MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzf1o 19879
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 2-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumzf1o.h (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
gsumzf1o (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem gsumzf1o
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 gsumzcl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 gsumzcl.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
43gsumz 18796 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
51, 2, 4syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
6 gsumzf1o.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
7 f1of1 6837 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶1-1𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶1-1𝐴)
9 f1dmex 7961 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
108, 2, 9syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
113gsumz 18796 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
121, 10, 11syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )) = 0 )
135, 12eqtr4d 2768 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
1413adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
15 gsumzcl.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
163fvexi 6910 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
18 ssidd 4000 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
1915, 2, 17, 18gsumcllem 19875 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
2019oveq2d 7435 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
21 f1of 6838 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶𝐴)
226, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝐶𝐴)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻:𝐶𝐴)
2423ffvelcdmda 7093 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
2523feqmptd 6966 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐻 = (𝑥𝐶 ↦ (𝐻𝑥)))
26 eqidd 2726 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐻𝑥) → 0 = 0 )
2724, 25, 19, 26fmptco 7138 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹𝐻) = (𝑥𝐶0 ))
2827oveq2d 7435 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐶0 )))
2914, 20, 283eqtr4d 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
3029ex 411 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
316adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
32 f1ococnv2 6865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝐻) = ( I ↾ 𝐴))
3433coeq1d 5864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
35 f1of1 6837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
3635ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
37 suppssdm 8182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
3837, 15fssdm 6742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
40 f1ss 6798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
4136, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
42 f1f 6793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴)
43 fcoi2 6772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4534, 44eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = 𝑓)
46 coass 6271 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝐻) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))
4745, 46eqtr3di 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓 = (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
4847coeq2d 5865 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓))))
49 coass 6271 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) = (𝐹 ∘ (𝐻 ∘ (𝐻𝑓)))
5048, 49eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑓) = ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))
5150seqeq3d 14010 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓)) = seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓))))
5251fveq1d 6898 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
53 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
54 eqid 2725 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
55 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
561adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
572adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
5815adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
59 gsumzcl.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
6059adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
61 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
62 ssid 3999 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
63 f1ofo 6845 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
64 forn 6813 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6665ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
6762, 66sseqtrrid 4030 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
68 eqid 2725 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
6953, 3, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 41, 67, 68gsumval3 19874 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
7010adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐶 ∈ V)
71 fco 6747 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:𝐶𝐴) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7215, 22, 71syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
7372adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
74 rncoss 5975 . . . . . . . . 9 ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹
7555cntzidss 19303 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹) ∧ ran (𝐹𝐻) ⊆ ran 𝐹) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
7659, 74, 75sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
7776adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹𝐻) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝐻)))
78 f1ocnv 6850 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐴1-1-onto𝐶)
79 f1of1 6837 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐶𝐻:𝐴1-1𝐶)
806, 78, 793syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝐴1-1𝐶)
8180adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐻:𝐴1-1𝐶)
82 f1co 6804 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1𝐶𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
8381, 41, 82syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐶)
84 ssidd 4000 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
8515, 2fexd 7239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
86 suppimacnv 8179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
8785, 16, 86sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
8887eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
8988adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐹 supp 0 ))
9084, 89, 663sstr4d 4024 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓)
91 imass2 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝑓 → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))) ⊆ (𝐻 “ ran 𝑓))
93 cnvco 5888 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐻) = (𝐻𝐹)
9493imaeq1i 6061 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 }))
95 imaco 6257 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
9694, 95eqtri 2753 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐻 “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
97 rnco2 6259 . . . . . . . . 9 ran (𝐻𝑓) = (𝐻 “ ran 𝑓)
9892, 96, 973sstr4g 4022 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓))
99 f1oexrnex 7935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐴𝑉) → 𝐻 ∈ V)
1006, 2, 99syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ V)
101 coexg 7937 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹𝐻) ∈ V)
10285, 100, 101syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
103 suppimacnv 8179 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
104102, 16, 103sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })))
105104sseq1d 4008 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
106105adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓) ↔ ((𝐹𝐻) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran (𝐻𝑓)))
10798, 106mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ ran (𝐻𝑓))
108 eqid 2725 . . . . . . 7 (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 ) = (((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)) supp 0 )
10953, 3, 54, 55, 56, 70, 73, 77, 61, 83, 107, 108gsumval3 19874 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝐻) ∘ (𝐻𝑓)))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
11052, 69, 1093eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
111110expr 455 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
112111exlimdv 1928 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
113112expimpd 452 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻))))
114 gsumzcl.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
115 fsuppimp 9394 . . . 4 (𝐹 finSupp 0 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
116115simprd 494 . . 3 (𝐹 finSupp 0 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
117 fz1f1o 15692 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
118114, 116, 1173syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
11930, 113, 118mpjaod 858 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  c0 4322  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232   I cid 5575  ccnv 5677  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681  ccom 5682  Fun wfun 6543  wf 6545  1-1wf1 6546  ontowfo 6547  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419   supp csupp 8165  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9387  1c1 11141  cn 12245  ...cfz 13519  seqcseq 14002  chash 14325  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425  Mndcmnd 18697  Cntzccntz 19278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cntz 19280
This theorem is referenced by:  gsumf1o  19883  smadiadetlem3  22614
  Copyright terms: Public domain W3C validator