Theorem fsuppimpd 8824

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 8823	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 499	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  Fun wfun 6318  (class class class)co 7135   supp csupp 7813  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-fsupp 8818

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8833  fsuppxpfi  8834  fsuppun  8836  resfsupp  8844  fsuppmptif  8847  fsuppco  8849  fsuppco2  8850  fsuppcor  8851  cantnfcl  9114  cantnfp1lem1  9125  fsuppmapnn0fiublem  13353  fsuppmapnn0fiub  13354  fsuppmapnn0ub  13358  gsumzcl  19024  gsumcl  19028  gsumzadd  19035  gsumzmhm  19050  gsumzoppg  19057  gsum2dlem1  19083  gsum2dlem2  19084  gsum2d  19085  gsumxp2  19093  gsumdixp  19355  lcomfsupp  19667  mptscmfsupp0  19692  regsumsupp  20311  frlmphllem  20469  uvcresum  20482  frlmsslsp  20485  frlmup1  20487  mplcoe1  20705  mplbas2  20710  psrbagev1  20749  evlslem2  20751  evlslem6  20753  tsmsgsum  22744  rrxcph  23996  rrxfsupp  24006  mdegldg  24667  mdegcl  24670  plypf1  24809  fsuppinisegfi  30447  fsupprnfi  30452  fsuppcurry1  30487  fsuppcurry2  30488  offinsupp1  30489  gsumhashmul  30741  rmfsupp2  30917  elrspunidl  31014  fedgmullem1  31113  fedgmullem2  31114  zarcmplem  31234  fsuppind  39456  mnringmulrcld  40936  rmfsupp  44776  mndpfsupp  44778  scmfsupp  44780  lincresunit2  44887