Theorem icomnfinre 42717

Description: A left-closed, right-open, interval of extended reals, intersected with the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
icomnfinre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
icomnfinre	⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Proof of Theorem icomnfinre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 10873	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ ∈ ℝ*)
3		icomnfinre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elinel2 4100	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	mnfltd 12699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ < 𝑥)
8		elinel1 4099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
9	8	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
10	2, 4, 9	icoltubd 42710	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 < 𝐴)
11	2, 4, 6, 7, 10	eliood 42663	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
12	11	ssd 42255	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) ⊆ (-∞(,)𝐴))
13		ioossico 13009	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ (-∞[,)𝐴)
14		ioossre 12979	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
15	13, 14	ssini 4136	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ))
17	12, 16	eqssd 3908	1 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  (class class class)co 7202  ℝcr 10711  -∞cmnf 10848  ℝ^*cxr 10849  (,)cioo 12918  [,)cico 12920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-ioo 12922  df-ico 12924

This theorem is referenced by:  preimaioomnf  43882