Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooicof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooicof 44327
Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
voliooicof.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
voliooicof (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volioof 44318 . . . . 5 (vol ∘ (,)):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(0[,]+∞)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol ∘ (,)):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(0[,]+∞))
3 rexpssxrxp 11208 . . . . 5 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
5 voliooicof.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ))
62, 4, 5fcoss 43522 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞))
76ffnd 6673 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8 volf 24916 . . . . . 6 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
10 icof 43531 . . . . . . . . . 10 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
1211, 4, 5fcoss 43522 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹):π΄βŸΆπ’« ℝ*)
1312ffnd 6673 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
145adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ))
15 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1614, 15fvovco 43505 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
175ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
18 xp1st 7957 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
20 xp2nd 7958 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2221rexrd 11213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
23 icombl 24951 . . . . . . . . . 10 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol)
2419, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol)
2516, 24eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
2625ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
2713, 26jca 513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol))
28 ffnfv 7070 . . . . . 6 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol))
2927, 28sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢dom vol)
30 fco 6696 . . . . 5 ((vol:dom vol⟢(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢dom vol) β†’ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞))
319, 29, 30syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞))
32 coass 6221 . . . . . 6 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3332a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
3433feq1d 6657 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞)))
3531, 34mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞))
3635ffnd 6673 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
3719, 21voliooico 44323 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
385, 4fssd 6690 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ* Γ— ℝ*))
3938adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ* Γ— ℝ*))
4039, 15fvvolioof 44320 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
4139, 15fvvolicof 44322 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
4237, 40, 413eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
437, 36, 42eqfnfvd 6989 1 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  β„cr 11058  0cc0 11059  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  volcvol 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  44985
  Copyright terms: Public domain W3C validator