Theorem fvtp3 7174

Description: The third value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp3.1	⊢ 𝐶 ∈ V
fvtp3.4	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvtp3	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐶) = 𝐹)

Proof of Theorem fvtp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 4716	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}
2	1	fveq1i 6862	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐶) = ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶)
3		necom 2979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
4		fvtp3.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
5		fvtp3.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
6	4, 5	fvtp2 7173	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶) = 𝐹)
7	3, 6	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶) = 𝐹)
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐶) = 𝐹)
9	2, 8	eqtrid 2777	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐶) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  {ctp 4596  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  fntpb  7186  rabren3dioph  42810  nnsum4primesodd  47801  nnsum4primesoddALTV  47802