Theorem fsuppco 9471

Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
fsuppco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppco.v	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fsuppco	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppco.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		fsuppco.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
3		df-f1 6578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
4	3	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
6		cofunex2g 7990	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐺) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
7	1, 5, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
8		fsuppco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
9		suppimacnv 8215	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11		suppimacnv 8215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
12	1, 8, 11	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13		fsuppco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
14	13	fsuppimpd 9439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	12, 14	eqeltrrd 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16	15, 2	fsuppcolem 9470	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
17	10, 16	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fsuppimp 9438	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	18	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
20	13, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21		f1fun 6819	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun 𝐺)
22	2, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
23		funco 6618	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
24	20, 22, 23	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
25		funisfsupp 9437	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
26	24, 7, 8, 25	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
27	17, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  (class class class)co 7448   supp csupp 8201  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-supp 8202  df-1o 8522  df-en 9004  df-dom 9005  df-fin 9007  df-fsupp 9432

This theorem is referenced by:  mapfienlem1  9474  mapfienlem2  9475  psdmplcl  22189  coe1sfi  22236  gsumpart  33038  evlselv  42542