Theorem icomnfinre 46837

Description: A left-closed, right-open, interval of extended reals, intersected with the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
icomnfinre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
icomnfinre	⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Proof of Theorem icomnfinre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11405	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ ∈ ℝ*)
3		icomnfinre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elinel2 4102	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	mnfltd 13293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ < 𝑥)
8		elinel1 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
10	2, 4, 9	icoltubd 46830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 < 𝐴)
11	2, 4, 6, 7, 10	eliood 46783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
12	11	ssd 46370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) ⊆ (-∞(,)𝐴))
13		ioossico 13609	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ (-∞[,)𝐴)
14		ioossre 13578	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
15	13, 14	ssini 4139	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ))
17	12, 16	eqssd 3930	1 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381  (,)cioo 13516  [,)cico 13518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ioo 13520  df-ico 13522

This theorem is used by:  preimaioomnf  48002