Theorem fsuppres 9434

Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppres.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppres.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9409	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		relprcnfsupp 9405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → ¬ 𝐹 finSupp 𝑍)
4	3	con4i 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		fsuppres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
9		ressuppss 8209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
10		ssfi 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
11	10	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
13	12	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	13	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
16	2, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
17	1, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		funres 6607	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
20	1, 2, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝑋))
21		resexg 6044	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V)
23		funisfsupp 9408	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
24	20, 22, 6, 23	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑋) supp 𝑍) ∈ Fin))
25	17, 24	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   ↾ cres 5686  Fun wfun 6554  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-supp 8187  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990  df-fsupp 9403

This theorem is referenced by:  fmptssfisupp  9435  dprdfadd  20041  frlmsplit2  21794  gsumle  33102  elrspunsn  33458  rprmdvdsprod  33563  zarcmplem  33881  psrbagres  42561  evlselv  42602  fsuppssind  42608  cantnf2  43343  lindslinindimp2lem3  48382  lindslinindsimp2lem5  48384