Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppres 8834
 Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppres.s (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppres.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fsuppres (𝜑 → (𝐹𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppres
StepHypRef Expression
1 fsuppres.s . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
2 fsuppimp 8815 . . . 4 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3 relprcnfsupp 8812 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 ∈ V → ¬ 𝐹 finSupp 𝑍)
43con4i 114 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 ∈ V)
51, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 fsuppres.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑉)
75, 6jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
87adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
9 ressuppss 7824 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
10 ssfi 8714 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
1110expcom 417 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
128, 9, 113syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
1312expcom 417 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
1413com23 86 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
1514imp 410 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
162, 15syl 17 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
171, 16mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
18 funres 6370 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝑋))
1918adantr 484 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun (𝐹𝑋))
201, 2, 193syl 18 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹𝑋))
21 resexg 5871 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝑋) ∈ V)
221, 4, 213syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ V)
23 funisfsupp 8814 . . 3 ((Fun (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
2420, 22, 6, 23syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
2517, 24mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) finSupp 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5039   ↾ cres 5530  Fun wfun 6322  (class class class)co 7130   supp csupp 7805  Fincfn 8484   finSupp cfsupp 8809 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-supp 7806  df-er 8264  df-en 8485  df-fin 8488  df-fsupp 8810 This theorem is referenced by:  dprdfadd  19120  frlmsplit2  20892  fmptssfisupp  30414  gsumle  30732  lindslinindimp2lem3  44660  lindslinindsimp2lem5  44662
 Copyright terms: Public domain W3C validator