Theorem fsuppimpd 9282

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9281	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  Fun wfun 6493  (class class class)co 7367   supp csupp 8110  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7370  df-fsupp 9275

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9294  fsuppsssuppgd  9295  fsuppxpfi  9298  fsuppun  9300  resfsupp  9309  fsuppmptif  9312  fsuppco  9315  fsuppco2  9316  fsuppcor  9317  cantnfcl  9588  cantnfp1lem1  9599  fsuppmapnn0fiublem  13952  fsuppmapnn0fiub  13953  fsuppmapnn0ub  13957  mndpfsupp  18735  gsumzcl  19886  gsumcl  19890  gsumzadd  19897  gsumzmhm  19912  gsumzoppg  19919  gsum2dlem1  19945  gsum2dlem2  19946  gsum2d  19947  gsumxp2  19955  gsumdixp  20298  lcomfsupp  20897  mptscmfsupp0  20922  regsumsupp  21602  frlmphllem  21760  uvcresum  21773  frlmsslsp  21776  frlmup1  21778  mplcoe1  22015  mplbas2  22020  psrbagev1  22055  evlslem2  22057  evlslem6  22059  psdmplcl  22128  evls1fpws  22334  tsmsgsum  24104  rrxcph  25359  rrxfsupp  25369  mdegldg  26031  mdegcl  26034  plypf1  26177  fsuppinisegfi  32760  fsupprnfi  32765  fsuppcurry1  32797  fsuppcurry2  32798  offinsupp1  32799  gsumfs2d  33122  gsumhashmul  33128  rmfsupp2  33299  elrgspnlem2  33304  elrgspnlem4  33306  elrgspnsubrunlem1  33308  elrgspnsubrunlem2  33309  elrspunidl  33488  elrspunsn  33489  rprmdvdsprod  33594  extvfvcl  33680  psrmonprod  33696  esplyfval3  33716  esplyind  33719  fedgmullem1  33773  fedgmullem2  33774  evls1fldgencl  33814  fldextrspunlsplem  33817  fldextrspunlsp  33818  zarcmplem  34025  fsuppind  43023  mnringmulrcld  44655  rmfsupp  48843  scmfsupp  48845  lincresunit2  48948