MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsuppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsuppr 13355
Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsuppr.s (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsuppr (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsuppr.s . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
2 fsuppimp 8827 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3 mptnn0fsupp.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
43ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
5 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
65fnmpt 6481 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
74, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
8 nn0ex 11891 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10 mptnn0fsupp.0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0𝑉)
1110elexd 3512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑0 ∈ V)
127, 9, 113jca 1120 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14 suppvalfn 7826 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
174adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
19 rspcsbela 4384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
2016, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
215fvmpts 6764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2216, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2322neeq1d 3072 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0𝑥 / 𝑘𝐶0 ))
2423rabbidva 3476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 })
2515, 24eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 })
2625eleq1d 2894 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
2726biimpd 230 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
2827expcom 414 . . . . . 6 (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)))
2928com23 86 . . . . 5 (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)))
3029imp 407 . . . 4 ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
312, 30syl 17 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
321, 31mpcom 38 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)
33 rabssnn0fi 13342 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ))
34 nne 3017 . . . . . 6 𝑥 / 𝑘𝐶0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
3534imbi2i 337 . . . . 5 ((𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3635ralbii 3162 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3736rexbii 3244 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3833, 37bitri 276 . 2 ({𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3932, 38sylib 219 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  csb 3880   class class class wbr 5057  cmpt 5137  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821   < clt 10663  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  21408
  Copyright terms: Public domain W3C validator