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Theorem fsuppunbi 9386
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 9365 . . . . 5 Rel finSupp
21brrelex12i 5724 . . . 4 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3 unexb 7732 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
54adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
6 simprlr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
76suppun 8169 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹𝐺) supp 𝑍))
85, 7ssfid 9269 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9 fununfun 6590 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (𝐹𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
109simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐹)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
13 simprll 776 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
16 funisfsupp 9369 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
188, 17mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
19 uncom 4148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
2019oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺𝐹) supp 𝑍)
2120eleq1i 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2221biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2513suppun 8169 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺𝐹) supp 𝑍))
2624, 25ssfid 9269 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
279simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐺)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
30 funisfsupp 9369 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3129, 6, 15, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3226, 31mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
3318, 32jca 511 . . . . . . . 8 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))
3433a1d 25 . . . . . . 7 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
3534ex 412 . . . . . 6 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
36 fsuppimp 9370 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
3735, 36syl11 33 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
383, 37sylanbr 581 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
392, 38mpcom 38 . . 3 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
4039com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
41 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
42 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
4341, 42fsuppun 9384 . . . . 5 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
4443adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
45 fsuppunbi.u . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
4645adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹𝐺))
471brrelex1i 5725 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 ∈ V)
481brrelex1i 5725 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp 𝑍𝐺 ∈ V)
49 unexg 7733 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5047, 48, 49syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5150adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) ∈ V)
521brrelex2i 5726 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
5453adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
55 funisfsupp 9369 . . . . 5 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5646, 51, 54, 55syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5744, 56mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
5857ex 412 . 2 (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍))
5940, 58impbid 211 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  Vcvv 3468  cun 3941   class class class wbr 5141  Fun wfun 6531  (class class class)co 7405   supp csupp 8146  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-supp 8147  df-1o 8467  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9389  lbsdiflsp0  33229
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