Theorem fsuppimpd 9369

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9368	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 497	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  Fun wfun 6538  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-fsupp 9362

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9379  fsuppxpfi  9380  fsuppun  9382  resfsupp  9391  fsuppmptif  9394  fsuppco  9397  fsuppco2  9398  fsuppcor  9399  cantnfcl  9662  cantnfp1lem1  9673  fsuppmapnn0fiublem  13955  fsuppmapnn0fiub  13956  fsuppmapnn0ub  13960  gsumzcl  19779  gsumcl  19783  gsumzadd  19790  gsumzmhm  19805  gsumzoppg  19812  gsum2dlem1  19838  gsum2dlem2  19839  gsum2d  19840  gsumxp2  19848  gsumdixp  20131  lcomfsupp  20512  mptscmfsupp0  20537  regsumsupp  21175  frlmphllem  21335  uvcresum  21348  frlmsslsp  21351  frlmup1  21353  mplcoe1  21592  mplbas2  21597  psrbagev1  21638  psrbagev1OLD  21639  evlslem2  21642  evlslem6  21644  tsmsgsum  23643  rrxcph  24909  rrxfsupp  24919  mdegldg  25584  mdegcl  25587  plypf1  25726  fsuppinisegfi  31909  fsupprnfi  31914  fsuppcurry1  31950  fsuppcurry2  31951  offinsupp1  31952  gsumhashmul  32208  rmfsupp2  32387  elrspunidl  32546  elrspunsn  32547  evls1fpws  32646  fedgmullem1  32714  fedgmullem2  32715  zarcmplem  32861  fsuppsssuppgd  41064  fsuppind  41162  mnringmulrcld  42987  rmfsupp  47050  mndpfsupp  47052  scmfsupp  47054  lincresunit2  47159