Theorem fsuppco 9419

Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
fsuppco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppco.v	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppco	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppco.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		fsuppco.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
3		df-f1 6541	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
4	3	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
6		cofunex2g 7953	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐺) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
8		fsuppco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
9		suppimacnv 8178	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11		suppimacnv 8178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
12	1, 8, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13		fsuppco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
14	13	fsuppimpd 9386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	12, 14	eqeltrrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16	15, 2	fsuppcolem 9418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
17	10, 16	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fsuppimp 9385	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	18	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
20	13, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21		f1fun 6781	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun 𝐺)
22	2, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
23		funco 6581	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
25		funisfsupp 9384	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
26	24, 7, 8, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
27	17, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  {csn 4606   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  (class class class)co 7410   supp csupp 8164  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-supp 8165  df-1o 8485  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968  df-fsupp 9379

This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9422  mapfienlem2  9423  psdmplcl  22105  coe1sfi  22154  gsumpart  33056  gsumwrd2dccat  33066  evlselv  42577