MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzres 19684
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzres.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
gsumzres.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzres (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumzres
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 gsumzcl.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
3 inex1g 5276 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑊) ∈ V)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑊) ∈ V)
5 gsumzcl.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
65gsumz 18645 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴𝑊) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = 0 )
71, 4, 6syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = 0 )
85gsumz 18645 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
91, 2, 8syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )) = 0 )
107, 9eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
12 resres 5950 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹 ↾ (𝐴𝑊))
13 gsumzcl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
14 ffn 6668 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
15 fnresdm 6620 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1716reseq1d 5936 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ 𝑊) = (𝐹𝑊))
1812, 17eqtr3id 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝐹𝑊))
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝐹𝑊))
205fvexi 6856 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑0 ∈ V)
22 ssid 3966 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
2413, 2, 21, 23gsumcllem 19683 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → 𝐹 = (𝑘𝐴0 ))
2524reseq1d 5936 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = ((𝑘𝐴0 ) ↾ (𝐴𝑊)))
26 inss1 4188 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴
27 resmpt 5991 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑘𝐴0 ) ↾ (𝐴𝑊)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 ))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑘𝐴0 ) ↾ (𝐴𝑊)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )
2925, 28eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 ))
3019, 29eqtr3d 2778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐹𝑊) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 ))
3130oveq2d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↦ 0 )))
3224oveq2d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴0 )))
3311, 31, 323eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) = ∅) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))
3433ex 413 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
35 f1ofo 6791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ))
36 forn 6759 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
3837ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ))
39 gsumzres.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
4138, 40eqsstrd 3982 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝑓𝑊)
42 cores 6201 . . . . . . . . 9 (ran 𝑓𝑊 → ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐹𝑓))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐹𝑓))
4443seqeq3d 13913 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → seq1((+g𝐺), ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓)) = seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓)))
4544fveq1d 6844 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
46 gsumzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
47 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
48 gsumzcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
491adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
504adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐴𝑊) ∈ V)
5113adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐹:𝐴𝐵)
52 fssres 6708 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝑊) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
5351, 26, 52sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
5418feq1d 6653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵 ↔ (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵))
5554biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴𝑊)):(𝐴𝑊)⟶𝐵) → (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
5653, 55syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑊):(𝐴𝑊)⟶𝐵)
57 gsumzcl.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
58 resss 5962 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑊) ⊆ 𝐹
5958rnssi 5895 . . . . . . . . 9 ran (𝐹𝑊) ⊆ ran 𝐹
6048cntzidss 19116 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹) ∧ ran (𝐹𝑊) ⊆ ran 𝐹) → ran (𝐹𝑊) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑊)))
6157, 59, 60sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐹𝑊) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑊)))
6261adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹𝑊) ⊆ (𝑍‘ran (𝐹𝑊)))
63 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ)
64 f1of1 6783 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
6564ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ))
66 suppssdm 8107 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
6766, 13fssdm 6688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
6867, 39ssind 4192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴𝑊))
6968adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴𝑊))
70 f1ss 6744 . . . . . . . 8 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴𝑊)) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐴𝑊))
7165, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐴𝑊))
7213, 2fexd 7176 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ V)
73 ressuppss 8113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
7472, 20, 73sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
75 sseq2 3970 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ) → (((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓 ↔ ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
7674, 75syl5ibr 245 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑓 = (𝐹 supp 0 ) → (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓))
7735, 36, 763syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓))
7877adantl 482 . . . . . . . 8 (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝜑 → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓))
7978impcom 408 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ((𝐹𝑊) supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
80 eqid 2736 . . . . . . 7 (((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) supp 0 ) = (((𝐹𝑊) ∘ 𝑓) supp 0 )
8146, 5, 47, 48, 49, 50, 56, 62, 63, 71, 79, 80gsumval3 19682 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (seq1((+g𝐺), ((𝐹𝑊) ∘ 𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
822adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝐴𝑉)
8357adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
8467adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
85 f1ss 6744 . . . . . . . 8 ((𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1→(𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
8665, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1𝐴)
8722, 38sseqtrrid 3997 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝑓)
88 eqid 2736 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓) supp 0 ) = ((𝐹𝑓) supp 0 )
8946, 5, 47, 48, 49, 82, 51, 83, 63, 86, 87, 88gsumval3 19682 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), (𝐹𝑓))‘(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
9045, 81, 893eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))
9190expr 457 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
9291exlimdv 1936 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
9392expimpd 454 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹)))
94 gsumzres.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
95 fsuppimp 9310 . . . 4 (𝐹 finSupp 0 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
9695simprd 496 . . 3 (𝐹 finSupp 0 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
97 fz1f1o 15594 . . 3 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
9894, 96, 973syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ∨ ((♯‘(𝐹 supp 0 )) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))))
9934, 93, 98mpjaod 858 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7356   supp csupp 8091  Fincfn 8882   finSupp cfsupp 9304  1c1 11051  cn 12152  ...cfz 13423  seqcseq 13905  chash 14229  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  0gc0g 17320   Σg cgsu 17321  Mndcmnd 18555  Cntzccntz 19093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-seq 13906  df-hash 14230  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-cntz 19095
This theorem is referenced by:  gsumres  19688  gsumzsplit  19702  gsumpt  19737  dmdprdsplitlem  19814  dpjidcl  19835  mplcoe5  21439
  Copyright terms: Public domain W3C validator