Theorem voliooicof 41006

Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
voliooicof.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
voliooicof	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volioof 40997	. . . . 5 ⊢ (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3		rexpssxrxp 10400	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5		voliooicof.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
6	2, 4, 5	fcoss 40207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7	6	ffnd 6278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8		volf 23694	. . . . . 6 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
10		icof 40216	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
12	11, 4, 5	fcoss 40207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
13	12	ffnd 6278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
14	5	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
15		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	14, 15	fvovco 40188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5	ffvelrnda 6607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
18		xp1st 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		xp2nd 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
23		icombl 23729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
24	19, 22, 23	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
25	16, 24	eqeltrd 2905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
26	25	ralrimiva 3174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
27	13, 26	jca 509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
28		ffnfv 6636	. . . . . 6 ⊢ (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
29	27, 28	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
30		fco 6294	. . . . 5 ⊢ ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
31	9, 29, 30	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
32		coass 5894	. . . . . 6 ⊢ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
34	33	feq1d 6262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
35	31, 34	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
36	35	ffnd 6278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
37	19, 21	voliooico 41002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
38	5, 4	fssd 6291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
39	38	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
40	39, 15	fvvolioof 40999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
41	39, 15	fvvolicof 41001	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
42	37, 40, 41	3eqtr4d 2870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
43	7, 36, 42	eqfnfvd 6562	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116   ⊆ wss 3797  𝒫 cpw 4377   × cxp 5339  dom cdm 5341   ∘ ccom 5345   Fn wfn 6117  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  1^st c1st 7425  2^nd c2nd 7426  ℝcr 10250  0cc0 10251  +∞cpnf 10387  ℝ^*cxr 10389  (,)cioo 12462  [,)cico 12464  [,]cicc 12465  volcvol 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-rest 16435  df-topgen 16456  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-top 21068  df-topon 21085  df-bases 21120  df-cmp 21560  df-ovol 23629  df-vol 23630

This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  41661