MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzf1o 18514
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 2-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzf1o.h (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
gsumzf1o (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem gsumzf1o
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 gsumzcl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 gsumzcl.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
43gsumz 17579 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
51, 2, 4syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
6 gsumzf1o.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
7 f1of1 6352 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶1-1𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶1-1𝐴)
9 f1dmex 7366 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
108, 2, 9syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
113gsumz 17579 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
121, 10, 11syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
135, 12eqtr4d 2843 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
1413adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
15 gsumzcl.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
163fvexi 6422 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
18 ssidd 3821 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
1915, 2, 17, 18gsumcllem 18510 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
2019oveq2d 6890 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
21 f1of 6353 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶𝐴)
226, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶𝐴)
2322adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻:𝐶𝐴)
2423ffvelrnda 6581 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
2523feqmptd 6470 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻 = (𝑥𝐶 ↦ (𝐻𝑥)))
26 eqidd 2807 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐻𝑥) → 0 = 0 )
2724, 25, 19, 26fmptco 6619 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹𝐻) = (𝑥𝐶0 ))
2827oveq2d 6890 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
2914, 20, 283eqtr4d 2850 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
3029ex 399 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
31 coass 5868 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))
326adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
33 f1ococnv2 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3534coeq1d 5485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
36 f1of1 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
3736ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
38 suppssdm 7542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
3938, 15fssdm 6272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
4039adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
41 f1ss 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
4237, 40, 41syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
43 f1f 6316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
44 fcoi2 6294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4635, 45eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4731, 46syl5reqr 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓 = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
4847coeq2d 5486 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))))
49 coass 5868 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
5048, 49syl6eqr 2858 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))
5150seqeq3d 13032 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓)) = seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓))))
5251fveq1d 6410 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
53 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
54 eqid 2806 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
55 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
561adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
572adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
5815adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
59 gsumzcl.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
6059adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
61 simprl 778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
62 ssid 3820 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
63 f1ofo 6360 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
64 forn 6334 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6665ad2antll 711 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6762, 66syl5sseqr 3851 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
68 eqid 2806 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
6953, 3, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 42, 67, 68gsumval3 18509 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
7010adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐶 ∈ V)
71 fco 6273 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:𝐶𝐴) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7215, 22, 71syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7372adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
74 rncoss 5587 . . . . . . . . 9 ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹
7555cntzidss 17971 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹) ∧ ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
7659, 74, 75sylancl 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
7776adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
78 f1ocnv 6365 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐴1-1-onto𝐶)
79 f1of1 6352 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐶𝐻:𝐴1-1𝐶)
806, 78, 793syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐴1-1𝐶)
8180adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐴1-1𝐶)
82 f1co 6326 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1𝐶𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
8381, 42, 82syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
84 ssidd 3821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
85 fex 6714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
8615, 2, 85syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
87 suppimacnv 7540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
8886, 16, 87sylancl 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
8988eqcomd 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
9089adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
9184, 90, 663sstr4d 3845 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓)
92 imass2 5711 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓 → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
94 cnvco 5509 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐻) = (𝐻𝐹)
9594imaeq1i 5673 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 }))
96 imaco 5854 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
9795, 96eqtri 2828 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
98 rnco2 5856 . . . . . . . . 9 ran (𝐻𝑓) = (𝐻 “ ran 𝑓)
9993, 97, 983sstr4g 3843 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓))
100 f1oexrnex 7345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
1016, 2, 100syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ V)
102 coexg 7347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹𝐻) ∈ V)
10386, 101, 102syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
104 suppimacnv 7540 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
105103, 16, 104sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
106105sseq1d 3829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
107106adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
10899, 107mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓))
109 eqid 2806 . . . . . . 7 (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 ) = (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 )
11053, 3, 54, 55, 56, 70, 73, 77, 61, 83, 108, 109gsumval3 18509 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
11152, 69, 1103eqtr4d 2850 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
112111expr 446 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
113112exlimdv 2024 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
114113expimpd 443 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
115 gsumzcl.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
116 fsuppimp 8520 . . . 4 (𝐹 finSupp 0 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
117116simprd 485 . . 3 (𝐹 finSupp 0 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
118 fz1f1o 14664 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
119115, 117, 1183syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
12030, 114, 119mpjaod 878 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  Vcvv 3391  cdif 3766  wss 3769  c0 4116  {csn 4370   class class class wbr 4844  cmpt 4923   I cid 5218  ccnv 5310  ran crn 5312  cres 5313  cima 5314  ccom 5315  Fun wfun 6095  wf 6097  1-1wf1 6098  ontowfo 6099  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6874   supp csupp 7529  Fincfn 8192   finSupp cfsupp 8514  1c1 10222  cn 11305  ...cfz 12549  seqcseq 13024  chash 13337  Basecbs 16068  +gcplusg 16153  0gc0g 16305   Σg cgsu 16306  Mndcmnd 17499  Cntzccntz 17949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-hash 13338  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-cntz 17951
This theorem is referenced by:  gsumf1o  18518  smadiadetlem3  20686
  Copyright terms: Public domain W3C validator