MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppco 9433
Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
fsuppco.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppco.v (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
fsuppco (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco
StepHypRef Expression
1 fsuppco.v . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 fsuppco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
3 df-f1 6558 . . . . . . 7 (𝐺:𝑋1-1𝑌 ↔ (𝐺:𝑋𝑌 ∧ Fun 𝐺))
43simprbi 495 . . . . . 6 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐺)
6 cofunex2g 7959 . . . . 5 ((𝐹𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹𝐺) ∈ V)
71, 5, 6syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
8 fsuppco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑊)
9 suppimacnv 8185 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
107, 8, 9syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11 suppimacnv 8185 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
121, 8, 11syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13 fsuppco.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1413fsuppimpd 9401 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1512, 14eqeltrrd 2830 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1615, 2fsuppcolem 9432 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1710, 16eqeltrd 2829 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fsuppimp 9400 . . . . . 6 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1918simpld 493 . . . . 5 (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
2013, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
21 f1fun 6800 . . . . 5 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
222, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐺)
23 funco 6598 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
2420, 22, 23syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
25 funisfsupp 9399 . . 3 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2624, 7, 8, 25syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2717, 26mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  cdif 3946  {csn 4632   class class class wbr 5152  ccnv 5681  cima 5685  ccom 5686  Fun wfun 6547  wf 6549  1-1wf1 6550  (class class class)co 7426   supp csupp 8171  Fincfn 8970   finSupp cfsupp 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-supp 8172  df-1o 8493  df-en 8971  df-fin 8974  df-fsupp 9394
This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9436  mapfienlem2  9437  psdmplcl  22093  coe1sfi  22139  gsumpart  32790  evlselv  41851
  Copyright terms: Public domain W3C validator