Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsuppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsuppr 13366
 Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsuppr.s (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsuppr (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsuppr.s . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
2 fsuppimp 8827 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3 mptnn0fsupp.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
43ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
5 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
65fnmpt 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
74, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
8 nn0ex 11895 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10 mptnn0fsupp.0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0𝑉)
1110elexd 3464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑0 ∈ V)
127, 9, 113jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
1312adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14 suppvalfn 7824 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
174adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
19 rspcsbela 4346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
2016, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
215fvmpts 6752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2216, 20, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2322neeq1d 3049 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0𝑥 / 𝑘𝐶0 ))
2423rabbidva 3428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 })
2515, 24eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 })
2625eleq1d 2877 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
2726biimpd 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
2827expcom 417 . . . . . 6 (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)))
2928com23 86 . . . . 5 (Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)))
3029imp 410 . . . 4 ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
312, 30syl 17 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin))
321, 31mpcom 38 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin)
33 rabssnn0fi 13353 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ))
34 nne 2994 . . . . . 6 𝑥 / 𝑘𝐶0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
3534imbi2i 339 . . . . 5 ((𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3635ralbii 3136 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3736rexbii 3213 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝑥 / 𝑘𝐶0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3833, 37bitri 278 . 2 ({𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3932, 38sylib 221 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  ⦋csb 3831   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821   < clt 10668  ℕ0cn0 11889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890 This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  21480
 Copyright terms: Public domain W3C validator