Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volicoff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volicoff 45523
Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
volicoff.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
Assertion
Ref Expression
volicoff (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem volicoff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 25507 . . . 4 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
3 icof 44733 . . . . . . 7 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
5 ressxr 11295 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
6 xpss1 5697 . . . . . . . 8 (ℝ ⊆ ℝ* → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
9 volicoff.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
104, 8, 9fcoss 44724 . . . . 5 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
1110ffnd 6724 . . . 4 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
129adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
13 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1412, 13fvovco 44707 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))
159ffvelcdmda 7093 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*))
16 xp1st 8026 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
18 xp2nd 8027 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
20 icombl 25542 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2117, 19, 20syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2214, 21eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2322ralrimiva 3135 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
24 fnfvrnss 7130 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol) → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
2511, 23, 24syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
26 ffrn 6736 . . . 4 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ* → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
2710, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
282, 25, 27fcoss 44724 . 2 (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
29 coass 6271 . . . 4 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3029feq1i 6714 . . 3 (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
3130a1i 11 . 2 (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
3228, 31mpbird 256 1 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wral 3050  wss 3944  𝒫 cpw 4604   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  ccom 5682   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  1st c1st 7992  2nd c2nd 7993  cr 11144  0cc0 11145  +∞cpnf 11282  *cxr 11284  [,)cico 13366  [,]cicc 13367  volcvol 25441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-xmet 21294  df-met 21295  df-ovol 25442  df-vol 25443
This theorem is referenced by:  volicofmpt  45525
  Copyright terms: Public domain W3C validator