Theorem fsuppres 9320

Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppres.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppres.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9295	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		relprcnfsupp 9291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → ¬ 𝐹 finSupp 𝑍)
4	3	con4i 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		fsuppres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
9		ressuppss 8139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
10		ssfi 9114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
11	10	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
13	12	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	13	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
16	2, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
17	1, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		funres 6542	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
20	1, 2, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
21		resexg 5987	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
23		funisfsupp 9294	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
24	20, 22, 6, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
25	17, 24	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493  (class class class)co 7369   supp csupp 8116  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-supp 8117  df-1o 8411  df-en 8896  df-fin 8899  df-fsupp 9289

This theorem is referenced by:  fmptssfisupp  9321  dprdfadd  19928  frlmsplit2  21658  gsumle  33011  elrspunsn  33373  rprmdvdsprod  33478  zarcmplem  33844  psrbagres  42507  evlselv  42548  fsuppssind  42554  cantnf2  43287  lindslinindimp2lem3  48422  lindslinindsimp2lem5  48424