Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval5lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval5lem3 45455
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, using covers of left-closed right-open intervals are used, instead of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval5lem3.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
ovolval5lem3.q 𝑄 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovolval5lem3 inf(𝑄, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑧,𝑦   𝑦,𝑀,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolval5lem3
Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑀 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolval5lem3.q . . . . 5 𝑄 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
21ssrab3 4080 . . . 4 𝑄 βŠ† ℝ*
3 infxrcl 13314 . . . 4 (𝑄 βŠ† ℝ* β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
42, 3mp1i 13 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 ovolval5lem3.m . . . . 5 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
65ssrab3 4080 . . . 4 𝑀 βŠ† ℝ*
7 infxrcl 13314 . . . 4 (𝑀 βŠ† ℝ* β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
86, 7mp1i 13 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
92a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑄 βŠ† ℝ*)
106a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑀 βŠ† ℝ*)
115reqabi 3454 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
1211simprbi 497 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
13 coeq2 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((,) ∘ 𝑔) = ((,) ∘ 𝑓))
1413rneqd 5937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 β†’ ran ((,) ∘ 𝑔) = ran ((,) ∘ 𝑓))
1514unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
1615sseq2d 4014 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)))
17 coeq2 5858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔) = ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))
1817fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 β†’ (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))
1918eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
2016, 19anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
2120cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘” ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
2221rabbii 3438 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘” ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
231, 22eqtr4i 2763 . . . . . . . 8 𝑄 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘” ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}
24 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
25 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ (π‘š ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩))) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ (π‘š ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩)))
26 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
27263ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
28 simp3l 1201 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
29 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
30 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = (1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
31 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝑛))
3231oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑀 / (2β†‘π‘š)) = (𝑀 / (2↑𝑛)))
3330, 32oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))) = ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)) βˆ’ (𝑀 / (2↑𝑛))))
34 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3533, 34opeq12d 4881 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩ = ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)) βˆ’ (𝑀 / (2↑𝑛))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))⟩)
3635cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)) βˆ’ (𝑀 / (2β†‘π‘š))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))⟩) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›)) βˆ’ (𝑀 / (2↑𝑛))), (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))⟩)
3723, 24, 25, 27, 28, 29, 36ovolval5lem2 45454 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀))
3837rexlimdv3a 3159 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀)))
3912, 38mpan9 507 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀))
40393adant1 1130 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑄 𝑧 ≀ (𝑦 +𝑒 𝑀))
419, 10, 40infleinf 44167 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑀, ℝ*, < ))
42 eqeq1 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) ↔ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
4342anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
4443rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
4544cbvrabv 3442 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
46 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
47 ioossico 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))) βŠ† ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))[,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))) βŠ† ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))[,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
4926adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
50 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5149, 50fvovco 43977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5249, 50fvovco 43977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((1st β€˜(π‘“β€˜π‘›))[,)(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5348, 51, 523sstr4d 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
5453ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
55 ss2iun 5015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘› ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›))
57 ioof 13426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ)
59 rexpssxrxp 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
6158, 60, 26fcoss 43994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆπ’« ℝ)
6261ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
63 fniunfv 7248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((,) ∘ 𝑓) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (((,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
65 icof 44003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
6766, 60, 26fcoss 43994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ([,) ∘ 𝑓):β„•βŸΆπ’« ℝ*)
6867ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ([,) ∘ 𝑓) Fn β„•)
69 fniunfv 7248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (([,) ∘ 𝑓) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (([,) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7156, 64, 703sstr3d 4028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
7346, 72sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓))
74 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))
7526voliooicof 44797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))
7675fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
7874, 77eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
7973, 78anim12dan 619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
8079ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
8180reximia 3081 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
8382ss2rabi 4074 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))} βŠ† {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
8445, 83eqsstri 4016 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))} βŠ† {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
8584, 1, 53sstr4i 4025 . . . . 5 𝑄 βŠ† 𝑀
86 infxrss 13320 . . . . 5 ((𝑄 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† ℝ*) β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑄, ℝ*, < ))
8785, 6, 86mp2an 690 . . . 4 inf(𝑀, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑄, ℝ*, < )
8887a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ inf(𝑀, ℝ*, < ) ≀ inf(𝑄, ℝ*, < ))
894, 8, 41, 88xrletrid 13136 . 2 (⊀ β†’ inf(𝑄, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
9089mptru 1548 1 inf(𝑄, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   ↑m cmap 8822  infcinf 9438  β„cr 11111  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„+crp 12976   +𝑒 cxad 13092  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  β†‘cexp 14029  volcvol 24987  Ξ£^csumge0 45163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-sumge0 45164
This theorem is referenced by:  ovolval5  45456
  Copyright terms: Public domain W3C validator