Theorem fsuppimpd 9409

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9408	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  Fun wfun 6555  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-fsupp 9402

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9421  fsuppsssuppgd  9422  fsuppxpfi  9425  fsuppun  9427  resfsupp  9436  fsuppmptif  9439  fsuppco  9442  fsuppco2  9443  fsuppcor  9444  cantnfcl  9707  cantnfp1lem1  9718  fsuppmapnn0fiublem  14031  fsuppmapnn0fiub  14032  fsuppmapnn0ub  14036  mndpfsupp  18780  gsumzcl  19929  gsumcl  19933  gsumzadd  19940  gsumzmhm  19955  gsumzoppg  19962  gsum2dlem1  19988  gsum2dlem2  19989  gsum2d  19990  gsumxp2  19998  gsumdixp  20316  lcomfsupp  20900  mptscmfsupp0  20925  regsumsupp  21640  frlmphllem  21800  uvcresum  21813  frlmsslsp  21816  frlmup1  21818  mplcoe1  22055  mplbas2  22060  psrbagev1  22101  evlslem2  22103  evlslem6  22105  psdmplcl  22166  evls1fpws  22373  tsmsgsum  24147  rrxcph  25426  rrxfsupp  25436  mdegldg  26105  mdegcl  26108  plypf1  26251  fsuppinisegfi  32696  fsupprnfi  32701  fsuppcurry1  32736  fsuppcurry2  32737  offinsupp1  32738  gsumfs2d  33058  gsumhashmul  33064  rmfsupp2  33242  elrgspnlem2  33247  elrgspnlem4  33249  elrgspnsubrunlem1  33251  elrgspnsubrunlem2  33252  elrspunidl  33456  elrspunsn  33457  rprmdvdsprod  33562  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  evls1fldgencl  33720  fldextrspunlsplem  33723  fldextrspunlsp  33724  zarcmplem  33880  fsuppind  42600  mnringmulrcld  44247  rmfsupp  48289  scmfsupp  48291  lincresunit2  48395