Theorem fcoss 45246

Description: Composition of two mappings. Similar to fco 6675, but with a weaker condition on the domain of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcoss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcoss.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fcoss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcoss	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Proof of Theorem fcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcoss.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fcoss.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐶)
3		fcoss.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	fssd 6668	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐴)
5		fco 6675	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺:𝐷⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐷⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3902   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485

This theorem is referenced by:  volicoff  46032  voliooicof  46033  ovolval2  46681  ovolval5lem2  46690  ovolval5lem3  46691  ovnovollem1  46693  ovnovollem2  46694