MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppco 9403
Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
fsuppco.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppco.v (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
fsuppco (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco
StepHypRef Expression
1 fsuppco.v . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 fsuppco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
3 df-f1 6548 . . . . . . 7 (𝐺:𝑋1-1𝑌 ↔ (𝐺:𝑋𝑌 ∧ Fun 𝐺))
43simprbi 496 . . . . . 6 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐺)
6 cofunex2g 7940 . . . . 5 ((𝐹𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹𝐺) ∈ V)
71, 5, 6syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
8 fsuppco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑊)
9 suppimacnv 8164 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
107, 8, 9syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11 suppimacnv 8164 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
121, 8, 11syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13 fsuppco.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1413fsuppimpd 9375 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1512, 14eqeltrrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1615, 2fsuppcolem 9402 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1710, 16eqeltrd 2832 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fsuppimp 9374 . . . . . 6 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1918simpld 494 . . . . 5 (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
2013, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
21 f1fun 6789 . . . . 5 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
222, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐺)
23 funco 6588 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
2420, 22, 23syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
25 funisfsupp 9373 . . 3 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2624, 7, 8, 25syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2717, 26mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  ccnv 5675  cima 5679  ccom 5680  Fun wfun 6537  wf 6539  1-1wf1 6540  (class class class)co 7412   supp csupp 8151  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-supp 8152  df-1o 8472  df-en 8946  df-fin 8949  df-fsupp 9368
This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9406  mapfienlem2  9407  psdmplcl  22014  coe1sfi  22056  gsumpart  32644  evlselv  41624
  Copyright terms: Public domain W3C validator