Theorem fsuppimpd 9135

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9134	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 496	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  Fun wfun 6427  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-fsupp 9129

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9144  fsuppxpfi  9145  fsuppun  9147  resfsupp  9155  fsuppmptif  9158  fsuppco  9161  fsuppco2  9162  fsuppcor  9163  cantnfcl  9425  cantnfp1lem1  9436  fsuppmapnn0fiublem  13710  fsuppmapnn0fiub  13711  fsuppmapnn0ub  13715  gsumzcl  19512  gsumcl  19516  gsumzadd  19523  gsumzmhm  19538  gsumzoppg  19545  gsum2dlem1  19571  gsum2dlem2  19572  gsum2d  19573  gsumxp2  19581  gsumdixp  19848  lcomfsupp  20163  mptscmfsupp0  20188  regsumsupp  20827  frlmphllem  20987  uvcresum  21000  frlmsslsp  21003  frlmup1  21005  mplcoe1  21238  mplbas2  21243  psrbagev1  21285  psrbagev1OLD  21286  evlslem2  21289  evlslem6  21291  tsmsgsum  23290  rrxcph  24556  rrxfsupp  24566  mdegldg  25231  mdegcl  25234  plypf1  25373  fsuppinisegfi  31021  fsupprnfi  31026  fsuppcurry1  31060  fsuppcurry2  31061  offinsupp1  31062  gsumhashmul  31316  rmfsupp2  31492  elrspunidl  31606  fedgmullem1  31710  fedgmullem2  31711  zarcmplem  31831  evlsbagval  40275  fsuppind  40279  mhphf  40285  mnringmulrcld  41846  rmfsupp  45710  mndpfsupp  45712  scmfsupp  45714  lincresunit2  45819