Theorem qelioo 46245

Description: The rational numbers are dense in ℝ^*: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
qelioo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
qelioo.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
qelioo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qelioo	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem qelioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qelioo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		qelioo.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		qelioo.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		qbtwnxr 13227	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
6	1	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	2	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		qre 12978	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
11		simprr 784	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
12	6, 7, 9, 10, 11	eliood 46197	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
13	12	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
14	13	reximdva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
15	5, 14	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  ℚcq 12973  (,)cioo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-ioo 13377

This theorem is referenced by:  smfaddlem1  47460  smfmullem3  47490