Theorem fcoss 46496

Description: Composition of two mappings. Similar to fco 6764, but with a weaker condition on the domain of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcoss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcoss.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fcoss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcoss	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Proof of Theorem fcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcoss.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fcoss.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)
3		fcoss.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	fssd 6757	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐴)
5		fco 6764	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺:𝐷⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊆ wss 3900   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570

This theorem is used by:  volicoff  47278  voliooicof  47279  hoicvr  47831  ovolval2  47927  ovolval5lem2  47936  ovolval5lem3  47937  ovnovollem1  47939  ovnovollem2  47940