Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnovollem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnovollem1 45372
Description: if 𝐹 is a cover of 𝐡 in ℝ, then 𝐼 is the corresponding cover in the space of 1-dimensional reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnovollem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ovnovollem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•))
ovnovollem1.i 𝐼 = (𝑗 ∈ β„• ↦ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
ovnovollem1.s (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝐹))
ovnovollem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
ovnovollem1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)))
Assertion
Ref Expression
ovnovollem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m β„•)((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,π‘˜   𝐡,𝑖   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑖,𝐼,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝑉   𝑖,𝑍   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   𝐡(𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖,𝑗)   π‘Š(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem ovnovollem1
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
2 ovnovollem1.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
32adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 ovnovollem1.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•))
5 elmapi 8843 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
76ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
8 fsng 7135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}:{𝐴}⟢{(πΉβ€˜π‘—)} ↔ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}))
93, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}:{𝐴}⟢{(πΉβ€˜π‘—)} ↔ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}))
101, 9mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}:{𝐴}⟢{(πΉβ€˜π‘—)})
117snssd 4813 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ {(πΉβ€˜π‘—)} βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
1210, 11fssd 6736 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}:{𝐴}⟢(ℝ Γ— ℝ))
13 reex 11201 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
1413, 13xpex 7740 . . . . . . 7 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (ℝ Γ— ℝ) ∈ V)
16 snex 5432 . . . . . . 7 {𝐴} ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ {𝐴} ∈ V)
1815, 17elmapd 8834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ↔ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}:{𝐴}⟢(ℝ Γ— ℝ)))
1912, 18mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}))
20 ovnovollem1.i . . . 4 𝐼 = (𝑗 ∈ β„• ↦ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
2119, 20fmptd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}))
22 ovexd 7444 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ∈ V)
23 nnex 12218 . . . . 5 β„• ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
2522, 24elmapd 8834 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m β„•) ↔ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴})))
2621, 25mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m β„•))
27 ovnovollem1.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ ran ([,) ∘ 𝐹))
28 icof 43918 . . . . . . . . . . 11 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
30 rexpssxrxp 11259 . . . . . . . . . . 11 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
3229, 31, 6fcoss 43909 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ*)
3332ffnd 6719 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ([,) ∘ 𝐹) Fn β„•)
34 fniunfv 7246 . . . . . . . 8 (([,) ∘ 𝐹) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = βˆͺ ran ([,) ∘ 𝐹))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = βˆͺ ran ([,) ∘ 𝐹))
3635eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ([,) ∘ 𝐹) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
3727, 36sseqtrd 4023 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
38 ovnovollem1.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
39 fvex 6905 . . . . . . . 8 (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ V
4023, 39iunex 7955 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ V
4140a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ V)
4216a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} ∈ V)
432snn0d 4780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} β‰  βˆ…)
4438, 41, 42, 43mapss2 43904 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ↔ (𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ↑m {𝐴})))
4537, 44mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ↑m {𝐴}))
46 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘—πœ‘
47 fvexd 6907 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V)
4846, 24, 47, 2iunmapsn 43916 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}) = (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}))
4948eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}))
50 elmapfun 8860 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ Fun 𝐹)
514, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
5251adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Fun 𝐹)
53 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
546fdmd 6729 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = β„•)
5554eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„• = dom 𝐹)
5655adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ β„• = dom 𝐹)
5753, 56eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐹)
58 fvco 6990 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
5952, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
6059iuneq2dv 5022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
6160oveq1d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ↑m {𝐴}) = (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}))
6210ffund 6722 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Fun {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•)
64 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} ∈ V)
6620fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ β„• ∧ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} ∈ V) β†’ (πΌβ€˜π‘—) = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
6763, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜π‘—) = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΌβ€˜π‘—) = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
6968funeqd 6571 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (Fun (πΌβ€˜π‘—) ↔ Fun {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}))
7062, 69mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Fun (πΌβ€˜π‘—))
7170adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ Fun (πΌβ€˜π‘—))
72 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ π‘˜ ∈ {𝐴})
7368dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ dom (πΌβ€˜π‘—) = dom {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
7410fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ dom {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} = {𝐴})
7573, 74eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ dom (πΌβ€˜π‘—) = {𝐴})
7675eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ dom (πΌβ€˜π‘—) ↔ π‘˜ ∈ {𝐴}))
7776adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ (π‘˜ ∈ dom (πΌβ€˜π‘—) ↔ π‘˜ ∈ {𝐴}))
7872, 77mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ π‘˜ ∈ dom (πΌβ€˜π‘—))
79 fvco 6990 . . . . . . . . . 10 ((Fun (πΌβ€˜π‘—) ∧ π‘˜ ∈ dom (πΌβ€˜π‘—)) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ([,)β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
8071, 78, 79syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ([,)β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
8167fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π‘˜))
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ ((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π‘˜))
83 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ {𝐴} β†’ π‘˜ = 𝐴)
8483fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ {𝐴} β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π‘˜) = ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄))
8584adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π‘˜) = ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄))
86 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ V)
87 fvsng 7178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ V) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘—))
882, 86, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘—))
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘—))
9082, 85, 893eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ ((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
