Theorem fsuppres 9288

Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppres.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppres.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9263	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		relprcnfsupp 9259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → ¬ 𝐹 finSupp 𝑍)
4	3	con4i 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		fsuppres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
9		ressuppss 8122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
10		ssfi 9093	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
11	10	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
13	12	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	13	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
16	2, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
17	1, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		funres 6531	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
20	1, 2, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
21		resexg 5983	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
23		funisfsupp 9262	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
24	20, 22, 6, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
25	17, 24	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↾ cres 5623  Fun wfun 6483  (class class class)co 7355   supp csupp 8099  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-supp 8100  df-1o 8394  df-en 8880  df-fin 8883  df-fsupp 9257

This theorem is referenced by:  fmptssfisupp  9289  dprdfadd  19942  gsumle  20065  frlmsplit2  21719  elrspunsn  33438  rprmdvdsprod  33543  extvfvvcl  33628  extvfvcl  33629  evlextv  33635  esplyind  33659  zarcmplem  33966  psrbagres  42714  evlselv  42745  fsuppssind  42751  cantnf2  43482  lindslinindimp2lem3  48622  lindslinindsimp2lem5  48624