Theorem fsuppimpd 9317

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9316	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 500	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  Fun wfun 6519  (class class class)co 7400   supp csupp 8144  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-fsupp 9310

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9329  fsuppsssuppgd  9330  fsuppxpfi  9333  fsuppun  9335  resfsupp  9344  fsuppmptif  9347  fsuppco  9350  fsuppco2  9351  fsuppcor  9352  cantnfcl  9624  cantnfp1lem1  9635  fsuppmapnn0fiublem  14017  fsuppmapnn0fiub  14018  fsuppmapnn0ub  14022  mndpfsupp  18815  gsumzcl  19972  gsumcl  19976  gsumzadd  19983  gsumzmhm  19998  gsumzoppg  20005  gsum2dlem1  20031  gsum2dlem2  20032  gsum2d  20033  gsumxp2  20041  gsumdixp  20391  lcomfsupp  20992  mptscmfsupp0  21017  regsumsupp  21732  frlmphllem  21890  uvcresum  21903  frlmsslsp  21906  frlmup1  21908  mplcoe1  22148  mplbas2  22153  psrbagev1  22188  evlslem2  22190  evlslem6  22192  psdmplcl  22285  evls1fpws  22490  tsmsgsum  24257  rrxcph  25512  rrxfsupp  25522  mdegldg  26184  mdegcl  26187  plypf1  26330  fsuppinisegfi  32944  fsupprnfi  32949  fsuppcurry1  32981  fsuppcurry2  32982  offinsupp1  32983  gsumfs2d  33294  gsumhashmul  33300  rmfsupp2  33470  elrgspnlem2  33476  elrgspnlem4  33478  elrgspnsubrunlem1  33480  elrgspnsubrunlem2  33481  elrspunidl  33652  elrspunsn  33653  rprmdvdsprod  33741  extvfvcl  33843  psrmonprod  33859  esplyfval3  33879  esplyind  33882  fedgmullem1  33936  fedgmullem2  33937  evls1fldgencl  33977  fldextrspunlsplem  33980  fldextrspunlsp  33981  zarcmplem  34188  fsuppind  43184  mnringmulrcld  44816  rmfsupp  49004  scmfsupp  49006  lincresunit2  49109