9190fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ ([,)β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
92 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) = ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
9380, 91, 923eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
9493ixpeq2dva 8906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ {𝐴} ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
95 fvex 6905 . . . . . . . . 9 ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V
9616, 95ixpconst 8901 . . . . . . . 8 Xπ‘˜ ∈ {𝐴} ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) = (([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴})
9796a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝐴} ([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) = (([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}))
9894, 97eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}))
9998iuneq2dv 5022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,)β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ↑m {𝐴}))
10049, 61, 993eqtr4d 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (([,) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ↑m {𝐴}) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
10145, 100sseqtrd 4023 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
102 ovnovollem1.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 = (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)))
103 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗𝐹
104 ressxr 11258 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
105 xpss2 5697 . . . . . . . . . 10 (ℝ βŠ† ℝ* β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ*))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ*)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ Γ— ℝ*))
1086, 107fssd 6736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ*))
109103, 108volicofmpt 44713 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))))))
11067coeq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ ([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—)) = ([,) ∘ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}))
111110fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄) = (([,) ∘ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})β€˜π΄))
112111adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄) = (([,) ∘ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})β€˜π΄))
113 snidg 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
1142, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
115 dmsnopg 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ V β†’ dom {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} = {𝐴})
11686, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ dom {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} = {𝐴})
117114, 116eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
118117adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ dom {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})
119 fvco 6990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩} ∧ 𝐴 ∈ dom {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}) β†’ (([,) ∘ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})β€˜π΄) = ([,)β€˜({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄)))
12062, 118, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ {⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩})β€˜π΄) = ([,)β€˜({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄)))
121 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ V)
1223, 121, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘—))
123 1st2nd2 8014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))⟩)
1247, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))⟩)
125122, 124eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))⟩)
126125fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ([,)β€˜({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄)) = ([,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))⟩))
127 df-ov 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))) = ([,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))⟩)
128127eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))⟩) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ([,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))⟩) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))))
130126, 129eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ([,)β€˜({⟨𝐴, (πΉβ€˜π‘—)⟩}β€˜π΄)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))))
131112, 120, 1303eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))))
132131fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄)) = (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)))))
133 xp1st 8007 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
1347, 133syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
135 xp2nd 8008 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
1367, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
137 volicore 45297 . . . . . . . . . . . 12 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
138134, 136, 137syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
139132, 138eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄)) ∈ ℝ)
140139recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄)) ∈ β„‚)
141 2fveq3 6897 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄)))
142141prodsn 15906 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄)))
1433, 140, 142syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π΄)))
144143, 132eqtr2d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—)))) = βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
145144mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘—))[,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘—))))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
146109, 145eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
147146fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
148102, 147eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
149101, 148jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
150 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘–β€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘—))
151150coeq2d 5863 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ ([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—)) = ([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—)))
152151fveq1d 6894 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
153152ixpeq2dv 8907 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
154153iuneq2d 5027 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
155154sseq2d 4015 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ (𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
156 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ 𝑖 = 𝐼)
157156fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ (π‘–β€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘—))
158157coeq2d 5863 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ ([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—)) = ([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—)))
159158fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
160159fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ {𝐴}) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
161160prodeq2dv 15867 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
162161mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
163162fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
164163eqeq2d 2744 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) ↔ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
165155, 164anbi12d 632 . . 3 (𝑖 = 𝐼 β†’ (((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ ((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
166165rspcev 3613 . 2 ((𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m β„•) ∧ ((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m β„•)((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
16726, 149, 166syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m β„•)((𝐡 ↑m {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝐴} (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑍 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ {𝐴} (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  β„‚cc 11108  β„cr 11109  β„*cxr 11247  β„•cn 12212  [,)cico 13326  βˆcprod 15849  volcvol 24980  Ξ£^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by:  ovnovollem3  45374
  Copyright terms: Public domain W3C validator