Theorem voliooicof 46011

Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
voliooicof.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
voliooicof	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volioof 46002	. . . . 5 ⊢ (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3		rexpssxrxp 11306	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5		voliooicof.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
6	2, 4, 5	fcoss 45215	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7	6	ffnd 6737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8		volf 25564	. . . . . 6 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
10		icof 45224	. . . . . . . . . 10 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
12	11, 4, 5	fcoss 45215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
13	12	ffnd 6737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
14	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	14, 15	fvovco 45198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
18		xp1st 8046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
20		xp2nd 8047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
23		icombl 25599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ dom vol)
25	16, 24	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
26	25	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
27	13, 26	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
28		ffnfv 7139	. . . . . 6 ⊢ (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
29	27, 28	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
30		fco 6760	. . . . 5 ⊢ ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
31	9, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
32		coass 6285	. . . . . 6 ⊢ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
34	33	feq1d 6720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
35	31, 34	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
36	35	ffnd 6737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
37	19, 21	voliooico 46007	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
38	5, 4	fssd 6753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
40	39, 15	fvvolioof 46004	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
41	39, 15	fvvolicof 46006	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
42	37, 40, 41	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
43	7, 36, 42	eqfnfvd 7054	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683  dom cdm 5685   ∘ ccom 5689   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1^st c1st 8012  2^nd c2nd 8013  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  volcvol 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  46669