MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabeq0 4338
Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.) (Revised by BJ, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
rabeq0 ({𝑥𝐴𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜑)

Proof of Theorem rabeq0
StepHypRef Expression
1 ab0 4333 . 2 ({𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ (𝑥𝐴𝜑))
2 df-rab 3147 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)}
32eqeq1i 2826 . 2 ({𝑥𝐴𝜑} = ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = ∅)
4 raln 3155 . 2 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ¬ (𝑥𝐴𝜑))
51, 3, 43bitr4i 305 1 ({𝑥𝐴𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 208  wa 398  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2110  {cab 2799  wral 3138  {crab 3142  c0 4291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rab 3147  df-dif 3939  df-nul 4292
This theorem is referenced by:  rabn0  4339  rabnc  4341  dffr2  5515  frc  5516  frirr  5527  wereu2  5547  tz6.26  6174  fndmdifeq0  6809  fnnfpeq0  6935  wemapso2  9011  wemapwe  9154  hashbclem  13804  hashbc  13805  wrdnfi  13893  smuval2  15825  smupvallem  15826  smu01lem  15828  smumullem  15835  phiprmpw  16107  hashgcdeq  16120  prmreclem4  16249  cshws0  16429  pmtrsn  18641  efgsfo  18859  00lsp  19747  dsmm0cl  20878  ordthauslem  21985  pthaus  22240  xkohaus  22255  hmeofval  22360  mumul  25752  musum  25762  ppiub  25774  lgsquadlem2  25951  umgrnloop0  26888  lfgrnloop  26904  numedglnl  26923  usgrnloop0ALT  26981  lfuhgr1v0e  27030  nbuhgr  27119  nbumgr  27123  uhgrnbgr0nb  27130  nbgr0vtxlem  27131  vtxd0nedgb  27264  vtxdusgr0edgnelALT  27272  1loopgrnb0  27278  usgrvd0nedg  27309  vtxdginducedm1lem4  27318  wwlks  27607  iswwlksnon  27625  iswspthsnon  27628  0enwwlksnge1  27636  wspn0  27697  rusgr0edg  27746  clwwlk  27755  clwwlkn  27798  clwwlkn0  27800  clwwlknon  27863  clwwlknon1nloop  27872  clwwlknondisj  27884  vdn0conngrumgrv2  27969  eupth2lemb  28010  eulercrct  28015  frgrregorufr0  28097  numclwwlk3lem2  28157  ofldchr  30882  measvuni  31468  dya2iocuni  31536  repr0  31877  reprlt  31885  reprgt  31887  subfacp1lem6  32427  prv1n  32673  frpomin  33073  frpomin2  33074  poimirlem26  34912  poimirlem27  34913  cnambfre  34934  itg2addnclem2  34938  areacirclem5  34980  0dioph  39368  undisjrab  40631  supminfxr  41732  dvnprodlem3  42225  pimltmnf2  42972  pimconstlt0  42975  pimgtpnf2  42978  rmsupp0  44409  lcoc0  44470  rrxsphere  44728
  Copyright terms: Public domain W3C validator