Theorem fsuppunbi 9386

Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppunbi.u	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
fsuppunbi	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9365	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
2	1	brrelex12i 5731	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3		unexb 7737	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
4		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
6		simprlr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
7	6	suppun 8171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍))
8	5, 7	ssfid 9269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9		fununfun 6596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
10	9	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → Fun 𝐹)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
13		simprll 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
14		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
16		funisfsupp 9369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
18	8, 17	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
19		uncom 4153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) = (𝐺 ∪ 𝐹)
20	19	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍)
21	20	eleq1i 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
22	21	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
25	13	suppun 8171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍))
26	24, 25	ssfid 9269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
27	9	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → Fun 𝐺)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
30		funisfsupp 9369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
31	29, 6, 15, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
32	26, 31	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
33	18, 32	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))
34	33	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
35	34	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
36		fsuppimp 9370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
37	35, 36	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
38	3, 37	sylanbr 582	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
39	2, 38	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
40	39	com12 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
41		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
42		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
43	41, 42	fsuppun 9384	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
44	43	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
45		fsuppunbi.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))
46	45	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))
47	1	brrelex1i 5732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
48	1	brrelex1i 5732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝐺 ∈ V)
49		unexg 7738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
50	47, 48, 49	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
51	50	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
52	1	brrelex2i 5733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
53	52	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
54	53	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
55		funisfsupp 9369	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
56	46, 51, 54, 55	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
57	44, 56	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍)
58	57	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍))
59	40, 58	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3946   class class class wbr 5148  Fun wfun 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-supp 8149  df-1o 8468  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364

This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9389  lbsdiflsp0  32770