Theorem ovolval2 44182

Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Σ^{^}. See ovolval 24637 for an alternative expression. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolval2.m	⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}

Assertion

Ref	Expression
ovolval2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   𝜑,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolval2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
3	2	ovolval 24637	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6		reex 10962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
7	6, 6	xpex 7603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
8		inss2 4163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
9		mapss 8677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)
11	10	sseli 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
12		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ) → 1 ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 1 ∈ ℤ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
15		nnuz 12621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16		absfico 42758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)
17		subf 11223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
18		fco 6624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs:ℂ⟶(0[,)+∞) ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
19	16, 17, 18	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
21		rr2sscn2 42905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
23		elmapi 8637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
24	11, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
25	20, 22, 24	fcoss 42750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
27		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
28	14, 15, 26, 27	sge0seq 43984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
29	28	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
30	29	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))))
31	30	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
32	31	rexbidva 3225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
33	32	rabbidv 3414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))})
34		ovolval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}
35	34	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀)
37	5, 33, 36	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = 𝑀)
38	37	infeq1d 9236	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
39	4, 38	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   × cxp 5587  ran crn 5590   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  supcsup 9199  infcinf 9200  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  seqcseq 13721  abscabs 14945  vol*covol 24626  Σ^{^}csumge0 43900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-ovol 24628  df-sumge0 43901

This theorem is referenced by:  ovolval3  44185