Theorem icoltub 46627

Description: An element of a left-closed right-open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
icoltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem icoltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico1 13524	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  ℝ^*cxr 11347   < clt 11348   ≤ cle 11349  [,)cico 13483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-xr 11352  df-ico 13487

This theorem is used by:  icoopn  46644  icoub  46645  icoltubd  46664  ltmod  46755  limcresioolb  46760  fourierdlem41  47265  fourierdlem43  47267  fourierdlem46  47269  fouriersw  47348  hoidmv1lelem2  47709  hoidmvlelem2  47713  hspdifhsp  47733  hspmbllem2  47744  iinhoiicclem  47790  preimaicomnf  47828