Theorem ifhvhv0 31654

Description: Prove if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0_ℎ) ∈ ℋ. (Contributed by David A. Wheeler, 7-Dec-2018.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ifhvhv0	⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ

Proof of Theorem ifhvhv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31635	. 2 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2	1	elimel 4555	1 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   ℋchba 31551  0_ℎc0v 31556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-hv0cl 31635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-if 4486

This theorem is used by:  hvsubsub4  31692  hvnegdi  31699  hvsubeq0  31700  hvaddcan  31702  hvsubadd  31709  normlem9at  31753  normsq  31766  normsub0  31768  norm-ii  31770  norm-iii  31772  normsub  31775  normpyth  31777  norm3dif  31782  norm3lemt  31784  norm3adifi  31785  normpar  31787  polid  31791  bcs  31813  pjoc1  32066  pjoc2  32071  h1de2ci  32188  spansn  32191  elspansn  32198  elspansn2  32199  h1datom  32214  spansnj  32279  spansncv  32285  pjch1  32302  pjadji  32317  pjaddi  32318  pjinormi  32319  pjsubi  32320  pjmuli  32321  pjcjt2  32324  pjch  32326  pjopyth  32352  pjnorm  32356  pjpyth  32357  pjnel  32358  eigre  32467  eigorth  32470  lnopeq0lem2  32638  lnopunii  32644  lnophmi  32650  pjss2coi  32796  pjssmi  32797  pjssge0i  32798  pjdifnormi  32799