Theorem fcoss 43894

Description: Composition of two mappings. Similar to fco 6738, but with a weaker condition on the domain of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcoss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcoss.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fcoss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcoss	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Proof of Theorem fcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcoss.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fcoss.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)
3		fcoss.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	fssd 6732	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐴)
5		fco 6738	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺:𝐷⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3947   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by:  volicoff  44697  voliooicof  44698  ovolval2  45346  ovolval5lem2  45355  ovolval5lem3  45356  ovnovollem1  45358  ovnovollem2  45359