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Theorem fsuppunbi 9429
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 9403 . . . . 5 Rel finSupp
21brrelex12i 5740 . . . 4 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3 unexb 7767 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
54adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
6 simprlr 780 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
76suppun 8209 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹𝐺) supp 𝑍))
85, 7ssfid 9301 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9 fununfun 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (𝐹𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
109simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐹)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
13 simprll 779 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
16 funisfsupp 9407 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
188, 17mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
19 uncom 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
2019oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺𝐹) supp 𝑍)
2120eleq1i 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2221biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2513suppun 8209 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺𝐹) supp 𝑍))
2624, 25ssfid 9301 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
279simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐺)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
30 funisfsupp 9407 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3129, 6, 15, 30syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3226, 31mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
3318, 32jca 511 . . . . . . . 8 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))
3433a1d 25 . . . . . . 7 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
3534ex 412 . . . . . 6 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
36 fsuppimp 9408 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
3735, 36syl11 33 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
383, 37sylanbr 582 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
392, 38mpcom 38 . . 3 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
4039com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
41 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
42 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
4341, 42fsuppun 9427 . . . . 5 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
4443adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
45 fsuppunbi.u . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
4645adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹𝐺))
471brrelex1i 5741 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 ∈ V)
481brrelex1i 5741 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp 𝑍𝐺 ∈ V)
49 unexg 7763 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5047, 48, 49syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5150adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) ∈ V)
521brrelex2i 5742 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
5453adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
55 funisfsupp 9407 . . . . 5 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5646, 51, 54, 55syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5744, 56mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
5857ex 412 . 2 (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍))
5940, 58impbid 212 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949   class class class wbr 5143  Fun wfun 6555  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-supp 8186  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989  df-fsupp 9402
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9432  lbsdiflsp0  33677
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