MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppco 8849
Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppco.g (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
fsuppco.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppco.v (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
fsuppco (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppco
StepHypRef Expression
1 fsuppco.v . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 fsuppco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋1-1𝑌)
3 df-f1 6341 . . . . . . 7 (𝐺:𝑋1-1𝑌 ↔ (𝐺:𝑋𝑌 ∧ Fun 𝐺))
43simprbi 500 . . . . . 6 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐺)
6 cofunex2g 7634 . . . . 5 ((𝐹𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹𝐺) ∈ V)
71, 5, 6syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
8 fsuppco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑊)
9 suppimacnv 7824 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
107, 8, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
11 suppimacnv 7824 . . . . . 6 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
121, 8, 11syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
13 fsuppco.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1413fsuppimpd 8824 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1512, 14eqeltrrd 2917 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1615, 2fsuppcolem 8848 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
1710, 16eqeltrd 2916 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fsuppimp 8823 . . . . . 6 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1918simpld 498 . . . . 5 (𝐹 finSupp 𝑍 → Fun 𝐹)
2013, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
21 f1fun 6558 . . . . 5 (𝐺:𝑋1-1𝑌 → Fun 𝐺)
222, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐺)
23 funco 6376 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
2420, 22, 23syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
25 funisfsupp 8822 . . 3 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2624, 7, 8, 25syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
2717, 26mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cdif 3915  {csn 4548   class class class wbr 5047  ccnv 5535  cima 5539  ccom 5540  Fun wfun 6330  wf 6332  1-1wf1 6333  (class class class)co 7138   supp csupp 7813  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-supp 7814  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-fin 8496  df-fsupp 8818
This theorem is referenced by:  mapfienlem1  8852  mapfienlem2  8853  coe1sfi  20367
  Copyright terms: Public domain W3C validator