Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval2 45346
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Ξ£^. See ovolval 24981 for an alternative expression. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
ovolval2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovolval2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolval2
StepHypRef Expression
1 ovolval2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2 eqid 2732 . . . 4 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
32ovolval 24981 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
52a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6 reex 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
76, 6xpex 7736 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
8 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
9 mapss 8879 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•))
107, 8, 9mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)
1110sseli 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•))
12 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
1413adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 1 ∈ β„€)
15 nnuz 12861 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
16 absfico 43902 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:β„‚βŸΆ(0[,)+∞)
17 subf 11458 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
18 fco 6738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:β„‚βŸΆ(0[,)+∞) ∧ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)⟢(0[,)+∞))
1916, 17, 18mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)⟢(0[,)+∞)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)⟢(0[,)+∞))
21 rr2sscn2 44062 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
23 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
2411, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
2520, 22, 24fcoss 43894 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
2625adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
27 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
2814, 15, 26, 27sge0seq 45148 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
2928eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))
3029eqeq2d 2743 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))))
3130anbi2d 629 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))))
3231rexbidva 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))))
3332rabbidv 3440 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))})
34 ovolval2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))}
3534eqcomi 2741 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀)
375, 33, 363eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = 𝑀)
3837infeq1d 9468 . 2 (πœ‘ β†’ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
394, 38eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  supcsup 9431  infcinf 9432  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„€cz 12554  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  seqcseq 13962  abscabs 15177  vol*covol 24970  Ξ£^csumge0 45064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-ovol 24972  df-sumge0 45065
This theorem is referenced by:  ovolval3  45349
  Copyright terms: Public domain W3C validator