Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inmap 41012
 Description: Intersection of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
inmap.a (𝜑𝐴𝑉)
inmap.b (𝜑𝐵𝑊)
inmap.c (𝜑𝐶𝑍)
Assertion
Ref Expression
inmap (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem inmap
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel1 4093 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2 elmapi 8278 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐴)
4 elinel2 4094 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
5 elmapi 8278 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐵)
73, 6jca 512 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝑓:𝐶𝐴𝑓:𝐶𝐵))
8 fin 6427 . . . . . . 7 (𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵) ↔ (𝑓:𝐶𝐴𝑓:𝐶𝐵))
97, 8sylibr 235 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
109adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
11 inmap.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
12 inss1 4125 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
1411, 13ssexd 5119 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
15 inmap.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
1614, 15elmapd 8270 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵)))
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵)))
1810, 17mpbird 258 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
1918ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
20 dfss3 3878 . . 3 (((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
2119, 20sylibr 235 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
22 mapss 8302 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
2311, 13, 22syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
24 inmap.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
25 inss2 4126 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
27 mapss 8302 . . . 4 ((𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
2824, 26, 27syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
2923, 28ssind 4129 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)))
3021, 29eqssd 3906 1 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  Vcvv 3437   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ⟶wf 6221  (class class class)co 7016   ↑𝑚 cmap 8256 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-map 8258 This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  42484  vonvolmbl  42485
 Copyright terms: Public domain W3C validator