Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppunfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppunfi 8841
 Description: The union of the support of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppun.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppunfi (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppunfi
StepHypRef Expression
1 fsuppun.f . 2 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
2 fsuppimp 8827 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3 fsuppun.g . . . . 5 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
4 fsuppimp 8827 . . . . 5 (𝐺 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
5 unfi 8773 . . . . . . 7 (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
65expcom 417 . . . . . 6 ((𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
76adantl 485 . . . . 5 ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
83, 4, 73syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
98com12 32 . . 3 ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
102, 9simpl2im 507 . 2 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
111, 10mpcom 38 1 (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3906   class class class wbr 5042  Fun wfun 6328  (class class class)co 7140   supp csupp 7817  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-fsupp 8822 This theorem is referenced by:  wemapso2lem  9004  dprdfadd  19133
 Copyright terms: Public domain W3C validator