Theorem fsuppco 9091

Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
fsuppco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppco.v	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppco	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppco.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		fsuppco.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
3		df-f1 6423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
4	3	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
6		cofunex2g 7766	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐺) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
7	1, 5, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
8		fsuppco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
9		suppimacnv 7961	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11		suppimacnv 7961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
12	1, 8, 11	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13		fsuppco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
14	13	fsuppimpd 9065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	12, 14	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16	15, 2	fsuppcolem 9090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
17	10, 16	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fsuppimp 9064	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	18	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
20	13, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21		f1fun 6656	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun 𝐺)
22	2, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
23		funco 6458	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
24	20, 22, 23	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
25		funisfsupp 9063	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
26	24, 7, 8, 25	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
27	17, 26	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583   ∘ ccom 5584  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-supp 7949  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9094  mapfienlem2  9095  coe1sfi  21294  gsumpart  31217