Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzf1o 18666
 Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 2-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzf1o.h (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
gsumzf1o (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem gsumzf1o
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 gsumzcl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 gsumzcl.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
43gsumz 17727 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
51, 2, 4syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
6 gsumzf1o.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
7 f1of1 6377 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶1-1𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶1-1𝐴)
9 f1dmex 7398 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
108, 2, 9syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
113gsumz 17727 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
121, 10, 11syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
135, 12eqtr4d 2864 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
1413adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
15 gsumzcl.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
163fvexi 6447 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
18 ssidd 3849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
1915, 2, 17, 18gsumcllem 18662 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
2019oveq2d 6921 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
21 f1of 6378 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶𝐴)
226, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶𝐴)
2322adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻:𝐶𝐴)
2423ffvelrnda 6608 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
2523feqmptd 6496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻 = (𝑥𝐶 ↦ (𝐻𝑥)))
26 eqidd 2826 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐻𝑥) → 0 = 0 )
2724, 25, 19, 26fmptco 6646 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹𝐻) = (𝑥𝐶0 ))
2827oveq2d 6921 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
2914, 20, 283eqtr4d 2871 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
3029ex 403 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
31 coass 5895 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))
326adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
33 f1ococnv2 6404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3534coeq1d 5516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
36 f1of1 6377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
3736ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
38 suppssdm 7572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
3938, 15fssdm 6294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
4039adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
41 f1ss 6343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
4237, 40, 41syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
43 f1f 6338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
44 fcoi2 6316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4635, 45eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4731, 46syl5reqr 2876 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓 = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
4847coeq2d 5517 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))))
49 coass 5895 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
5048, 49syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))
5150seqeq3d 13103 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓)) = seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓))))
5251fveq1d 6435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
53 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
54 eqid 2825 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
55 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
561adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
572adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
5815adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
59 gsumzcl.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
6059adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
61 simprl 787 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
62 ssid 3848 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
63 f1ofo 6385 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
64 forn 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6665ad2antll 720 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6762, 66syl5sseqr 3879 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
68 eqid 2825 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
6953, 3, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 42, 67, 68gsumval3 18661 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
7010adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐶 ∈ V)
71 fco 6295 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:𝐶𝐴) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7215, 22, 71syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7372adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
74 rncoss 5619 . . . . . . . . 9 ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹
7555cntzidss 18120 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹) ∧ ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
7659, 74, 75sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
7776adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
78 f1ocnv 6390 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐴1-1-onto𝐶)
79 f1of1 6377 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐶𝐻:𝐴1-1𝐶)
806, 78, 793syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐴1-1𝐶)
8180adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐴1-1𝐶)
82 f1co 6348 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1𝐶𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
8381, 42, 82syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
84 ssidd 3849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
85 fex 6745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
8615, 2, 85syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
87 suppimacnv 7570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
8886, 16, 87sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
8988eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
9089adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
9184, 90, 663sstr4d 3873 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓)
92 imass2 5742 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓 → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
94 cnvco 5540 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐻) = (𝐻𝐹)
9594imaeq1i 5704 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 }))
96 imaco 5881 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
9795, 96eqtri 2849 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
98 rnco2 5883 . . . . . . . . 9 ran (𝐻𝑓) = (𝐻 “ ran 𝑓)
9993, 97, 983sstr4g 3871 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓))
100 f1oexrnex 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
1016, 2, 100syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ V)
102 coexg 7379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹𝐻) ∈ V)
10386, 101, 102syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
104 suppimacnv 7570 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
105103, 16, 104sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
106105sseq1d 3857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
107106adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
10899, 107mpbird 249 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓))
109 eqid 2825 . . . . . . 7 (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 ) = (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 )
11053, 3, 54, 55, 56, 70, 73, 77, 61, 83, 108, 109gsumval3 18661 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
11152, 69, 1103eqtr4d 2871 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
112111expr 450 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
113112exlimdv 2032 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
114113expimpd 447 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
115 gsumzcl.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
116 fsuppimp 8550 . . . 4 (𝐹 finSupp 0 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
117116simprd 491 . . 3 (𝐹 finSupp 0 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
118 fz1f1o 14818 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
119115, 117, 1183syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
12030, 114, 119mpjaod 891 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  {csn 4397   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952   I cid 5249  ◡ccnv 5341  ran crn 5343   ↾ cres 5344   “ cima 5345   ∘ ccom 5346  Fun wfun 6117  ⟶wf 6119  –1-1→wf1 6120  –onto→wfo 6121  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  Fincfn 8222   finSupp cfsupp 8544  1c1 10253  ℕcn 11350  ...cfz 12619  seqcseq 13095  ♯chash 13410  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  0gc0g 16453   Σg cgsu 16454  Mndcmnd 17647  Cntzccntz 18098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-cntz 18100 This theorem is referenced by:  gsumf1o  18670  smadiadetlem3  20843
 Copyright terms: Public domain W3C validator