Theorem fsuppres 9344

Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppres.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppres.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9319	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		relprcnfsupp 9315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → ¬ 𝐹 finSupp 𝑍)
4	3	con4i 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		fsuppres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
9		ressuppss 8162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
10		ssfi 9137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
11	10	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
13	12	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	13	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
16	2, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
17	1, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		funres 6558	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
20	1, 2, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
21		resexg 5998	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
23		funisfsupp 9318	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
24	20, 22, 6, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
25	17, 24	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↾ cres 5640  Fun wfun 6505  (class class class)co 7387   supp csupp 8139  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-supp 8140  df-1o 8434  df-en 8919  df-fin 8922  df-fsupp 9313

This theorem is referenced by:  fmptssfisupp  9345  dprdfadd  19952  frlmsplit2  21682  gsumle  33038  elrspunsn  33400  rprmdvdsprod  33505  zarcmplem  33871  psrbagres  42534  evlselv  42575  fsuppssind  42581  cantnf2  43314  lindslinindimp2lem3  48449  lindslinindsimp2lem5  48451