Theorem fsuppimpd 9253

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9252	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  Fun wfun 6475  (class class class)co 7346   supp csupp 8090  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-fsupp 9246

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9265  fsuppsssuppgd  9266  fsuppxpfi  9269  fsuppun  9271  resfsupp  9280  fsuppmptif  9283  fsuppco  9286  fsuppco2  9287  fsuppcor  9288  cantnfcl  9557  cantnfp1lem1  9568  fsuppmapnn0fiublem  13894  fsuppmapnn0fiub  13895  fsuppmapnn0ub  13899  mndpfsupp  18672  gsumzcl  19821  gsumcl  19825  gsumzadd  19832  gsumzmhm  19847  gsumzoppg  19854  gsum2dlem1  19880  gsum2dlem2  19881  gsum2d  19882  gsumxp2  19890  gsumdixp  20235  lcomfsupp  20833  mptscmfsupp0  20858  regsumsupp  21557  frlmphllem  21715  uvcresum  21728  frlmsslsp  21731  frlmup1  21733  mplcoe1  21970  mplbas2  21975  psrbagev1  22010  evlslem2  22012  evlslem6  22014  psdmplcl  22075  evls1fpws  22282  tsmsgsum  24052  rrxcph  25317  rrxfsupp  25327  mdegldg  25996  mdegcl  25999  plypf1  26142  fsuppinisegfi  32663  fsupprnfi  32668  fsuppcurry1  32702  fsuppcurry2  32703  offinsupp1  32704  gsumfs2d  33030  gsumhashmul  33036  rmfsupp2  33200  elrgspnlem2  33205  elrgspnlem4  33207  elrgspnsubrunlem1  33209  elrgspnsubrunlem2  33210  elrspunidl  33388  elrspunsn  33389  rprmdvdsprod  33494  fedgmullem1  33637  fedgmullem2  33638  evls1fldgencl  33678  fldextrspunlsplem  33681  fldextrspunlsp  33682  zarcmplem  33889  fsuppind  42622  mnringmulrcld  44260  rmfsupp  48403  scmfsupp  48405  lincresunit2  48509