Theorem fsuppunfi 9267

Description: The union of the support of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppunfi	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppunfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppun.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9247	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3		fsuppun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
4		fsuppimp 9247	. . . . 5 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
5		unfi 9075	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)
6	5	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
8	3, 4, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
9	8	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
10	2, 9	simpl2im 503	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin))
11	1, 10	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 𝑍) ∪ (𝐺 supp 𝑍)) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3898   class class class wbr 5089  Fun wfun 6471  (class class class)co 7341   supp csupp 8085  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-om 7792  df-en 8865  df-fin 8868  df-fsupp 9241

This theorem is referenced by:  wemapso2lem  9433  dprdfadd  19927  psrbagaddcl  21854  mhpmulcl  22057  naddcnff  43374