Theorem mptnn0fsuppr 13961

Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsuppr.s	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsuppr	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsuppr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
2		fsuppimp 9281	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3		mptnn0fsupp.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	3	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
6	5	fnmpt 6638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
8		nn0ex 12443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		mptnn0fsupp.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
11	10	elexd 3453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12	7, 9, 11	3jca 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14		suppvalfn 8118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
20	16, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
21	5	fvmpts 6951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
22	16, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
23	22	neeq1d 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
24	23	rabbidva 3395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
25	15, 24	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
26	25	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
27	26	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
28	27	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
29	28	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
30	29	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
31	2, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
32	1, 31	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)
33		rabssnn0fi 13948	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
34		nne 2936	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
35	34	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
36	35	ralbii 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
37	36	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
38	33, 37	bitri 275	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
39	32, 38	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429  ⦋csb 3837   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274   < clt 11179  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  22837