Theorem fsuppimpd 9065

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9064	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  Fun wfun 6412  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9074  fsuppxpfi  9075  fsuppun  9077  resfsupp  9085  fsuppmptif  9088  fsuppco  9091  fsuppco2  9092  fsuppcor  9093  cantnfcl  9355  cantnfp1lem1  9366  fsuppmapnn0fiublem  13638  fsuppmapnn0fiub  13639  fsuppmapnn0ub  13643  gsumzcl  19427  gsumcl  19431  gsumzadd  19438  gsumzmhm  19453  gsumzoppg  19460  gsum2dlem1  19486  gsum2dlem2  19487  gsum2d  19488  gsumxp2  19496  gsumdixp  19763  lcomfsupp  20078  mptscmfsupp0  20103  regsumsupp  20739  frlmphllem  20897  uvcresum  20910  frlmsslsp  20913  frlmup1  20915  mplcoe1  21148  mplbas2  21153  psrbagev1  21195  psrbagev1OLD  21196  evlslem2  21199  evlslem6  21201  tsmsgsum  23198  rrxcph  24461  rrxfsupp  24471  mdegldg  25136  mdegcl  25139  plypf1  25278  fsuppinisegfi  30923  fsupprnfi  30928  fsuppcurry1  30962  fsuppcurry2  30963  offinsupp1  30964  gsumhashmul  31218  rmfsupp2  31394  elrspunidl  31508  fedgmullem1  31612  fedgmullem2  31613  zarcmplem  31733  evlsbagval  40198  fsuppind  40202  mhphf  40208  mnringmulrcld  41735  rmfsupp  45598  mndpfsupp  45600  scmfsupp  45602  lincresunit2  45707