Theorem voliooicof 42288

Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
voliooicof.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
voliooicof	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volioof 42279	. . . . 5 ⊢ (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3		rexpssxrxp 10689	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5		voliooicof.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
6	2, 4, 5	fcoss 41479	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7	6	ffnd 6518	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8		volf 24133	. . . . . 6 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
10		icof 41488	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
12	11, 4, 5	fcoss 41479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
13	12	ffnd 6518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
14	5	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
15		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	14, 15	fvovco 41461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5	ffvelrnda 6854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
18		xp1st 7724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		xp2nd 7725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
23		icombl 24168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
24	19, 22, 23	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
25	16, 24	eqeltrd 2916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
26	25	ralrimiva 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
27	13, 26	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
28		ffnfv 6885	. . . . . 6 ⊢ (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
29	27, 28	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
30		fco 6534	. . . . 5 ⊢ ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
31	9, 29, 30	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
32		coass 6121	. . . . . 6 ⊢ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
34	33	feq1d 6502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
35	31, 34	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
36	35	ffnd 6518	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
37	19, 21	voliooico 42284	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
38	5, 4	fssd 6531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
39	38	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
40	39, 15	fvvolioof 42281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
41	39, 15	fvvolicof 42283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
42	37, 40, 41	3eqtr4d 2869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
43	7, 36, 42	eqfnfvd 6808	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542   × cxp 5556  dom cdm 5558   ∘ ccom 5562   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  1^st c1st 7690  2^nd c2nd 7691  ℝcr 10539  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  ℝ^*cxr 10677  (,)cioo 12741  [,)cico 12743  [,]cicc 12744  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-rest 16699  df-topgen 16720  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-cmp 21998  df-ovol 24068  df-vol 24069

This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  42943