Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval5lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval5lem3 44981
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, using covers of left-closed right-open intervals are used, instead of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval5lem3.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
ovolval5lem3.q 𝑄 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovolval5lem3 inf(𝑄, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑧,𝑦   𝑦,𝑀,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolval5lem3
Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑀 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolval5lem3.q . . . . 5 𝑄 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
21ssrab3 4041 . . . 4 𝑄 βŠ† ℝ*
3 infxrcl 13258 . . . 4 (𝑄 βŠ† ℝ* β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
42, 3mp1i 13 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 ovolval5lem3.m . . . . 5 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
65ssrab3 4041 . . . 4 𝑀 βŠ† ℝ*
7 infxrcl 13258 . . . 4 (𝑀 βŠ† ℝ* β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
86, 7mp1i 13 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
92a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑄 βŠ† ℝ*)
106a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑀 βŠ† ℝ*)
115reqabi 3428 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
1211simprbi 498 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
13 coeq2 5815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((,) ∘ 𝑔) = ((,) ∘ 𝑓))
1413rneqd 5894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 β†’ ran ((,) ∘ 𝑔) = ran ((,) ∘ 𝑓))
1514unieqd 4880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
1615sseq2d 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)))
17 coeq2 5815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔) = ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))
1817fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 β†’ (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))
1918eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
2016, 19anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
2120cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘” ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
2221rabbii 3412 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘” ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
231, 22eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 𝑄 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘” ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}
24 simp3r 1203 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
25 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ (π‘š ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩))) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ (π‘š ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩)))
26 elmapi 8790 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
27263ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
28 simp3l 1202 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
29 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
30 2fveq3 6848 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = (1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
31 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝑛))
3231oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑀 / (2β†‘π‘š)) = (𝑀 / (2↑𝑛)))
3330, 32oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))) = ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)) βˆ’ (𝑀 / (2↑𝑛))))
34 2fveq3 6848 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3533, 34opeq12d 4839 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩ = ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)) βˆ’ (𝑀 / (2↑𝑛))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))⟩)
3635cbvmptv 5219 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)) βˆ’ (𝑀 / (2↑𝑛))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))⟩)
3723, 24, 25, 27, 28, 29, 36ovolval5lem2 44980 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀))
3837rexlimdv3a 3153 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀)))
3912, 38mpan9 508 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀))
40393adant1 1131 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀))
419, 10, 40infleinf 43693 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ))
42 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) ↔ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
4342anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
4443rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
4544cbvrabv 3416 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
47 ioossico 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))) βŠ† ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))[,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))) βŠ† ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))[,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
4926adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
50 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5149, 50fvovco 43501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5249, 50fvovco 43501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))[,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5348, 51, 523sstr4d 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
5453ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
55 ss2iun 4973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘› ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
57 ioof 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ)
59 rexpssxrxp 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
6158, 60, 26fcoss 43518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆπ’« ℝ)
6261ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
63 fniunfv 7195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((,) ∘ 𝑓) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
65 icof 43527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
6766, 60, 26fcoss 43518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ([,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆπ’« ℝ*)
6867ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ([,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
69 fniunfv 7195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (([,) ∘ 𝑓) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7156, 64, 703sstr3d 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7346, 72sstrd 3955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
74 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))
7526voliooicof 44323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))
7675fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
7874, 77eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
7973, 78anim12dan 620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
8079ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
8180reximia 3081 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
8382ss2rabi 4035 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))} βŠ† {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
8445, 83eqsstri 3979 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))} βŠ† {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
8584, 1, 53sstr4i 3988 . . . . 5 𝑄 βŠ† 𝑀
86 infxrss 13264 . . . . 5 ((𝑄 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† ℝ*) β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑄, ℝ*, < ))
8785, 6, 86mp2an 691 . . . 4 inf(𝑀, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑄, ℝ*, < )
8887a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑄, ℝ*, < ))
894, 8, 41, 88xrletrid 13080 . 2 (⊀ β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
9089mptru 1549 1 inf(𝑄, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βŸ¨cop 4593  βˆͺ cuni 4866  βˆͺ ciun 4955   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921   ↑m cmap 8768  infcinf 9382  β„cr 11055  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„+crp 12920   +𝑒 cxad 13036  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  β†‘cexp 13973  volcvol 24843  Ξ£^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  ovolval5  44982
  Copyright terms: Public domain W3C validator