Theorem icomnfinre 46382

Description: A left-closed, right-open, interval of extended reals, intersected with the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
icomnfinre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
icomnfinre	⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Proof of Theorem icomnfinre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11290	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ ∈ ℝ*)
3		icomnfinre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elinel2 4148	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	mnfltd 13175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ < 𝑥)
8		elinel1 4147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
10	2, 4, 9	icoltubd 46375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 < 𝐴)
11	2, 4, 6, 7, 10	eliood 46328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
12	11	ssd 45914	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) ⊆ (-∞(,)𝐴))
13		ioossico 13491	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ (-∞[,)𝐴)
14		ioossre 13460	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
15	13, 14	ssini 4185	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ))
17	12, 16	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266  (,)cioo 13398  [,)cico 13400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13402  df-ico 13404

This theorem is used by:  preimaioomnf  47547