Theorem fsuppco 9342

Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
fsuppco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppco.v	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppco	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppco.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		fsuppco.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
3		df-f1 6521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
4	3	simprbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
6		cofunex2g 7926	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐺) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
7	1, 5, 6	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
8		fsuppco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
9		suppimacnv 8148	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
10	7, 8, 9	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11		suppimacnv 8148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
12	1, 8, 11	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13		fsuppco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
14	13	fsuppimpd 9309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	12, 14	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16	15, 2	fsuppcolem 9341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
17	10, 16	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fsuppimp 9308	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	18	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
20	13, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21		f1fun 6757	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun 𝐺)
22	2, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
23		funco 6556	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
24	20, 22, 23	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
25		funisfsupp 9307	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
26	24, 7, 8, 25	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
27	17, 26	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  {csn 4579   class class class wbr 5097  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646   ∘ ccom 5647  Fun wfun 6510  ⟶wf 6512  –1-1→wf1 6513  (class class class)co 7391   supp csupp 8134  Fincfn 8921   finSupp cfsupp 9301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-supp 8135  df-1o 8431  df-en 8922  df-dom 8923  df-fin 8925  df-fsupp 9302

This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9345  mapfienlem2  9346  psdmplcl  22215  coe1sfi  22263  gsumpart  33204  gsumwrd2dccat  33219  selvply1rhmlema  33776  selvply1rhmlem1  33778  mplvrpmlem  33801  mplvrpmfgalem  33802  mplvrpmga  33803  mplvrpmmhm  33804  mplvrpmrhm  33805  evlselv  43132