Theorem feldmfvelcdm 7107

Description: A class is an element of the domain iff it's function value is an element of the codomain of a function. (Contributed by AV, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
feldmfvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem feldmfvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffvelcdmda 7105	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
3	2	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵))
4		df-nel 3066	. . . 4 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐵)
5		nelelne 3060	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅))
6	4, 5	sylbi 220	. . 3 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅))
7		fdm 6738	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
8		fvfundmfvn0 6945	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝑋})))
9		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 = 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
10		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 = 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝑋}))) → dom 𝐹 = 𝐴)
11	9, 10	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 = 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	11	ex 418	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝐴))
13	7, 8, 12	syl2im 41	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝑋) ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐴))
14	6, 13	sylan9r 518	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐴))
15	3, 14	impbid 215	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  ∅c0 4281  {csn 4588  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563

This theorem is used by: (None)