Theorem fsuppimpd 9339

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9338	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  Fun wfun 6537  (class class class)co 7423   supp csupp 8165  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-fsupp 9332

This theorem is used by:  fsuppsssupp  9351  fsuppsssuppgd  9352  fsuppxpfi  9355  fsuppun  9357  resfsupp  9366  fsuppmptif  9369  fsuppco  9372  fsuppco2  9373  fsuppcor  9374  cantnfcl  9646  cantnfp1lem1  9657  fsuppmapnn0fiublem  14046  fsuppmapnn0fiub  14047  fsuppmapnn0ub  14051  mndpfsupp  18856  gsumzcl  20012  gsumcl  20016  gsumzadd  20023  gsumzmhm  20038  gsumzoppg  20045  gsum2dlem1  20071  gsum2dlem2  20072  gsum2d  20073  gsumxp2  20081  gsumdixp  20433  lcomfsupp  21060  mptscmfsupp0  21085  regsumsupp  21809  frlmphllem  21967  uvcresum  21980  frlmsslsp  21983  frlmup1  21985  mplcoe1  22225  mplbas2  22230  psrbagev1  22265  evlslem2  22267  evlslem6  22269  psdmplcl  22362  evls1fpws  22566  tsmsgsum  24333  rrxcph  25588  rrxfsupp  25598  mdegldg  26260  mdegcl  26263  plypf1  26406  fsuppinisegfi  33069  fsupprnfi  33074  fsuppcurry1  33106  fsuppcurry2  33107  offinsupp1  33108  gsumfs2d  33412  gsumhashmul  33418  rmfsupp2  33588  elrgspnlem2  33594  elrgspnlem4  33596  elrgspnsubrunlem1  33598  elrgspnsubrunlem2  33599  elrspunidl  33767  elrspunsn  33768  rprmdvdsprod  33855  extvfvcl  33957  psrmonprod  33973  esplyfval3  33993  esplyind  33996  fedgmullem1  34050  fedgmullem2  34051  evls1fldgencl  34091  fldextrspunlsplem  34094  fldextrspunlsp  34095  zarcmplem  34302  fsuppind  43363  mnringmulrcld  44993  rmfsupp  49194  scmfsupp  49196  lincresunit2  49299