MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsuppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsuppr 13963
Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsuppr.s (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsuppr (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsuppr.s . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
2 fsuppimp 9367 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3 mptnn0fsupp.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
43ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
65fnmpt 6690 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
74, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
8 nn0ex 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10 mptnn0fsupp.0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0𝑉)
1110elexd 3494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑0 ∈ V)
127, 9, 113jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14 suppvalfn 8153 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
174adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
19 rspcsbela 4435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
2016, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
215fvmpts 7001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2216, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2322neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0𝑥 / 𝑘𝐶0 ))
2423rabbidva 3439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 })
2515, 24eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 })
2625eleq1d 2818 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
2726biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
2827expcom 414 . . . . . 6 (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)))
2928com23 86 . . . . 5 (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)))
3029imp 407 . . . 4 ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
312, 30syl 17 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
321, 31mpcom 38 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)
33 rabssnn0fi 13950 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ))
34 nne 2944 . . . . . 6 𝑥 / 𝑘𝐶0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
3534imbi2i 335 . . . . 5 ((𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3635ralbii 3093 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3736rexbii 3094 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3833, 37bitri 274 . 2 ({𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3932, 38sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  csb 3893   class class class wbr 5148  cmpt 5231  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360   < clt 11247  0cn0 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484
This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  22373
  Copyright terms: Public domain W3C validator