Theorem fvtp3 7143

Description: The third value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp3.1	⊢ 𝐶 ∈ V
fvtp3.4	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvtp3	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐶) = 𝐹)

Proof of Theorem fvtp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 4705	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}
2	1	fveq1i 6834	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐶) = ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶)
3		necom 2984	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
4		fvtp3.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
5		fvtp3.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
6	4, 5	fvtp2 7142	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶) = 𝐹)
7	3, 6	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶) = 𝐹)
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶) = 𝐹)
9	2, 8	eqtrid 2782	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐶) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  Vcvv 3439  {ctp 4583  ⟨cop 4585  ‘cfv 6491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-res 5635  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fv 6499

This theorem is referenced by:  fntpb  7155  rabren3dioph  43094  nnsum4primesodd  48079  nnsum4primesoddALTV  48080