Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfvlem1 45279
Description: Lemma for xlimmnfv 45281: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfvlem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnfvlem1.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnfvlem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimmnfvlem1.c (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*-∞)
xlimmnfvlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfvlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem xlimmnfvlem1
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icomnfordt 23133 . . . . . 6 (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
21a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
3 xlimmnfvlem1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*-∞)
4 df-xlim 45266 . . . . . . . . 9 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
54breqi 5150 . . . . . . . 8 (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞)
63, 5sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞)
7 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘˜πΉ
8 letopon 23122 . . . . . . . . 9 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
98a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
107, 9lmbr3 45194 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
116, 10mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
1211simp3d 1141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
132, 12jca 510 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
1411simp2d 1140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
15 xlimmnfvlem1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1615rexrd 11289 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
1715mnfltd 13131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑋)
18 lbico1 13405 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑋) β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
20 eleq2 2814 . . . . . 6 (𝑒 = (-∞[,)𝑋) β†’ (-∞ ∈ 𝑒 ↔ -∞ ∈ (-∞[,)𝑋)))
21 eleq2 2814 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (-∞[,)𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)))
2221anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑒 = (-∞[,)𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))))
2322ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑒 = (-∞[,)𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))))
2423rexbidv 3169 . . . . . 6 (𝑒 = (-∞[,)𝑋) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))))
2520, 24imbi12d 343 . . . . 5 (𝑒 = (-∞[,)𝑋) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)))))
2625rspcva 3601 . . . 4 (((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))) β†’ (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))))
2713, 19, 26sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)))
28 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
29 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
30 xlimmnfvlem1.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
3130ffdmd 6748 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„*)
3231ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3332adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3416adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
3514adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
36 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))
3735, 34, 36icoltubd 44989 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝑋)
3833, 34, 37xrltled 13156 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋)
3938ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋))
4039adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋))
4129, 40ralimdaa 3248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋))
4241a1d 25 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋)))
4328, 42reximdai 3249 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)𝑋)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋))
4427, 43mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋)
45 xlimmnfvlem1.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
46 xlimmnfvlem1.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4746rexuz3 15322 . . 3 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋))
4845, 47syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋))
4944, 48mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑pm cpm 8839  β„‚cc 11131  β„cr 11132  -∞cmnf 11271  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  [,)cico 13353  ordTopcordt 17475  TopOnctopon 22825  β‡π‘‘clm 23143  ~~>*clsxlim 45265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9429  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-z 12584  df-uz 12848  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-topgen 17419  df-ordt 17477  df-ps 18552  df-tsr 18553  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-lm 23146  df-xlim 45266
This theorem is referenced by:  xlimmnfv  45281
  Copyright terms: Public domain W3C validator