Theorem fsuppunfi 9457

Description: The union of the support of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppunfi	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppunfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppun.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9438	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		fsuppun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
4		fsuppimp 9438	. . . . 5 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
5		unfi 9238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
6	5	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
8	3, 4, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
9	8	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
10	2, 9	simpl2im 503	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
11	1, 10	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   class class class wbr 5166  Fun wfun 6567  (class class class)co 7448   supp csupp 8201  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-en 9004  df-fin 9007  df-fsupp 9432

This theorem is referenced by:  wemapso2lem  9621  dprdfadd  20064  psrbagaddcl  21967  mhpmulcl  22176  naddcnff  43324