Theorem mptnn0fsuppr 13858

Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsuppr.s	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsuppr	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsuppr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
2		fsuppimp 9269	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3		mptnn0fsupp.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	3	ralrimiva 3141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
6	5	fnmpt 6638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
8		nn0ex 12377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		mptnn0fsupp.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
11	10	elexd 3463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12	7, 9, 11	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14		suppvalfn 8092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
20	16, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
21	5	fvmpts 6948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
22	16, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
23	22	neeq1d 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
24	23	rabbidva 3412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
25	15, 24	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
26	25	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
27	26	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
28	27	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
29	28	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
30	29	imp 407	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
31	2, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
32	1, 31	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)
33		rabssnn0fi 13845	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
34		nne 2945	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
35	34	imbi2i 335	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
36	35	ralbii 3094	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
37	36	rexbii 3095	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
38	33, 37	bitri 274	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
39	32, 38	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443  ⦋csb 3853   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351   supp csupp 8084  Fincfn 8841   finSupp cfsupp 9263   < clt 11147  ℕ₀cn0 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379

This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  22167