Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icomnfinre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icomnfinre 42187
Description: A left-closed, right-open, interval of extended reals, intersected with the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
icomnfinre.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
icomnfinre (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Proof of Theorem icomnfinre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10687 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ ∈ ℝ*)
3 icomnfinre.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 elinel2 4123 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
65adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76mnfltd 12507 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ < 𝑥)
8 elinel1 4122 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
98adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
102, 4, 9icoltubd 42180 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 < 𝐴)
112, 4, 6, 7, 10eliood 42133 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
1211ssd 41714 . 2 (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) ⊆ (-∞(,)𝐴))
13 ioossico 12816 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ⊆ (-∞[,)𝐴)
14 ioossre 12786 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
1513, 14ssini 4158 . . 3 (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ))
1712, 16eqssd 3932 1 (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  cin 3880  wss 3881  (class class class)co 7135  cr 10525  -∞cmnf 10662  *cxr 10663  (,)cioo 12726  [,)cico 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730  df-ico 12732
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  43352
  Copyright terms: Public domain W3C validator