Theorem icomnfinre 46153

Description: A left-closed, right-open, interval of extended reals, intersected with the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
icomnfinre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
icomnfinre	⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Proof of Theorem icomnfinre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11262	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ ∈ ℝ*)
3		icomnfinre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elinel2 4163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	mnfltd 13145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ < 𝑥)
8		elinel1 4162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
9	8	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
10	2, 4, 9	icoltubd 46146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 < 𝐴)
11	2, 4, 6, 7, 10	eliood 46099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
12	11	ssd 45685	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) ⊆ (-∞(,)𝐴))
13		ioossico 13461	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ (-∞[,)𝐴)
14		ioossre 13430	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
15	13, 14	ssini 4200	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ))
17	12, 16	eqssd 3962	1 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238  (,)cioo 13368  [,)cico 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-ioo 13372  df-ico 13374

This theorem is referenced by:  preimaioomnf  47318