Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volicoff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volicoff 45412
Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
volicoff.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ*))
Assertion
Ref Expression
volicoff (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞))

Proof of Theorem volicoff
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 25478 . . . 4 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
3 icof 44622 . . . . . . 7 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
5 ressxr 11296 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ*
6 xpss1 5701 . . . . . . . 8 (ℝ βŠ† ℝ* β†’ (ℝ Γ— ℝ*) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ Γ— ℝ*) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
87a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— ℝ*) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
9 volicoff.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ*))
104, 8, 9fcoss 44613 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹):π΄βŸΆπ’« ℝ*)
1110ffnd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
129adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ*))
13 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1412, 13fvovco 44596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
159ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ*))
16 xp1st 8031 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ*) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
18 xp2nd 8032 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ*) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
20 icombl 25513 . . . . . . 7 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol)
2117, 19, 20syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol)
2214, 21eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
2322ralrimiva 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
24 fnfvrnss 7136 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol) β†’ ran ([,) ∘ 𝐹) βŠ† dom vol)
2511, 23, 24syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ran ([,) ∘ 𝐹) βŠ† dom vol)
26 ffrn 6741 . . . 4 (([,) ∘ 𝐹):π΄βŸΆπ’« ℝ* β†’ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢ran ([,) ∘ 𝐹))
2710, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢ran ([,) ∘ 𝐹))
282, 25, 27fcoss 44613 . 2 (πœ‘ β†’ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞))
29 coass 6274 . . . 4 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3029feq1i 6718 . . 3 (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞))
3130a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞)))
3228, 31mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  β„cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285  [,)cico 13366  [,]cicc 13367  volcvol 25412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414
This theorem is referenced by:  volicofmpt  45414
  Copyright terms: Public domain W3C validator