Theorem fcoss 41839

Description: Composition of two mappings. Similar to fco 6505, but with a weaker condition on the domain of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcoss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcoss.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fcoss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcoss	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Proof of Theorem fcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcoss.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fcoss.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)
3		fcoss.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	fssd 6502	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐴)
5		fco 6505	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺:𝐷⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3881   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328

This theorem is referenced by:  volicoff  42637  voliooicof  42638  ovolval2  43283  ovolval5lem2  43292  ovnovollem1  43295  ovnovollem2  43296