cycpmco2lem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.c . . . 4 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpmco2.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpmco2.1 . . . . 5 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)
4 ssrab2 3969 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ⊆ Word 𝐷
5 cycpmco2.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝑀)
6 cycpmco2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
81, 6, 7tocycf 30963 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
109fdmd 6515 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
115, 10eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
124, 11sseldi 3875 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
13 cycpmco2.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
1413eldifad 3855 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
1514s1cld 14048 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷)
16 splcl 14205 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word 𝐷) → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
1712, 15, 16syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩) ∈ Word 𝐷)
183, 17eqeltrid 2837 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Word 𝐷)
19 cycpmco2.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ran 𝑊)
20 cycpmco2.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1)
211, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2f1 30970 . . . 4 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1𝐷)
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
23 dmeq 5746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
24 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
2522, 23, 24f1eq123d 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2625elrab 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2711, 26sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
2827simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
29 f1cnv 6643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
30 f1of 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
3231, 19ffvelrnd 6864 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ dom 𝑊)
33 wrddm 13964 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3412, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3532, 34eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 fzofzp1 13227 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3820, 37eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39 elfzuz3 12997 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸))
40 fzoss2 13158 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐸) → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
421, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2lem3 30974 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑈) − 1) = (♯‘𝑊))
4342oveq2d 7188 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑈) − 1)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4441, 43sseqtrrd 3918 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
45 cycpmco2lem7.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^𝐸))
4644, 45sseldd 3878 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑈) − 1)))
471, 2, 18, 21, 46cycpmfv1 30959 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)))
48 cycpmco2lem7.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊)
49 f1f1orn 6631 . . . . . . 7 (𝑈:dom 𝑈1-1𝐷𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
5021, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈)
51 ssun1 4062 . . . . . . . 8 ran 𝑊 ⊆ (ran 𝑊 ∪ {𝐼})
521, 6, 2, 5, 13, 19, 20, 3cycpmco2rn 30971 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝑈 = (ran 𝑊 ∪ {𝐼}))
5351, 52sseqtrrid 3930 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ ran 𝑈)
5453sselda 3877 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → 𝐾 ∈ ran 𝑈)
55 f1ocnvfv2 7047 . . . . . 6 ((𝑈:dom 𝑈1-1-onto→ran 𝑈𝐾 ∈ ran 𝑈) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5650, 54, 55syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
5756fveq2d 6680 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
5848, 57mpdan 687 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘(𝑈‘(𝑈𝐾))) = ((𝑀𝑈)‘𝐾))
59 f1f1orn 6631 . . . . . . . 8 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
6028, 59syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
6141, 34sseqtrrd 3918 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^𝐸) ⊆ dom 𝑊)
6261, 45sseldd 3878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑊)
63 f1ocnvfv1 7046 . . . . . . 7 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊 ∧ (𝑈𝐾) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑈𝐾))
6460, 62, 63syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑈𝐾))
653fveq1i 6677 . . . . . . . . 9 (𝑈‘(𝑈𝐾)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(𝑈𝐾))
66 fz0ssnn0 13095 . . . . . . . . . . . 12 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0
6766, 38sseldi 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
68 nn0fz0 13098 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ (0...𝐸))
6967, 68sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (0...𝐸))
7012, 69, 38, 15, 45splfv1 14208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
7165, 70syl5eq 2785 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = (𝑊‘(𝑈𝐾)))
7248, 56mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
7371, 72eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊‘(𝑈𝐾)) = 𝐾)
7473fveq2d 6680 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊‘(𝑈𝐾))) = (𝑊𝐾))
7564, 74eqtr3d 2775 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) = (𝑊𝐾))
7675oveq1d 7187 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) = ((𝑊𝐾) + 1))
7776fveq2d 6680 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑈𝐾) + 1)) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
7847, 58, 773eqtr3d 2781 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
793a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩))
8079fveq1d 6678 . . . 4 (𝜑 → (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)) = ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((𝑊𝐾) + 1)))
8138elfzelzd 13001 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
82 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
8320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = ((𝑊𝐽) + 1))
8483oveq1d 7187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 − 1) = (((𝑊𝐽) + 1) − 1))
85 elfzonn0 13175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊𝐽) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
8635, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 12040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐽) ∈ ℂ)
