Theorem xlimmnfvlem1 46282

Description: Lemma for xlimmnfv 46284: the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfvlem1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfvlem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnfvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
xlimmnfvlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfvlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfvlem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icomnfordt 23195	. . . . . 6 ⊢ (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3		xlimmnfvlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
4		df-xlim 46269	. . . . . . . . 9 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
5	4	breqi 5092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
6	3, 5	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
7		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		letopon 23184	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
10	7, 9	lmbr3 46197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
11	6, 10	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
12	11	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
13	2, 12	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
14	11	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
15		xlimmnfvlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
17	15	mnfltd 13070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑋)
18		lbico1 13348	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑋) → -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑋))
20		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (-∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ (-∞[,)𝑋)))
21		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))
22	21	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
23	22	ralbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
24	23	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
25	20, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (-∞[,)𝑋) → ((-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))))
26	25	rspcva 3563	. . . 4 ⊢ (((-∞[,)𝑋) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑋) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))))
27	13, 19, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)))
28		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
29		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
30		xlimmnfvlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
31	30	ffdmd 6694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ*)
32	31	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
33	32	adantrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
34	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
35	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
36		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))
37	35, 34, 36	icoltubd 45997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) < 𝑋)
38	33, 34, 37	xrltled 13096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋))) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)
39	38	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
41	29, 40	ralimdaa 3239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
42	41	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)))
43	28, 42	reximdai 3240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (-∞[,)𝑋)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
44	27, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)
45		xlimmnfvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46		xlimmnfvlem1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
47	46	rexuz3 15306	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
48	45, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋))
49	44, 48	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ↑_pm cpm 8769  ℂcc 11031  ℝcr 11032  -∞cmnf 11172  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  [,)cico 13295  ordTopcordt 17458  TopOnctopon 22889  ⇝_𝑡clm 23205  ~~>*clsxlim 46268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fi 9319  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-topgen 17401  df-ordt 17460  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-top 22873  df-topon 22890  df-bases 22925  df-lm 23208  df-xlim 46269

This theorem is referenced by:  xlimmnfv  46284