MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppimpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppimpd 8828
Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppimpd.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppimpd (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd
StepHypRef Expression
1 fsuppimpd.f . 2 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
2 fsuppimp 8827 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
32simprd 496 . 2 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
41, 3syl 17 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  Fun wfun 6342  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8837  fsuppxpfi  8838  fsuppun  8840  resfsupp  8848  fsuppmptif  8851  fsuppco  8853  fsuppco2  8854  fsuppcor  8855  cantnfcl  9118  cantnfp1lem1  9129  fsuppmapnn0fiublem  13346  fsuppmapnn0fiub  13347  fsuppmapnn0ub  13351  gsumzcl  18960  gsumcl  18964  gsumzadd  18971  gsumzmhm  18986  gsumzoppg  18993  gsum2dlem1  19019  gsum2dlem2  19020  gsum2d  19021  gsumxp2  19029  gsumdixp  19288  lcomfsupp  19603  mptscmfsupp0  19628  mplcoe1  20174  mplbas2  20179  psrbagev1  20218  evlslem2  20220  evlslem6  20222  regsumsupp  20694  frlmphllem  20852  uvcresum  20865  frlmsslsp  20868  frlmup1  20870  tsmsgsum  22674  rrxcph  23922  rrxfsupp  23932  mdegldg  24587  mdegcl  24590  plypf1  24729  fsuppcurry1  30387  fsuppcurry2  30388  offinsupp1  30389  rmfsupp2  30793  fedgmullem1  30924  fedgmullem2  30925  rmfsupp  44350  mndpfsupp  44352  scmfsupp  44354  lincresunit2  44461
  Copyright terms: Public domain W3C validator