Theorem volicoff 46000

Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
volicoff.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))

Assertion

Ref	Expression
volicoff	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem volicoff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 25437	. . . 4 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
3		icof 45220	. . . . . . 7 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
5		ressxr 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6		xpss1 5660	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
9		volicoff.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
10	4, 8, 9	fcoss 45211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
11	10	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
12	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	fvovco 45194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
15	9	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*))
16		xp1st 8003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
18		xp2nd 8004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
19	15, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
20		icombl 25472	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
22	14, 21	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
23	22	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
24		fnfvrnss 7096	. . . 4 ⊢ ((([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol) → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
25	11, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
26		ffrn 6704	. . . 4 ⊢ (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ* → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
27	10, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
28	2, 25, 27	fcoss 45211	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
29		coass 6241	. . . 4 ⊢ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
30	29	feq1i 6682	. . 3 ⊢ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
31	30	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
32	28, 31	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214  [,)cico 13315  [,]cicc 13316  volcvol 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-xmet 21264  df-met 21265  df-ovol 25372  df-vol 25373

This theorem is referenced by:  volicofmpt  46002