Theorem fsuppunfi 9400

Description: The union of the support of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppunfi	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppunfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppun.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9380	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		fsuppun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
4		fsuppimp 9380	. . . . 5 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
5		unfi 9185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
6	5	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
8	3, 4, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
9	8	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
10	2, 9	simpl2im 503	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
11	1, 10	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924   class class class wbr 5119  Fun wfun 6525  (class class class)co 7405   supp csupp 8159  Fincfn 8959   finSupp cfsupp 9373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-en 8960  df-fin 8963  df-fsupp 9374

This theorem is referenced by:  wemapso2lem  9566  dprdfadd  20003  psrbagaddcl  21884  mhpmulcl  22087  naddcnff  43386