Theorem fsuppres 9153

Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppres.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppres.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9134	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		relprcnfsupp 9131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → ¬ 𝐹 finSupp 𝑍)
4	3	con4i 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		fsuppres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	5, 6	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
9		ressuppss 7999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
10		ssfi 8956	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
11	10	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
13	12	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	13	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	14	imp 407	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
16	2, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
17	1, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		funres 6476	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
20	1, 2, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
21		resexg 5937	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
23		funisfsupp 9133	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
24	20, 22, 6, 23	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
25	17, 24	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↾ cres 5591  Fun wfun 6427  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-supp 7978  df-1o 8297  df-en 8734  df-fin 8737  df-fsupp 9129

This theorem is referenced by:  dprdfadd  19623  frlmsplit2  20980  fmptssfisupp  31019  gsumle  31350  zarcmplem  31831  fsuppssind  40282  lindslinindimp2lem3  45801  lindslinindsimp2lem5  45803