Theorem ovolval2 46649

Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Σ^{^}. See ovolval 25381 for an alternative expression. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolval2.m	⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}

Assertion

Ref	Expression
ovolval2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   𝜑,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolval2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
3	2	ovolval 25381	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6		reex 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
7	6, 6	xpex 7732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
8		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
9		mapss 8865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)
11	10	sseli 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
12		1zzd 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ) → 1 ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 1 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
15		nnuz 12843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16		absfico 45219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)
17		subf 11430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
18		fco 6715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs:ℂ⟶(0[,)+∞) ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
21		rr2sscn2 45369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
23		elmapi 8825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
24	11, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
25	20, 22, 24	fcoss 45211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
27		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
28	14, 15, 26, 27	sge0seq 46451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
29	28	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
30	29	eqeq2d 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))))
31	30	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
32	31	rexbidva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
33	32	rabbidv 3416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))})
34		ovolval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}
35	34	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀)
37	5, 33, 36	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = 𝑀)
38	37	infeq1d 9436	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
39	4, 38	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874   × cxp 5639  ran crn 5642   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  supcsup 9398  infcinf 9399  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℤcz 12536  (,)cioo 13313  [,)cico 13315  seqcseq 13973  abscabs 15207  vol*covol 25370  Σ^{^}csumge0 46367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-ovol 25372  df-sumge0 46368

This theorem is referenced by:  ovolval3  46652