MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppres 8569
Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppres.s (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppres.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fsuppres (𝜑 → (𝐹𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppres
StepHypRef Expression
1 fsuppres.s . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
2 fsuppimp 8550 . . . 4 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3 relprcnfsupp 8547 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 ∈ V → ¬ 𝐹 finSupp 𝑍)
43con4i 114 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 ∈ V)
51, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 fsuppres.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑉)
75, 6jca 509 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
87adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
9 ressuppss 7578 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
10 ssfi 8449 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
1110expcom 404 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
128, 9, 113syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
1312expcom 404 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
1413com23 86 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
1514imp 397 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
162, 15syl 17 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
171, 16mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
18 funres 6165 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝑋))
1918adantr 474 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun (𝐹𝑋))
201, 2, 193syl 18 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹𝑋))
21 resexg 5679 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝑋) ∈ V)
221, 4, 213syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ V)
23 funisfsupp 8549 . . 3 ((Fun (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
2420, 22, 6, 23syl3anc 1496 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
2517, 24mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2166  Vcvv 3414  wss 3798   class class class wbr 4873  cres 5344  Fun wfun 6117  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  Fincfn 8222   finSupp cfsupp 8544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-supp 7560  df-er 8009  df-en 8223  df-fin 8226  df-fsupp 8545
This theorem is referenced by:  dprdfadd  18773  frlmsplit2  20479  gsumle  30324  lindslinindimp2lem3  43096  lindslinindsimp2lem5  43098
  Copyright terms: Public domain W3C validator