Theorem icoltubd 46319

Description: An element of a left-closed right-open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoltubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
icoltubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icoltubd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
icoltubd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem icoltubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoltubd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		icoltubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		icoltubd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4		icoltub 46282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258  [,)cico 13390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-xr 11262  df-ico 13394

This theorem is used by:  icomnfinre  46326  xlimmnfvlem1  46604  fourierdlem48  46926