Theorem fcoss 45188

Description: Composition of two mappings. Similar to fco 6680, but with a weaker condition on the domain of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcoss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcoss.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fcoss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcoss	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Proof of Theorem fcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcoss.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fcoss.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)
3		fcoss.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	fssd 6673	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐴)
5		fco 6680	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺:𝐷⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3905   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490

This theorem is referenced by:  volicoff  45977  voliooicof  45978  ovolval2  46626  ovolval5lem2  46635  ovolval5lem3  46636  ovnovollem1  46638  ovnovollem2  46639