Theorem mptnn0fsuppr 13966

Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsuppr.s	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsuppr	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsuppr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
2		fsuppimp 9370	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3		mptnn0fsupp.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	3	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
5		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
6	5	fnmpt 6690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
8		nn0ex 12480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		mptnn0fsupp.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
11	10	elexd 3494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12	7, 9, 11	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14		suppvalfn 8156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
20	16, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
21	5	fvmpts 7001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
22	16, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
23	22	neeq1d 3000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
24	23	rabbidva 3439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
25	15, 24	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
26	25	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
27	26	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
28	27	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
29	28	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
30	29	imp 407	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
31	2, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
32	1, 31	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)
33		rabssnn0fi 13953	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
34		nne 2944	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
35	34	imbi2i 335	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
36	35	ralbii 3093	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
37	36	rexbii 3094	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
38	33, 37	bitri 274	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
39	32, 38	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  ⦋csb 3893   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363   < clt 11250  ℕ₀cn0 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487

This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  22381