Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooicof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooicof 45617
Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
voliooicof.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
voliooicof (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volioof 45608 . . . . 5 (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3 rexpssxrxp 11309 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5 voliooicof.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
62, 4, 5fcoss 44817 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
76ffnd 6729 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8 volf 25549 . . . . . 6 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
10 icof 44826 . . . . . . . . . 10 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
1211, 4, 5fcoss 44817 . . . . . . . 8 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
1312ffnd 6729 . . . . . . 7 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
145adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
15 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1614, 15fvovco 44800 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))
175ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
18 xp1st 8035 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
20 xp2nd 8036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2221rexrd 11314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
23 icombl 25584 . . . . . . . . . 10 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2419, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2516, 24eqeltrd 2826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2625ralrimiva 3136 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2713, 26jca 510 . . . . . 6 (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
28 ffnfv 7133 . . . . . 6 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
2927, 28sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
30 fco 6752 . . . . 5 ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
319, 29, 30syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
32 coass 6276 . . . . . 6 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
3433feq1d 6713 . . . 4 (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
3531, 34mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
3635ffnd 6729 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
3719, 21voliooico 45613 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
385, 4fssd 6745 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
3938adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
4039, 15fvvolioof 45610 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4139, 15fvvolicof 45612 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4237, 40, 413eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
437, 36, 42eqfnfvd 7047 1 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wss 3947  𝒫 cpw 4607   × cxp 5680  dom cdm 5682  ccom 5686   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  1st c1st 8001  2nd c2nd 8002  cr 11157  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  *cxr 11297  (,)cioo 13378  [,)cico 13380  [,]cicc 13381  volcvol 25483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cmp 23382  df-ovol 25484  df-vol 25485
This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  46275
  Copyright terms: Public domain W3C validator