Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooicof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooicof 45284
Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
voliooicof.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
voliooicof (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volioof 45275 . . . . 5 (vol ∘ (,)):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(0[,]+∞)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol ∘ (,)):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(0[,]+∞))
3 rexpssxrxp 11263 . . . . 5 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
5 voliooicof.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ))
62, 4, 5fcoss 44481 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞))
76ffnd 6712 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
8 volf 25413 . . . . . 6 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
10 icof 44490 . . . . . . . . . 10 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
1211, 4, 5fcoss 44481 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹):π΄βŸΆπ’« ℝ*)
1312ffnd 6712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
145adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ Γ— ℝ))
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1614, 15fvovco 44464 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
175ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
18 xp1st 8006 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
20 xp2nd 8007 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2221rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
23 icombl 25448 . . . . . . . . . 10 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol)
2419, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol)
2516, 24eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
2625ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
2713, 26jca 511 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol))
28 ffnfv 7114 . . . . . 6 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol))
2927, 28sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢dom vol)
30 fco 6735 . . . . 5 ((vol:dom vol⟢(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟢dom vol) β†’ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞))
319, 29, 30syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞))
32 coass 6258 . . . . . 6 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3332a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
3433feq1d 6696 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟢(0[,]+∞)))
3531, 34mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟢(0[,]+∞))
3635ffnd 6712 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
3719, 21voliooico 45280 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
385, 4fssd 6729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ* Γ— ℝ*))
3938adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢(ℝ* Γ— ℝ*))
4039, 15fvvolioof 45277 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
4139, 15fvvolicof 45279 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
4237, 40, 413eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
437, 36, 42eqfnfvd 7029 1 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  volcvol 25347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349
This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  45942
  Copyright terms: Public domain W3C validator