Theorem fsuppimpd 9343

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9342	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  Fun wfun 6531  (class class class)co 7417   supp csupp 8162  Fincfn 8956   finSupp cfsupp 9335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-fsupp 9336

This theorem is used by:  fsuppsssupp  9355  fsuppsssuppgd  9356  fsuppxpfi  9359  fsuppun  9361  resfsupp  9370  fsuppmptif  9373  fsuppco  9376  fsuppco2  9377  fsuppcor  9378  cantnfcl  9650  cantnfp1lem1  9661  fsuppmapnn0fiublem  14058  fsuppmapnn0fiub  14059  fsuppmapnn0ub  14063  mndpfsupp  18880  gsumzcl  20044  gsumcl  20048  gsumzadd  20055  gsumzmhm  20070  gsumzoppg  20077  gsum2dlem1  20103  gsum2dlem2  20104  gsum2d  20105  gsumxp2  20113  gsumdixp  20465  lcomfsupp  21092  mptscmfsupp0  21117  regsumsupp  21841  frlmphllem  21999  uvcresum  22012  frlmsslsp  22015  frlmup1  22017  mplcoe1  22259  mplbas2  22264  psrbagev1  22299  evlslem2  22301  evlslem6  22303  psdmplcl  22396  evls1fpws  22600  tsmsgsum  24371  rrxcph  25626  rrxfsupp  25636  mdegldg  26298  mdegcl  26301  plypf1  26445  fsuppinisegfi  33167  fsupprnfi  33172  fsuppcurry1  33203  fsuppcurry2  33204  offinsupp1  33205  gsumfs2d  33509  gsumhashmul  33515  rmfsupp2  33685  elrgspnlem2  33691  elrgspnlem4  33693  elrgspnsubrunlem1  33695  elrgspnsubrunlem2  33696  elrspunidl  33864  elrspunsn  33865  rprmdvdsprod  33952  extvfvcl  34054  psrmonprod  34070  esplyfval3  34090  esplyind  34093  fedgmullem1  34147  fedgmullem2  34148  evls1fldgencl  34188  fldextrspunlsplem  34191  fldextrspunlsp  34192  zarcmplem  34399  fsuppind  43444  mnringmulrcld  45074  rmfsupp  49311  scmfsupp  49313  lincresunit2  49416