Theorem qelioo 43055

Description: The rational numbers are dense in ℝ^*: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
qelioo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
qelioo.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
qelioo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qelioo	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem qelioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qelioo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		qelioo.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		qelioo.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		qbtwnxr 12933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
6	1	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	2	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		qre 12692	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
11		simprr 770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
12	6, 7, 9, 10, 11	eliood 43007	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
13	12	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
14	13	reximdva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
15	5, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010  ℚcq 12687  (,)cioo 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-ioo 13082

This theorem is referenced by:  smfaddlem1  44266  smfmullem3  44295