88 1cnd 10716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8987, 88pncand 11078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑊𝐽) + 1) − 1) = (𝑊𝐽))
9084, 89eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊𝐽) = (𝐸 − 1))
9190adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊𝐽) = (𝐸 − 1))
92 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1))
9375adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) = (𝑊𝐾))
9491, 92, 933eqtr2rd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊𝐾) = (𝑊𝐽))
9594fveq2d 6680 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = (𝑊‘(𝑊𝐽)))
96 f1ocnvfv2 7047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝐾 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
9760, 48, 96syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
9897adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐾)) = 𝐾)
99 f1ocnvfv2 7047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝐽 ∈ ran 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
10060, 19, 99syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
101100adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑊‘(𝑊𝐽)) = 𝐽)
10295, 98, 1013eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾 = 𝐽)
103 cycpmco2lem7.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝐽)
104103adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → 𝐾𝐽)
105102, 104pm2.21ddne 3018 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)) → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
106 0zd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
107 nn0p1nn 12017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
10886, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊𝐽) + 1) ∈ ℕ)
10920, 108eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
110 0p1e1 11840 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
111110fveq2i 6679 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
112 nnuz 12365 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
113111, 112eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
114109, 113eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
115 fzosplitsnm1 13205 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
116106, 114, 115syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝐸) = ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
11745, 116eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}))
118 fvex 6689 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐾) ∈ V
119 elunsn 30434 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐾) ∈ V → ((𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1))))
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝐾) ∈ ((0..^(𝐸 − 1)) ∪ {(𝐸 − 1)}) ↔ ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)))
121117, 120sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)) ∨ (𝑈𝐾) = (𝐸 − 1)))
12282, 105, 121mpjaodan 958 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1)))
123 elfzom1elp1fzo 13197 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (𝑈𝐾) ∈ (0..^(𝐸 − 1))) → ((𝑈𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12481, 122, 123syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12576, 124eqeltrrd 2834 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐾) + 1) ∈ (0..^𝐸))
12612, 69, 38, 15, 125splfv1 14208 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)‘((𝑊𝐾) + 1)) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
12780, 126eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
128 1zzd 12096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12981, 128zsubcld 12175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 − 1) ∈ ℤ)
130 lencl 13976 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
131 nn0fz0 13098 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
132131biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13312, 130, 1323syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
134133elfzelzd 13001 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
135134, 128zsubcld 12175 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
136109nnred 11733 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
137134zred 12170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
138 1red 10722 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
139 elfzle2 13004 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
14038, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ≤ (♯‘𝑊))
141136, 137, 138, 140lesub1dd 11336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
142 eluz 12340 . . . . . . . . 9 (((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)) ↔ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
143142biimpar 481 . . . . . . . 8 ((((𝐸 − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐸 − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)))
144129, 135, 141, 143syl21anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)))
145 fzoss2 13158 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(𝐸 − 1)) → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
146144, 145syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(𝐸 − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
147146, 122sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
14875, 147eqeltrrd 2834 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝐾) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
1491, 2, 12, 28, 148cycpmfv1 30959 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘(𝑊𝐾))) = (𝑊‘((𝑊𝐾) + 1)))
15097fveq2d 6680 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘(𝑊‘(𝑊𝐾))) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
151127, 149, 1503eqtr2rd 2780 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑊)‘𝐾) = (𝑈‘((𝑊𝐾) + 1)))
15278, 151eqtr4d 2776 1 (𝜑 → ((𝑀𝑈)‘𝐾) = ((𝑀𝑊)‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  {crab 3057  Vcvv 3398  cdif 3840  cun 3841  wss 3843  {csn 4516  cotp 4524   class class class wbr 5030  ccnv 5524  dom cdm 5525  ran crn 5526  wf 6335  1-1wf1 6336  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  (class class class)co 7172  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620  cle 10756  cmin 10950  cn 11718  0cn0 11978  cz 12064  cuz 12326  ...cfz 12983  ..^cfzo 13126  chash 13784  Word cword 13957  ⟨“cs1 14040   splice csplice 14202  Basecbs 16588  SymGrpcsymg 18615  toCycctocyc 30952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-hash 13785  df-word 13958  df-concat 14014  df-s1 14041  df-substr 14094  df-pfx 14124  df-splice 14203  df-csh 14242  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-tset 16689  df-efmnd 18152  df-symg 18616  df-tocyc 30953
This theorem is referenced by:  cycpmco2  30979
  Copyright terms: Public domain W3C validator