Theorem mptnn0fsuppr 13647

Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsuppr.s	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsuppr	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsuppr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
2		fsuppimp 9064	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3		mptnn0fsupp.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	3	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
6	5	fnmpt 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
8		nn0ex 12169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		mptnn0fsupp.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
11	10	elexd 3442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12	7, 9, 11	3jca 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14		suppvalfn 7956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
20	16, 18, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
21	5	fvmpts 6860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
22	16, 20, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
23	22	neeq1d 3002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
24	23	rabbidva 3402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
25	15, 24	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
26	25	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
27	26	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
28	27	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
29	28	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
30	29	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
31	2, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
32	1, 31	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)
33		rabssnn0fi 13634	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
34		nne 2946	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
35	34	imbi2i 335	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
36	35	ralbii 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
37	36	rexbii 3177	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
38	33, 37	bitri 274	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
39	32, 38	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422  ⦋csb 3828   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058   < clt 10940  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  21929