Theorem ovolval2 47472

Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Σ^{^}. See ovolval 25701 for an alternative expression. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolval2.m	⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}

Assertion

Ref	Expression
ovolval2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   𝜑,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦, 𝑓)

Proof of Theorem ovolval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolval2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
3	2	ovolval 25701	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6		reex 11215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
7	6, 6	xpex 7752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
8		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
9		mapss 8896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)
11	10	sseli 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
12		1zzd 12649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ) → 1 ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 1 ∈ ℤ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
15		nnuz 12926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16		absfico 46048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)
17		subf 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
18		fco 6727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs:ℂ⟶(0[,)+∞) ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
21		rr2sscn2 46195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
23		elmapi 8848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
24	11, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
25	20, 22, 24	fcoss 46040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
27		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
28	14, 15, 26, 27	sge0seq 47274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
29	28	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
30	29	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))))
31	30	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
32	31	rexbidva 3184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
33	32	rabbidv 3419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))})
34		ovolval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}
35	34	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀)
37	5, 33, 36	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = 𝑀)
38	37	infeq1d 9448	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
39	4, 38	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   × cxp 5653  ran crn 5656   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  supcsup 9410  infcinf 9411  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕcn 12257  ℤcz 12615  (,)cioo 13398  [,)cico 13400  seqcseq 14065  abscabs 15321  vol*covol 25690  Σ^{^}csumge0 47190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-ovol 25692  df-sumge0 47191

This theorem is used by:  ovolval3  47475