Theorem xlimmnfvlem1 45358

Description: Lemma for xlimmnfv 45360: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfvlem1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfvlem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnfvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
xlimmnfvlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfvlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfvlem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icomnfordt 23164	. . . . . 6 ⊢ (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3		xlimmnfvlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
4		df-xlim 45345	. . . . . . . . 9 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
5	4	breqi 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
6	3, 5	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
7		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		letopon 23153	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
10	7, 9	lmbr3 45273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
11	6, 10	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
12	11	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
13	2, 12	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
14	11	simp2d 1140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
15		xlimmnfvlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
17	15	mnfltd 13139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑋)
18		lbico1 13413	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑋) → -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
20		eleq2 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (-∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ (-∞[,)𝑋)))
21		eleq2 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))
22	21	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
23	22	ralbidv 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
24	23	rexbidv 3168	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
25	20, 24	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))))
26	25	rspcva 3604	. . . 4 ⊢ (((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
27	13, 19, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))
28		nfv 1909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
29		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
30		xlimmnfvlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
31	30	ffdmd 6754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
32	31	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
33	32	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
34	16	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
35	14	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
36		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))
37	35, 34, 36	icoltubd 45068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) < 𝑋)
38	33, 34, 37	xrltled 13164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)
39	38	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
40	39	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
41	29, 40	ralimdaa 3247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
42	41	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)))
43	28, 42	reximdai 3248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
44	27, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)
45		xlimmnfvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46		xlimmnfvlem1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
47	46	rexuz3 15331	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
48	45, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
49	44, 48	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_pm cpm 8846  ℂcc 11138  ℝcr 11139  -∞cmnf 11278  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280   ≤ cle 11281  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  [,)cico 13361  ordTopcordt 17484  TopOnctopon 22856  ⇝_𝑡clm 23174  ~~>*clsxlim 45344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-z 12592  df-uz 12856  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-topgen 17428  df-ordt 17486  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-lm 23177  df-xlim 45345

This theorem is referenced by:  xlimmnfv  45360