Theorem volicoff 46636

Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
volicoff.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))

Assertion

Ref	Expression
volicoff	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem volicoff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 25657	. . . 4 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
3		icof 45862	. . . . . . 7 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
5		ressxr 11253	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6		xpss1 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
9		volicoff.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
10	4, 8, 9	fcoss 45853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
11	10	ffnd 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
12	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
13		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	fvovco 45838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
15	9	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*))
16		xp1st 8018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
18		xp2nd 8019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
19	15, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
20		icombl 25692	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
21	17, 19, 20	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
22	14, 21	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
23	22	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
24		fnfvrnss 7117	. . . 4 ⊢ ((([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol) → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
25	11, 23, 24	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
26		ffrn 6720	. . . 4 ⊢ (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ* → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
27	10, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
28	2, 25, 27	fcoss 45853	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
29		coass 6268	. . . 4 ⊢ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
30	29	feq1i 6697	. . 3 ⊢ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
31	30	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
32	28, 31	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4565   × cxp 5660  dom cdm 5662  ran crn 5663   ∘ ccom 5666   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  ℝcr 11099  0cc0 11100  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242  [,)cico 13374  [,]cicc 13375  volcvol 25591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xadd 13138  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-xmet 21484  df-met 21485  df-ovol 25592  df-vol 25593

This theorem is referenced by:  volicofmpt  46638