Theorem fsuppimpd 9371

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 9370	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 496	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  Fun wfun 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-fsupp 9364

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9381  fsuppxpfi  9382  fsuppun  9384  resfsupp  9393  fsuppmptif  9396  fsuppco  9399  fsuppco2  9400  fsuppcor  9401  cantnfcl  9664  cantnfp1lem1  9675  fsuppmapnn0fiublem  13957  fsuppmapnn0fiub  13958  fsuppmapnn0ub  13962  gsumzcl  19781  gsumcl  19785  gsumzadd  19792  gsumzmhm  19807  gsumzoppg  19814  gsum2dlem1  19840  gsum2dlem2  19841  gsum2d  19842  gsumxp2  19850  gsumdixp  20135  lcomfsupp  20517  mptscmfsupp0  20542  regsumsupp  21181  frlmphllem  21341  uvcresum  21354  frlmsslsp  21357  frlmup1  21359  mplcoe1  21598  mplbas2  21603  psrbagev1  21644  psrbagev1OLD  21645  evlslem2  21648  evlslem6  21650  tsmsgsum  23650  rrxcph  24916  rrxfsupp  24926  mdegldg  25591  mdegcl  25594  plypf1  25733  fsuppinisegfi  31947  fsupprnfi  31952  fsuppcurry1  31988  fsuppcurry2  31989  offinsupp1  31990  gsumhashmul  32249  rmfsupp2  32428  elrspunidl  32591  elrspunsn  32592  evls1fpws  32691  fedgmullem1  32773  fedgmullem2  32774  evls1fldgencl  32804  zarcmplem  32930  fsuppsssuppgd  41150  fsuppind  41244  mnringmulrcld  43069  rmfsupp  47129  mndpfsupp  47131  scmfsupp  47133  lincresunit2  47237