Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2f1 32550
Description: The word U used in cycpmco2 32559 is injective, so it can represent a cycle and form a cyclic permutation (π‘€β€˜π‘ˆ). (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2f1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)

Proof of Theorem cycpmco2f1
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 ssrab2 4078 . . . . . 6 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
3 cycpmco2.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
4 cycpmco2.c . . . . . . . . . 10 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
5 cycpmco2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
6 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
74, 5, 6tocycf 32543 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
98fdmd 6729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
103, 9eleqtrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
112, 10sselid 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
12 pfxcl 14632 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
14 cycpmco2.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
1514eldifad 3961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
1615s1cld 14558 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
17 ccatcl 14529 . . . 4 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
1813, 16, 17syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
19 swrdcl 14600 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
2011, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
22 dmeq 5904 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
23 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
2421, 22, 23f1eq123d 6826 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2524elrab 3684 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2610, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2726simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
28 cycpmco2.e . . . . . 6 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
29 f1cnv 6858 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
30 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
3127, 29, 303syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
32 cycpmco2.j . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
3331, 32ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
34 wrddm 14476 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3511, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3633, 35eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
37 fzofzp1 13734 . . . . . . 7 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3928, 38eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
4011, 27, 39pfxf1 32372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸):dom (π‘Š prefix 𝐸)–1-1→𝐷)
4115s1f1 32373 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
42 s1rn 14554 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
4315, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
4443ineq2d 4213 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}))
45 pfxrn2 32370 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) βŠ† ran π‘Š)
4611, 39, 45syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) βŠ† ran π‘Š)
4746ssrind 4236 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† (ran π‘Š ∩ {𝐼}))
4814eldifbd 3962 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
49 disjsn 4716 . . . . . . . 8 ((ran π‘Š ∩ {𝐼}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
5048, 49sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5147, 50sseqtrd 4023 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ…)
52 ss0 4399 . . . . . 6 ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ… β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5351, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5444, 53eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = βˆ…)
551, 13, 16, 40, 41, 54ccatf1 32379 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©):dom ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)–1-1→𝐷)
56 lencl 14488 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
57 nn0fz0 13604 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5857biimpi 215 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5911, 56, 583syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6011, 39, 59, 27swrdf1 32384 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩):dom (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)–1-1→𝐷)
61 ccatrn 14544 . . . . . . 7 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
6213, 16, 61syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
6362ineq1d 4212 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
64 indir 4276 . . . . 5 ((ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
6563, 64eqtrdi 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
66 fz0ssnn0 13601 . . . . . . . . . 10 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
6766, 39sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
68 pfxval 14628 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
6911, 67, 68syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
7069rneqd 5938 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) = ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
7170ineq1d 4212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
72 0elfz 13603 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝐸))
7367, 72syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝐸))
74 elfzuz3 13503 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ))
75 eluzfz1 13513 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ 𝐸 ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7639, 74, 753syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
77 eluzfz2 13514 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7839, 74, 773syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7911, 73, 39, 27, 76, 78swrdrndisj 32385 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
8071, 79eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
81 incom 4202 . . . . . 6 (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)
8243ineq2d 4213 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}))
83 swrdrn2 32382 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) βŠ† ran π‘Š)
8411, 39, 59, 83syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) βŠ† ran π‘Š)
8584ssrind 4236 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† (ran π‘Š ∩ {𝐼}))
8685, 50sseqtrd 4023 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ…)
87 ss0 4399 . . . . . . . 8 ((ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ… β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
8982, 88eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = βˆ…)
9081, 89eqtrid 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
9180, 90uneq12d 4165 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = (βˆ… βˆͺ βˆ…))
92 unidm 4153 . . . . 5 (βˆ… βˆͺ βˆ…) = βˆ…
9392a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ… βˆͺ βˆ…) = βˆ…)
9465, 91, 933eqtrd 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
951, 18, 20, 55, 60, 94ccatf1 32379 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)):dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))–1-1→𝐷)
96 cycpmco2.1 . . . 4 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
97 ovexd 7447 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
9828, 97eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
99 splval 14706 . . . . 5 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
1003, 98, 98, 16, 99syl13anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
10196, 100eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
102101dmeqd 5906 . . 3 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
103 eqidd 2732 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = 𝐷)
104101, 102, 103f1eq123d 6826 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 ↔ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)):dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))–1-1→𝐷))
10595, 104mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  βŸ¨β€œcs1 14550   substr csubstr 14595   prefix cpfx 14625   splice csplice 14704  Basecbs 17149  SymGrpcsymg 19276  toCycctocyc 32532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-splice 14705  df-csh 14744  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-efmnd 18787  df-symg 19277  df-tocyc 32533
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  32555  cycpmco2lem5  32556  cycpmco2lem6  32557  cycpmco2lem7  32558  cycpmco2  32559
  Copyright terms: Public domain W3C validator