Theorem icoltub 45868

Description: An element of a left-closed right-open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
icoltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem icoltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico1 13316	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  [,)cico 13275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-xr 11182  df-ico 13279

This theorem is referenced by:  icoopn  45885  icoub  45886  icoltubd  45905  ltmod  45996  limcresioolb  46001  fourierdlem41  46506  fourierdlem43  46508  fourierdlem46  46510  fourierdlem48  46512  fouriersw  46589  hoidmv1lelem2  46950  hoidmvlelem2  46954  hspdifhsp  46974  hspmbllem2  46985  iinhoiicclem  47031  preimaicomnf  47069