Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ovolval2 45658
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Ξ£^. See ovolval 25222 for an alternative expression. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
ovolval2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovolval2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)
Proof of Theorem ovolval2
StepHypRef Expression
1 ovolval2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2 eqid 2730 . . . 4 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
32ovolval 25222 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
52a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6 reex 11203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
76, 6xpex 7742 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
8 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
9 mapss 8885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•))
107, 8, 9mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•)
1110sseli 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•))
12 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
1413adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ 1 ∈ β„€)
15 nnuz 12869 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
16 absfico 44215 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:β„‚βŸΆ(0[,)+∞)
17 subf 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
18 fco 6740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:β„‚βŸΆ(0[,)+∞) ∧ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)⟢(0[,)+∞))
1916, 17, 18mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)⟢(0[,)+∞)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)⟢(0[,)+∞))
21 rr2sscn2 44374 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
23 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
2411, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
2520, 22, 24fcoss 44207 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
2625adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
27 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
2814, 15, 26, 27sge0seq 45460 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
2928eqcomd 2736 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))
3029eqeq2d 2741 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))))
3130anbi2d 627 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))))
3231rexbidva 3174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))))
3332rabbidv 3438 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))})
34 ovolval2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))}
3534eqcomi 2739 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Ξ£^β€˜((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀)
375, 33, 363eqtrd 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = 𝑀)
3837infeq1d 9474 . 2 (πœ‘ β†’ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
394, 38eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  supcsup 9437  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„€cz 12562  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  seqcseq 13970  abscabs 15185  vol*covol 25211  Ξ£^csumge0 45376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-ovol 25213  df-sumge0 45377
This theorem is referenced by:  ovolval3  45661
  Copyright terms: Public domain W3C validator