Theorem xlimmnfvlem1 45133

Description: Lemma for xlimmnfv 45135: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfvlem1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfvlem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnfvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
xlimmnfvlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfvlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfvlem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icomnfordt 23094	. . . . . 6 ⊢ (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3		xlimmnfvlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
4		df-xlim 45120	. . . . . . . . 9 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
5	4	breqi 5148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
6	3, 5	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
7		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		letopon 23083	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
10	7, 9	lmbr3 45048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
11	6, 10	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
12	11	simp3d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
13	2, 12	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
14	11	simp2d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
15		xlimmnfvlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
17	15	mnfltd 13122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑋)
18		lbico1 13396	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑋) → -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
20		eleq2 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (-∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ (-∞[,)𝑋)))
21		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))
22	21	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
23	22	ralbidv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
24	23	rexbidv 3173	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
25	20, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))))
26	25	rspcva 3605	. . . 4 ⊢ (((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
27	13, 19, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))
28		nfv 1910	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
29		nfv 1910	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
30		xlimmnfvlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
31	30	ffdmd 6748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
32	31	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
33	32	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
34	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
35	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
36		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))
37	35, 34, 36	icoltubd 44843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) < 𝑋)
38	33, 34, 37	xrltled 13147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)
39	38	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
41	29, 40	ralimdaa 3252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
42	41	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)))
43	28, 42	reximdai 3253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
44	27, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)
45		xlimmnfvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46		xlimmnfvlem1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
47	46	rexuz3 15313	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
48	45, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
49	44, 48	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_pm cpm 8835  ℂcc 11122  ℝcr 11123  -∞cmnf 11262  ℝ^*cxr 11263   < clt 11264   ≤ cle 11265  ℤcz 12574  ℤ_≥cuz 12838  [,)cico 13344  ordTopcordt 17466  TopOnctopon 22786  ⇝_𝑡clm 23104  ~~>*clsxlim 45119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-z 12575  df-uz 12839  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-topgen 17410  df-ordt 17468  df-ps 18543  df-tsr 18544  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-lm 23107  df-xlim 45120

This theorem is referenced by:  xlimmnfv  45135