Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooicof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooicof 42429
Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
voliooicof.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
voliooicof (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volioof 42420 . . . . 5 (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3 rexpssxrxp 10663 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5 voliooicof.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
62, 4, 5fcoss 41627 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
76ffnd 6488 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8 volf 24111 . . . . . 6 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
10 icof 41636 . . . . . . . . . 10 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
1211, 4, 5fcoss 41627 . . . . . . . 8 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
1312ffnd 6488 . . . . . . 7 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
145adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
15 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1614, 15fvovco 41609 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))
175ffvelrnda 6824 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
18 xp1st 7696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
20 xp2nd 7697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2221rexrd 10668 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
23 icombl 24146 . . . . . . . . . 10 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2419, 22, 23syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2516, 24eqeltrd 2912 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2625ralrimiva 3170 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2713, 26jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
28 ffnfv 6855 . . . . . 6 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
2927, 28sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
30 fco 6504 . . . . 5 ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
319, 29, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
32 coass 6091 . . . . . 6 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
3433feq1d 6472 . . . 4 (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
3531, 34mpbird 260 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
3635ffnd 6488 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
3719, 21voliooico 42425 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
385, 4fssd 6501 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
3938adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
4039, 15fvvolioof 42422 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4139, 15fvvolicof 42424 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4237, 40, 413eqtr4d 2866 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
437, 36, 42eqfnfvd 6778 1 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  wss 3910  𝒫 cpw 4512   × cxp 5526  dom cdm 5528  ccom 5532   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  1st c1st 7662  2nd c2nd 7663  cr 10513  0cc0 10514  +∞cpnf 10649  *cxr 10651  (,)cioo 12716  [,)cico 12718  [,]cicc 12719  volcvol 24045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-rest 16674  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529  df-cmp 21970  df-ovol 24046  df-vol 24047
This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  43084
  Copyright terms: Public domain W3C validator