Theorem fsuppimp 9365

Description: Implications of a class being a finitely supported function (in relation to a given zero). (Contributed by AV, 26-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimp	⊢ (𝑅 finSupp 𝑍 → (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Proof of Theorem fsuppimp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9360	. . 3 ⊢ Rel finSupp
2	1	brrelex12i 5705	. 2 ⊢ (𝑅 finSupp 𝑍 → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3		isfsupp 9362	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
4	3	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑅 finSupp 𝑍 → (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
5	2, 4	mpcom 39	1 ⊢ (𝑅 finSupp 𝑍 → (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  Fun wfun 6535  (class class class)co 7422   supp csupp 8181  Fincfn 8978   finSupp cfsupp 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-fsupp 9359

This theorem is used by:  fsuppimpd  9366  fsuppfund  9367  fsuppunfi  9385  fsuppunbi  9386  fsuppres  9390  fsuppco  9399  oemapvali  9690  mptnn0fsuppr  14147  gsumzres  20130  gsumzf1o  20133