Theorem fsuppimp 9271

Description: Implications of a class being a finitely supported function (in relation to a given zero). (Contributed by AV, 26-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimp	⊢ (𝑅 finSupp 𝑍 → (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Proof of Theorem fsuppimp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9266	. . 3 ⊢ Rel finSupp
2	1	brrelex12i 5679	. 2 ⊢ (𝑅 finSupp 𝑍 → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3		isfsupp 9268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
4	3	biimpd 229	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑅 finSupp 𝑍 → (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
5	2, 4	mpcom 38	1 ⊢ (𝑅 finSupp 𝑍 → (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  Fun wfun 6486  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-fsupp 9265

This theorem is referenced by:  fsuppimpd  9272  fsuppfund  9273  fsuppunfi  9291  fsuppunbi  9292  fsuppres  9296  fsuppco  9305  oemapvali  9593  mptnn0fsuppr  13922  gsumzres  19838  gsumzf1o  19841