Theorem icomnfinre 46000

Description: A left-closed, right-open, interval of extended reals, intersected with the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
icomnfinre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
icomnfinre	⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Proof of Theorem icomnfinre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11193	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ ∈ ℝ*)
3		icomnfinre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elinel2 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	mnfltd 13066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ < 𝑥)
8		elinel1 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
10	2, 4, 9	icoltubd 45993	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 < 𝐴)
11	2, 4, 6, 7, 10	eliood 45946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
12	11	ssd 45529	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) ⊆ (-∞(,)𝐴))
13		ioossico 13382	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ (-∞[,)𝐴)
14		ioossre 13351	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
15	13, 14	ssini 4181	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ))
17	12, 16	eqssd 3940	1 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169  (,)cioo 13289  [,)cico 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-ico 13295

This theorem is referenced by:  preimaioomnf  47165