Theorem fsuppco 9358

Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
fsuppco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppco.v	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppco	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppco.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		fsuppco.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
3		df-f1 6538	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
4	3	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
6		cofunex2g 7943	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐺) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
7	1, 5, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
8		fsuppco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
9		suppimacnv 8166	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11		suppimacnv 8166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
12	1, 8, 11	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13		fsuppco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
14	13	fsuppimpd 9325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	12, 14	eqeltrrd 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16	15, 2	fsuppcolem 9357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
17	10, 16	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fsuppimp 9324	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	18	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
20	13, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21		f1fun 6774	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun 𝐺)
22	2, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
23		funco 6573	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
24	20, 22, 23	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
25		funisfsupp 9323	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
26	24, 7, 8, 25	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
27	17, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  {csn 4591   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  (class class class)co 7408   supp csupp 8152  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-supp 8153  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fsupp 9318

This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9361  mapfienlem2  9362  psdmplcl  22290  coe1sfi  22338  gsumpart  33320  gsumwrd2dccat  33335  selvply1rhmlema  33849  selvply1rhmlem1  33851  mplvrpmlem  33874  mplvrpmfgalem  33875  mplvrpmga  33876  mplvrpmmhm  33877  mplvrpmrhm  33878  evlselv  43206