Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2f1 32283
Description: The word U used in cycpmco2 32292 is injective, so it can represent a cycle and form a cyclic permutation (π‘€β€˜π‘ˆ). (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2f1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)

Proof of Theorem cycpmco2f1
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 ssrab2 4078 . . . . . 6 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
3 cycpmco2.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
4 cycpmco2.c . . . . . . . . . 10 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
5 cycpmco2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
74, 5, 6tocycf 32276 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
98fdmd 6729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
103, 9eleqtrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
112, 10sselid 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
12 pfxcl 14627 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
14 cycpmco2.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
1514eldifad 3961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
1615s1cld 14553 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
17 ccatcl 14524 . . . 4 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
1813, 16, 17syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
19 swrdcl 14595 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
2011, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
22 dmeq 5904 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
23 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
2421, 22, 23f1eq123d 6826 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2524elrab 3684 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2610, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2726simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
28 cycpmco2.e . . . . . 6 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
29 f1cnv 6858 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
30 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
3127, 29, 303syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
32 cycpmco2.j . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
3331, 32ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
34 wrddm 14471 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3511, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3633, 35eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
37 fzofzp1 13729 . . . . . . 7 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3928, 38eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
4011, 27, 39pfxf1 32108 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸):dom (π‘Š prefix 𝐸)–1-1→𝐷)
4115s1f1 32109 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
42 s1rn 14549 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
4315, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
4443ineq2d 4213 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}))
45 pfxrn2 32106 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) βŠ† ran π‘Š)
4611, 39, 45syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) βŠ† ran π‘Š)
4746ssrind 4236 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† (ran π‘Š ∩ {𝐼}))
4814eldifbd 3962 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
49 disjsn 4716 . . . . . . . 8 ((ran π‘Š ∩ {𝐼}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
5048, 49sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5147, 50sseqtrd 4023 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ…)
52 ss0 4399 . . . . . 6 ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ… β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5351, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5444, 53eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = βˆ…)
551, 13, 16, 40, 41, 54ccatf1 32115 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©):dom ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)–1-1→𝐷)
56 lencl 14483 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
57 nn0fz0 13599 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5857biimpi 215 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5911, 56, 583syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6011, 39, 59, 27swrdf1 32120 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩):dom (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)–1-1→𝐷)
61 ccatrn 14539 . . . . . . 7 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
6213, 16, 61syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
6362ineq1d 4212 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
64 indir 4276 . . . . 5 ((ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
6563, 64eqtrdi 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
66 fz0ssnn0 13596 . . . . . . . . . 10 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
6766, 39sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
68 pfxval 14623 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
6911, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
7069rneqd 5938 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) = ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
7170ineq1d 4212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
72 0elfz 13598 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝐸))
7367, 72syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝐸))
74 elfzuz3 13498 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ))
75 eluzfz1 13508 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ 𝐸 ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7639, 74, 753syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
77 eluzfz2 13509 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7839, 74, 773syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7911, 73, 39, 27, 76, 78swrdrndisj 32121 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
8071, 79eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
81 incom 4202 . . . . . 6 (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)
8243ineq2d 4213 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}))
83 swrdrn2 32118 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) βŠ† ran π‘Š)
8411, 39, 59, 83syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) βŠ† ran π‘Š)
8584ssrind 4236 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† (ran π‘Š ∩ {𝐼}))
8685, 50sseqtrd 4023 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ…)
87 ss0 4399 . . . . . . . 8 ((ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ… β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
8982, 88eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = βˆ…)
9081, 89eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
9180, 90uneq12d 4165 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = (βˆ… βˆͺ βˆ…))
92 unidm 4153 . . . . 5 (βˆ… βˆͺ βˆ…) = βˆ…
9392a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ… βˆͺ βˆ…) = βˆ…)
9465, 91, 933eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
951, 18, 20, 55, 60, 94ccatf1 32115 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)):dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))–1-1→𝐷)
96 cycpmco2.1 . . . 4 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
97 ovexd 7444 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
9828, 97eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
99 splval 14701 . . . . 5 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
1003, 98, 98, 16, 99syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
10196, 100eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
102101dmeqd 5906 . . 3 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
103 eqidd 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = 𝐷)
104101, 102, 103f1eq123d 6826 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 ↔ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)):dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))–1-1→𝐷))
10595, 104mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545   substr csubstr 14590   prefix cpfx 14620   splice csplice 14699  Basecbs 17144  SymGrpcsymg 19234  toCycctocyc 32265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-csh 14739  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-efmnd 18750  df-symg 19235  df-tocyc 32266
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  32288  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem6  32290  cycpmco2lem7  32291  cycpmco2  32292
  Copyright terms: Public domain W3C validator