Theorem icoltubd 45990

Description: An element of a left-closed right-open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoltubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
icoltubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icoltubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icoltubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem icoltubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoltubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		icoltubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		icoltubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4		icoltub 45953	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  [,)cico 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-xr 11174  df-ico 13295

This theorem is referenced by:  icomnfinre  45997  xlimmnfvlem1  46275