MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppco 9443
Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
fsuppco.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppco.v (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
fsuppco (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco
StepHypRef Expression
1 fsuppco.v . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 fsuppco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
3 df-f1 6565 . . . . . . 7 (𝐺:𝑋1-1𝑌 ↔ (𝐺:𝑋𝑌 ∧ Fun 𝐺))
43simprbi 496 . . . . . 6 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐺)
6 cofunex2g 7975 . . . . 5 ((𝐹𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹𝐺) ∈ V)
71, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
8 fsuppco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑊)
9 suppimacnv 8200 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
107, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11 suppimacnv 8200 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
121, 8, 11syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13 fsuppco.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1413fsuppimpd 9410 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1512, 14eqeltrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1615, 2fsuppcolem 9442 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1710, 16eqeltrd 2840 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fsuppimp 9409 . . . . . 6 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1918simpld 494 . . . . 5 (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
2013, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
21 f1fun 6805 . . . . 5 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
222, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐺)
23 funco 6605 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
25 funisfsupp 9408 . . 3 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2624, 7, 8, 25syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2717, 26mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cdif 3947  {csn 4625   class class class wbr 5142  ccnv 5683  cima 5687  ccom 5688  Fun wfun 6554  wf 6556  1-1wf1 6557  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-supp 8187  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990  df-fsupp 9403
This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9446  mapfienlem2  9447  psdmplcl  22167  coe1sfi  22216  gsumpart  33061  gsumwrd2dccat  33071  evlselv  42602
  Copyright terms: Public domain W3C validator