Theorem voliooicof 47100

Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
voliooicof.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
voliooicof	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volioof 47091	. . . . 5 ⊢ (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3		rexpssxrxp 11358	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5		voliooicof.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
6	2, 4, 5	fcoss 46317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7	6	ffnd 6711	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8		volf 25856	. . . . . 6 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
10		icof 46326	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
12	11, 4, 5	fcoss 46317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
13	12	ffnd 6711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
14	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
15		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	14, 15	fvovco 46302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
18		xp1st 8034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		xp2nd 8035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
23		icombl 25891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
24	19, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
25	16, 24	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
26	25	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
27	13, 26	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
28		ffnfv 7120	. . . . . 6 ⊢ (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
29	27, 28	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
30		fco 6735	. . . . 5 ⊢ ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
31	9, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
32		coass 6267	. . . . . 6 ⊢ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
34	33	feq1d 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
35	31, 34	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
36	35	ffnd 6711	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
37	19, 21	voliooico 47096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
38	5, 4	fssd 6728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
39	38	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
40	39, 15	fvvolioof 47093	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
41	39, 15	fvvolicof 47095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
42	37, 40, 41	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
43	7, 36, 42	eqfnfvd 7033	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   × cxp 5648  dom cdm 5650   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1^st c1st 8000  2^nd c2nd 8001  ℝcr 11203  0cc0 11204  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346  (,)cioo 13480  [,)cico 13482  [,]cicc 13483  volcvol 25790

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-rest 17599  df-topgen 17620  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-top 23218  df-topon 23235  df-bases 23270  df-cmp 23711  df-ovol 25791  df-vol 25792

This theorem is used by:  ovolval5lem3  47758