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Theorem fsuppunbi 8843
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 8824 . . . . 5 Rel finSupp
21brrelex12i 5606 . . . 4 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3 unexb 7460 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
4 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
54adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
6 simprlr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
76suppun 7841 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹𝐺) supp 𝑍))
85, 7ssfid 8730 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9 fununfun 6399 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (𝐹𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
109simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐹)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
13 simprll 775 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
14 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
16 funisfsupp 8827 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
188, 17mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
19 uncom 4133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
2019oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺𝐹) supp 𝑍)
2120eleq1i 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2221biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2513suppun 7841 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺𝐹) supp 𝑍))
2624, 25ssfid 8730 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
279simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐺)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
30 funisfsupp 8827 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3129, 6, 15, 30syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3226, 31mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
3318, 32jca 512 . . . . . . . 8 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))
3433a1d 25 . . . . . . 7 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
3534ex 413 . . . . . 6 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
36 fsuppimp 8828 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
3735, 36syl11 33 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
383, 37sylanbr 582 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
392, 38mpcom 38 . . 3 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
4039com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
41 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
42 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
4341, 42fsuppun 8841 . . . . 5 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
4443adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
45 fsuppunbi.u . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
4645adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹𝐺))
471brrelex1i 5607 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 ∈ V)
481brrelex1i 5607 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp 𝑍𝐺 ∈ V)
49 unexg 7461 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5047, 48, 49syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5150adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) ∈ V)
521brrelex2i 5608 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
5453adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
55 funisfsupp 8827 . . . . 5 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5646, 51, 54, 55syl3anc 1365 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5744, 56mpbird 258 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
5857ex 413 . 2 (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍))
5940, 58impbid 213 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  Vcvv 3500  cun 3938   class class class wbr 5063  Fun wfun 6346  (class class class)co 7148   supp csupp 7821  Fincfn 8498   finSupp cfsupp 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502  df-fsupp 8823
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  8846  lbsdiflsp0  30908
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