Theorem mptnn0fsuppr 13912

Description: A finitely supported mapping from the nonnegative integers fulfills certain conditions. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsuppr.s	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsuppr	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsuppr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
2		fsuppimp 9258	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3		mptnn0fsupp.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	3	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
5		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
6	5	fnmpt 6627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
8		nn0ex 12393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		mptnn0fsupp.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
11	10	elexd 3460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12	7, 9, 11	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V))
14		suppvalfn 8104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
19		rspcsbela 4387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
20	16, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
21	5	fvmpts 6938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
22	16, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
23	22	neeq1d 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
24	23	rabbidva 3401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
25	15, 24	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 })
26	25	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
27	26	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
28	27	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
29	28	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)))
30	29	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin) → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
31	2, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 → (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin))
32	1, 31	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin)
33		rabssnn0fi 13899	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ))
34		nne 2932	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
35	34	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
36	35	ralbii 3078	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
37	36	rexbii 3079	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
38	33, 37	bitri 275	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
39	32, 38	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436  ⦋csb 3845   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  Fun wfun 6481   Fn wfn 6482  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   supp csupp 8096  Fincfn 8875   finSupp cfsupp 9251   < clt 11152  ℕ₀cn0 12387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414

This theorem is referenced by:  cpmidpmatlem3  22793