Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmco2f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmco2f1 32324
Description: The word U used in cycpmco2 32333 is injective, so it can represent a cycle and form a cyclic permutation (π‘€β€˜π‘ˆ). (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmco2.c 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmco2.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmco2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
cycpmco2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
cycpmco2.e 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
cycpmco2.1 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cycpmco2f1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)

Proof of Theorem cycpmco2f1
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmco2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 ssrab2 4077 . . . . . 6 {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} βŠ† Word 𝐷
3 cycpmco2.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝑀)
4 cycpmco2.c . . . . . . . . . 10 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
5 cycpmco2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
6 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
74, 5, 6tocycf 32317 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
98fdmd 6728 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
103, 9eleqtrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
112, 10sselid 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
12 pfxcl 14629 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷)
14 cycpmco2.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
1514eldifad 3960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
1615s1cld 14555 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
17 ccatcl 14526 . . . 4 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∈ Word 𝐷)
19 swrdcl 14597 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
2011, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∈ Word 𝐷)
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝑀 = π‘Š)
22 dmeq 5903 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ dom 𝑀 = dom π‘Š)
23 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
2421, 22, 23f1eq123d 6825 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2524elrab 3683 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2610, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
2726simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
28 cycpmco2.e . . . . . 6 𝐸 = ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1)
29 f1cnv 6857 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
30 f1of 6833 . . . . . . . . . 10 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
3127, 29, 303syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
32 cycpmco2.j . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘Š)
3331, 32ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ dom π‘Š)
34 wrddm 14473 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3511, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3633, 35eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
37 fzofzp1 13731 . . . . . . 7 ((β—‘π‘Šβ€˜π½) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3928, 38eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
4011, 27, 39pfxf1 32146 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸):dom (π‘Š prefix 𝐸)–1-1→𝐷)
4115s1f1 32147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
42 s1rn 14551 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
4315, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© = {𝐼})
4443ineq2d 4212 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}))
45 pfxrn2 32144 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) βŠ† ran π‘Š)
4611, 39, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) βŠ† ran π‘Š)
4746ssrind 4235 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† (ran π‘Š ∩ {𝐼}))
4814eldifbd 3961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
49 disjsn 4715 . . . . . . . 8 ((ran π‘Š ∩ {𝐼}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐼 ∈ ran π‘Š)
5048, 49sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5147, 50sseqtrd 4022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ…)
52 ss0 4398 . . . . . 6 ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ… β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5351, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
5444, 53eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = βˆ…)
551, 13, 16, 40, 41, 54ccatf1 32153 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©):dom ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)–1-1→𝐷)
56 lencl 14485 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
57 nn0fz0 13601 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5857biimpi 215 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5911, 56, 583syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6011, 39, 59, 27swrdf1 32158 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩):dom (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)–1-1→𝐷)
61 ccatrn 14541 . . . . . . 7 (((π‘Š prefix 𝐸) ∈ Word 𝐷 ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷) β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
6213, 16, 61syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©))
6362ineq1d 4211 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
64 indir 4275 . . . . 5 ((ran (π‘Š prefix 𝐸) βˆͺ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
6563, 64eqtrdi 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))))
66 fz0ssnn0 13598 . . . . . . . . . 10 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„•0
6766, 39sselid 3980 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•0)
68 pfxval 14625 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
6911, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š prefix 𝐸) = (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
7069rneqd 5937 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š prefix 𝐸) = ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩))
7170ineq1d 4211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
72 0elfz 13600 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝐸))
7367, 72syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝐸))
74 elfzuz3 13500 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ))
75 eluzfz1 13510 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ 𝐸 ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7639, 74, 753syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
77 eluzfz2 13511 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜πΈ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7839, 74, 773syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (𝐸...(β™―β€˜π‘Š)))
7911, 73, 39, 27, 76, 78swrdrndisj 32159 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨0, 𝐸⟩) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
8071, 79eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
81 incom 4201 . . . . . 6 (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©)
8243ineq2d 4212 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}))
83 swrdrn2 32156 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) βŠ† ran π‘Š)
8411, 39, 59, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) βŠ† ran π‘Š)
8584ssrind 4235 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† (ran π‘Š ∩ {𝐼}))
8685, 50sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ…)
87 ss0 4398 . . . . . . . 8 ((ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) βŠ† βˆ… β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ {𝐼}) = βˆ…)
8982, 88eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩) ∩ ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) = βˆ…)
9081, 89eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
9180, 90uneq12d 4164 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ran (π‘Š prefix 𝐸) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) βˆͺ (ran βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))) = (βˆ… βˆͺ βˆ…))
92 unidm 4152 . . . . 5 (βˆ… βˆͺ βˆ…) = βˆ…
9392a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ… βˆͺ βˆ…) = βˆ…)
9465, 91, 933eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran ((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ∩ ran (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = βˆ…)
951, 18, 20, 55, 60, 94ccatf1 32153 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)):dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))–1-1→𝐷)
96 cycpmco2.1 . . . 4 π‘ˆ = (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©)
97 ovexd 7446 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Šβ€˜π½) + 1) ∈ V)
9828, 97eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
99 splval 14703 . . . . 5 ((π‘Š ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)) β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
1003, 98, 98, 16, 99syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š splice ⟨𝐸, 𝐸, βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©βŸ©) = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
10196, 100eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
102101dmeqd 5905 . . 3 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
103 eqidd 2733 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = 𝐷)
104101, 102, 103f1eq123d 6825 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷 ↔ (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩)):dom (((π‘Š prefix 𝐸) ++ βŸ¨β€œπΌβ€βŸ©) ++ (π‘Š substr ⟨𝐸, (β™―β€˜π‘Š)⟩))–1-1→𝐷))
10595, 104mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:dom π‘ˆβ€“1-1→𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12474  β„€β‰₯cuz 12824  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  βŸ¨β€œcs1 14547   substr csubstr 14592   prefix cpfx 14622   splice csplice 14701  Basecbs 17146  SymGrpcsymg 19236  toCycctocyc 32306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-csh 14741  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-tset 17218  df-efmnd 18752  df-symg 19237  df-tocyc 32307
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  32329  cycpmco2lem5  32330  cycpmco2lem6  32331  cycpmco2lem7  32332  cycpmco2  32333
  Copyright terms: Public domain W3C validator